Métrica de Bures

En matemáticas , en el área de la geometría de la información cuántica , la métrica de Bures (llamada así por Donald Bures) ^[1] o la métrica Helstrom (llamada así por Carl W. Helstrom ) ^[2] define una distancia infinitesimal entre operadores de matriz de densidad que definen estados cuánticos . Es una generalización cuántica de la métrica de información de Fisher y es idéntica a la métrica de Fubini-Study ^[3] cuando se restringe a los estados puros solamente.

Definición

La métrica de Bures ${\displaystyle G}$ puede definirse como

${\displaystyle [d(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}$^{[ aclaración necesaria ]}

donde ${\displaystyle G}$ es el operador de forma 1 de Hermitian implícitamente dado por

${\displaystyle \rho G+G\rho =d\rho ,}$

que es un caso especial de una ecuación de Lyapunov continua .

Algunas de las aplicaciones de la métrica de Bures incluyen que, dado un error objetivo, permite el cálculo del número mínimo de mediciones para distinguir dos estados diferentes ^[4] y el uso del elemento de volumen como candidato para la densidad de probabilidad previa de Jeffreys ^{[ 5]} para estados cuánticos mixtos.

Distancia de Bures

La distancia de Bures es la versión finita de la distancia al cuadrado infinitesimal descrita anteriormente y está dada por

${\displaystyle D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),}$

donde la función de fidelidad se define como ^[6]

${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})=\left[{\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})\right]^{2}.}$

Otra función asociada es el arco de Bures también conocido como ángulo de Bures, longitud de Bures o ángulo cuántico , definido como

${\displaystyle D_{A}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},}$

que es una medida de la distancia estadística ^[7] entre estados cuánticos.

Información de Quantum Fisher

La métrica de Bures puede verse como el equivalente cuántico de la métrica de información de Fisher y puede reescribirse en términos de la variación de los parámetros de coordenadas como

${\displaystyle [d(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

que se mantiene mientras ${\displaystyle \rho }$ y ${\displaystyle \rho +d\rho }$tienen el mismo rango. En los casos en que no tengan el mismo rango, hay un término adicional en el lado derecho. ^{[8] [9]}${\displaystyle L_{\mu }}$es el operador derivado logarítmico simétrico (SLD) definido a partir de ^[10]

${\displaystyle {\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}}={\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu }}}.}$

De esta manera, uno tiene

${\displaystyle [d(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

donde la métrica cuántica de Fisher (componentes del tensor) se identifica como

${\displaystyle J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right].}$

La definición de SLD implica que la métrica cuántica de Fisher es 4 veces la métrica de Bures. En otras palabras, dado que${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ son componentes del tensor métrico de Bures, uno tiene

${\displaystyle J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.}$

Como sucede con la métrica de información clásica de Fisher, la métrica cuántica de Fisher se puede utilizar para encontrar el límite Cramér-Rao de la covarianza .

Fórmulas explícitas

El cálculo real de la métrica de Bures no es evidente a partir de la definición, por lo que se desarrollaron algunas fórmulas para ese propósito. Para sistemas 2x2 y 3x3, respectivamente, la forma cuadrática de la métrica de Bures se calcula como ^[11]

${\displaystyle [d(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],}$

${\displaystyle [d(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho +{\frac {3\det {\rho }}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].}$

Para sistemas generales, la métrica de Bures se puede escribir en términos de los autovectores y autovalores de la matriz de densidad. ${\displaystyle \rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|}$como ^{[12] [13]}

${\displaystyle [d(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}$

como integral, ^[14]

${\displaystyle [d(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{-\rho t}d\rho ]\ dt,}$

o en términos de producto Kronecker y vectorización , ^[15]

${\displaystyle [d(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\dagger }{\big (}{\overline {\rho }}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho ],}$

donde la barra superior denota conjugado complejo , y${\displaystyle ^{\dagger }}$denota transposición conjugada .

Sistema de dos niveles

El estado de un sistema de dos niveles se puede parametrizar con tres variables como

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),}$

donde ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es el vector de matrices de Pauli y${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ es el vector de Bloch (tridimensional) que satisface ${\displaystyle r^{2}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1}$. Los componentes de la métrica de Bures en esta parametrización se pueden calcular como

${\displaystyle {\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}}$.

La medida de Bures se puede calcular tomando la raíz cuadrada del determinante para encontrar

${\displaystyle dV_{B}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},}$

que se puede utilizar para calcular el volumen de Bures como

${\displaystyle V_{B}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}$

Sistema de tres niveles

El estado de un sistema de tres niveles se puede parametrizar con ocho variables como

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}$

donde ${\displaystyle \lambda _{\nu }}$son las ocho matrices de Gell-Mann y${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}}$ el vector de Bloch de 8 dimensiones satisface ciertas restricciones.

