Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus (1965) de Michael Spivak es un libro de texto breve, riguroso y moderno de cálculo multivariable, formas diferenciales e integración de múltiples para estudiantes universitarios avanzados .
Autor | Michael Spivak |
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País | Estados Unidos |
Idioma | inglés |
Sujeto | Matemáticas |
Editor | Benjamin Cummings |
Fecha de publicación | 1965 |
Paginas | 146 |
ISBN | 0-8053-9021-9 |
OCLC | 607457141 |
Descripción
Calculus on Manifolds es una breve monografía sobre la teoría de funciones con valores vectoriales de varias variables reales ( f : R n → R m ) y variedades diferenciables en el espacio euclidiano. Además de extender los conceptos de diferenciación (incluidos los teoremas de la función inversa e implícita ) y la integración de Riemann (incluido el teorema de Fubini ) a funciones de varias variables, el libro trata los teoremas clásicos del cálculo vectorial, incluidos los de Cauchy – Green , Ostrogradsky– Gauss (teorema de divergencia) y Kelvin-Stokes , en el lenguaje de formas diferenciales sobre variedades diferenciables incrustadas en el espacio euclidiano , y como corolarios del teorema generalizado de Stokes sobre variedades con límite . El libro culmina con la declaración y la prueba de esta vasta y abstracta generalización moderna de varios resultados clásicos: [a]
Teorema de Stokes para colectores con límite. - si es un compacto orientado -variedad-dimensional-con-frontera, es el límite dada la orientación inducida, y es un () -form en , luego .
La portada de Calculus on Manifolds presenta fragmentos de una carta del 2 de julio de 1850 de Lord Kelvin a Sir George Stokes que contiene la primera revelación del teorema clásico de Stokes (es decir, el teorema de Kelvin-Stokes ). [1]
Recepción
Calculus on Manifolds tiene como objetivo presentar los temas del cálculo multivariable y vectorial de la manera en que los ve un matemático en activo moderno, pero lo suficientemente simple y selectiva para que los entiendan los estudiantes de pregrado cuyos cursos previos en matemáticas comprenden solo cálculo de una variable y álgebra lineal introductoria. Si bien el tratamiento elemental de Spivak de las herramientas matemáticas modernas es ampliamente exitoso, y este enfoque ha hecho de Calculus on Manifolds una introducción estándar a la teoría rigurosa del cálculo multivariable, el texto también es bien conocido por su estilo lacónico, la falta de ejemplos motivadores y su omisión frecuente. de pasos y argumentos no obvios. [2] [3] Por ejemplo, para enunciar y probar el teorema generalizado de Stokes sobre cadenas, una profusión de conceptos y construcciones desconocidas (p. Ej., Productos tensoriales , formas diferenciales , espacios tangentes , retrocesos , derivadas exteriores , cubos y cadenas ) se introducen en rápida sucesión en un lapso de 25 páginas. Además, los lectores cuidadosos han notado una serie de descuidos no triviales a lo largo del texto, que incluyen hipótesis que faltan en los teoremas, teoremas enunciados incorrectamente y demostraciones que no logran manejar todos los casos. [4] [5] [6]
Otros libros de texto
Un libro de texto más reciente que también cubre estos temas a nivel de pregrado es el texto Analysis on Manifolds de James Munkres (366 págs.). [7] Con más del doble de longitud que Cálculo sobre múltiples , el trabajo de Munkres presenta un tratamiento más cuidadoso y detallado del tema a un ritmo pausado. Sin embargo, Munkres reconoce la influencia del texto anterior de Spivak en el prefacio de Analysis on Manifolds . [8]
El libro de texto de cinco volúmenes de Spivak A Comprehensive Introduction to Differential Geometry establece en su prefacio que Cálculo en colectores sirve como requisito previo para un curso basado en este texto. De hecho, varios de los conceptos introducidos en Calculus on Manifolds reaparecen en el primer volumen de esta obra clásica en escenarios más sofisticados. [9]
Ver también
- Variedades diferenciables
- Forma multilineal
Notas al pie
Notas
- ↑ Los formalismos de formas diferenciales y el cálculo exterior usados en Cálculo sobre colectores fueron formulados por primera vez por Élie Cartan . Usando este lenguaje, Cartan enunció el teorema de Stokes generalizado en su forma moderna, publicando la fórmula simple y elegante que se muestra aquí en 1945. Para una discusión detallada de cómo se desarrolló históricamente el teorema de Stokes. Véase Katz (1979 , págs. 146-156).