Ver también

• Métrica de estudio de Fubini
• Fidelidad de los estados cuánticos
• Información de Fisher
• Métrica de información de Fisher

Referencias

1. Bures, Donald (1969). "Una extensión del teorema de Kakutani sobre medidas de productos infinitos al producto tensorial de semifinito${\displaystyle \omega }$* -algebras " (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . American Mathematical Society (AMS). 135 : 199. doi : 10.1090 / s0002-9947-1969-0236719-2 . ISSN  0002-9947 .
2. Helstrom, CW (1967). "Error cuadrático medio mínimo de estimaciones en estadística cuántica". Physics Letters A . Elsevier BV. 25 (2): 101–102. doi : 10.1016 / 0375-9601 (67) 90366-0 . ISSN 0375-9601 . 
3. Facchi, Paolo; Kulkarni, Ravi; Man'ko, VI; Marmo, Giuseppe; Sudarshan, ECG; Ventriglia, Franco (2010). "Información clásica y cuántica de Fisher en la formulación geométrica de la mecánica cuántica". Physics Letters A . 374 (48): 4801–4803. arXiv : 1009.5219 . doi : 10.1016 / j.physleta.2010.10.005 . ISSN 0375-9601 . 
4. Braunstein, Samuel L .; Caves, Carlton M. (30 de mayo de 1994). "Distancia estadística y geometría de estados cuánticos". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 72 (22): 3439–3443. doi : 10.1103 / physrevlett.72.3439 . ISSN 0031-9007 . 
5. Slater, Paul B. (1996). "Aplicaciones de la información de Fisher cuántica y clásica a sistemas complejos de dos niveles y cuaterniónicos y complejos de tres niveles". Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 37 (6): 2682–2693. doi : 10.1063 / 1.531528 . ISSN 0022-2488 . 
6. Desafortunadamente, algunos autores usan una definición diferente,${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})={\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})}$
7. Wootters, WK (15 de enero de 1981). "Distancia estadística y espacio de Hilbert". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 23 (2): 357–362. doi : 10.1103 / physrevd.23.357 . ISSN 0556-2821 . 
8. Šafránek, Dominik (11.05.2017). "Discontinuidades de la información cuántica de Fisher y la métrica de Bures". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 95 (5): 052320. arXiv : 1612.04581 . doi : 10.1103 / physreva.95.052320 . ISSN 2469-9926 . 
9. Rezakhani, AT; Hassani, M .; Alipour, S. (12 de septiembre de 2019). "Continuidad de la información de Fisher cuántica" . Physical Review A . 100 (3): 032317. arXiv : 1507.01736 . doi : 10.1103 / PhysRevA.100.032317 .
10. París, Matteo GA (2009). "Estimación cuántica para tecnología cuántica". Revista Internacional de Información Cuántica . World Scientific Pub Co Pte Lt. 07 (supp01): 125-137. arXiv : 0804.2981 . doi : 10.1142 / s0219749909004839 . ISSN 0219-7499 . 
11. Dittmann, J (1 de enero de 1999). "Fórmulas explícitas para la métrica de Bures". Revista de Física A: Matemática y General . Publicación de IOP. 32 (14): 2663–2670. arXiv : quant-ph / 9808044 . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 32/14/007 . ISSN 0305-4470 . 
12. Hübner, Matthias (1992). "Cálculo explícito de la distancia de Bures para matrices de densidad". Physics Letters A . Elsevier BV. 163 (4): 239–242. doi : 10.1016 / 0375-9601 (92) 91004-b . ISSN 0375-9601 . 
13. Hübner, Matthias (1993). "Cálculo del transporte paralelo de Uhlmann para matrices de densidad y la métrica de Bures en el espacio tridimensional de Hilbert". Physics Letters A . Elsevier BV. 179 (4–5): 226–230. doi : 10.1016 / 0375-9601 (93) 90668-p . ISSN 0375-9601 . 
14. PARÍS, MATTEO GA (2009). "Estimación cuántica para tecnología cuántica". Revista Internacional de Información Cuántica . World Scientific Pub Co Pte Lt. 07 (supp01): 125-137. arXiv : 0804.2981 . doi : 10.1142 / s0219749909004839 . ISSN 0219-7499 . 
15. Šafránek, Dominik (12.04.2018). "Expresión simple para la matriz de información de Fisher cuántica". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 97 (4): 042322. arXiv : 1801.00945 . doi : 10.1103 / physreva.97.042322 . ISSN 2469-9926 . 

Lectura adicional

• Uhlmann, A. (1992). "La métrica de Bures y la fase geométrica". En Gielerak, R .; Lukierski, J .; Popowicz, Z. (eds.). Grupos y temas relacionados . Actas del Primer Simposio Max Born. págs. 267-274. doi : 10.1007 / 978-94-011-2801-8_23 . ISBN 94-010-5244-1.
• Sommers, HJ; Zyczkowski, K. (2003). "Bures volumen del conjunto de estados cuánticos mixtos". Journal of Physics A . 36 (39): 10083–10100. arXiv : quant-ph / 0304041 . Bibcode : 2003JPhA ... 3610083S . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 36/39/308 .
• Dittmann, J. (1993). "Sobre la geometría de Riemann de estados mixtos de dimensión finita" (PDF) . Seminario Sophus Lie . 73 .
• Slater, Paul B. (1996). "Información de Quantum Fisher-Bures de sistemas de dos niveles y una extensión de tres niveles". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 29 (10): L271 – L275. doi : 10.1088 / 0305-4470 / 29/10/008 .
• Nielsen, MA; Chuang, IL (2000). Computación cuántica e información cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-63235-8.