Citas
- ↑ Spivak (2018 , pág. Viii)
- ^ Gouvêa, Fernando Q. (15 de junio de 2007). "Cálculo en colectores: un enfoque moderno de los teoremas clásicos de cálculo avanzado | Asociación matemática de América" . www.maa.org . Consultado el 9 de abril de 2017 .
- ^ Munkres (1968)
- ^ Lebl, Jiří. "Spivak - Cálculo de colectores - Comentarios y erratas" .
- ^ Ajolote, Petra. "Cálculo de múltiples erratas" . Archivado desde el original el 10 de enero de 2017.
- ^ koletenbert (2 de octubre de 2012). "Error en el enunciado del Teo. 2-13 en Cálculo de colectores" .
- ^ Munkres (1991)
- ^ Munkres (1991 , p. Vii)
- ^ Spivak (1999)
Referencias
- Auslander, Louis (1967), "Revisión del cálculo sobre variedades: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado", Quarterly of Applied Mathematics , 24 (4): 388-389
- Botts, Truman (1966), "Trabajo revisado: Cálculo en colectores de Michael Spivak", Science , 153 (3732): 164-165, doi : 10.1126 / science.153.3732.164-a
- Hubbard, John H .; Hubbard, Barbara Burke (2009) [1998], Cálculo vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales: un enfoque unificado (4ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall (4ª edición de Matrix Editions (Ithaca, NY)) , ISBN 978-0-9715766-5-0[ Un enfoque elemental de las formas diferenciales con énfasis en ejemplos y cálculos concretos ]
- Katz, Victor J. (1979), "La historia del teorema de Stokes", Revista de matemáticas , Asociación matemática de América , 52 (3): 146-156, doi : 10.2307 / 2690275
- Loomis, Lynn Harold ; Sternberg, Shlomo (2014) [1968], Advanced Calculus (Ed. Revisada), Reading, Mass .: Addison-Wesley (edición revisada por Jones y Bartlett (Boston); reimpreso por World Scientific (Hackensack, NJ)), págs. 305–567, ISBN 978-981-4583-93-0[ Un tratamiento general de formas diferenciales, variedades diferenciables y aplicaciones seleccionadas a la física matemática para estudiantes universitarios avanzados ]
- Munkres, James (1968), "Review of Calculus on Manifolds", The American Mathematical Monthly , 75 (5): 567–568, doi : 10.2307 / 2314769 , JSTOR 2314769
- Munkres, James (1991), Analysis on Manifolds , Redwood City, California: Addison-Wesley (reimpreso por Westview Press (Boulder, Colorado)), ISBN 978-0-201-31596-7[ Un tratamiento de pregrado de cálculo multivariable y vectorial con cobertura similar a Cálculo en colectores , con ideas matemáticas y pruebas presentadas con mayor detalle ]
- Nickerson, Helen K .; Spencer, Donald C .; Steenrod, Norman E. (1959), Cálculo avanzado , Princeton, Nueva Jersey: Van Nostrand, ISBN 978-0-486-48090-9[ Un tratamiento unificado de álgebra lineal y multilineal, cálculo multivariable, formas diferenciales y topología algebraica introductoria para estudiantes universitarios avanzados ]
- Rudin, Walter (1976) [1953], Principios del análisis matemático (3ª ed.), Nueva York: McGraw Hill, págs. 204–299, ISBN 978-0-07-054235-8[ Un enfoque poco ortodoxo aunque riguroso de las formas diferenciales que evita muchas de las construcciones algebraicas habituales ]
- Spivak, Michael (2018) [1965], Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus (Mathematics Monograph Series) , Nueva York: WA Benjamin, Inc. (reimpreso por Addison-Wesley (Reading, Mass.) Y Westview Press (Boulder, Colorado)), ISBN 978-0-8053-9021-6[ Un tratamiento breve, riguroso y moderno del cálculo multivariable, las formas diferenciales y la integración en variedades para estudiantes universitarios avanzados ]
- Spivak, Michael (1999) [1970], Una introducción completa a la geometría diferencial, vol. 1 (3.a ed.), Houston, Texas: Publish or Perish, Inc., ISBN 978-0-9140-9870-6[ Una descripción completa de las variedades diferenciables a nivel de posgrado; contiene un reencuadre más sofisticado y extensiones de los capítulos 4 y 5 de Cálculo en colectores]
- Tu, Loring W. (2011) [2008], An Introduction to Manifolds (2ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3[ Un tratamiento estándar de la teoría de variedades suaves en el nivel de posgrado de primer año ]