En matemáticas , un semigrupo de cancelación (también llamado semigrupo de cancelación ) es un semigrupo que tiene la propiedad de cancelación . [1] En términos intuitivos, la propiedad de cancelación afirma que a partir de una igualdad de la forma de un · b = un · c , donde · es una operación binaria , se puede cancelar el elemento de una y deducir la igualdad b = c . En este caso, el elemento que se cancela aparece como los factores izquierdos de a · by a · c y, por tanto, es un caso de la propiedad de cancelación izquierda . La propiedad de cancelación de derecho se puede definir de forma análoga. Los ejemplos prototípicos de semigrupos cancelativos son los enteros positivos bajo suma o multiplicación . Semigroups Cancellative se consideran muy cerca de ser grupos porque cancellability es una de las condiciones necesarias para un semigrupo sea integrable en un grupo. Además, cada semigrupo cancelador finito es un grupo. Uno de los principales problemas asociados con el estudio de semigrupos cancelativos es determinar las condiciones necesarias y suficientes para incrustar un semigrupo cancelador en un grupo.
Los orígenes del estudio de los semigrupos cancelativos se remontan al primer artículo sustancial sobre semigrupos ( Suschkewitsch 1928 ). [2]
Definiciones formales
Sea S un semigrupo. Un elemento una en S es cancellative izquierda (o, es cancellable izquierda , o, tiene la propiedad de cancelación de la izquierda ) si ab = ac implica b = c para todos b y c en S . Si cada elemento en S se cancela a la izquierda, entonces S se denomina semigrupo cancelador a la izquierda .
Sea S un semigrupo. Un elemento una en S es cancellative derecha (o, es cancellable derecha , o, tiene la propiedad de cancelación de la derecha ) si ba = ca implica b = c para todos b y c en S . Si cada elemento en S es cancelable a la derecha, entonces S se denomina semigrupo cancelador a la derecha .
Sea S un semigrupo. Si cada elemento en S es tanto cancelador por la izquierda como cancelador por la derecha, entonces S se denomina semigrupo cancelador . [3]
Definiciones alternativas
Es posible reformular la propiedad característica de un elemento cancelativo en términos de una propiedad mantenida por la correspondiente multiplicación izquierda L a : S → S y multiplicación derecha R a : S → S mapas definidos por L a ( b ) = ab y R a ( b ) = ba . Un elemento a en S se deja cancelador si y solo si L a es inyectivo . Un elemento a es cancelador por la derecha si y solo si R a es inyectivo.
Ejemplos de
- Cada grupo es un semigrupo cancelable.
- El conjunto de enteros positivos bajo la suma es un semigrupo cancelador.
- El conjunto de enteros no negativos bajo la suma es un monoide cancelador .
- El conjunto de números enteros positivos bajo multiplicación es un monoide cancelador.
- Un semigrupo de cero a la izquierda es cancelable por la derecha pero no cancelable por la izquierda, a menos que sea trivial.
- Un semigrupo de cero derecho es cancelador por la izquierda pero no cancelador por la derecha, a menos que sea trivial.
- Un semigrupo nulo con más de un elemento no es cancelador por la izquierda ni cancelador por la derecha. En tal semigrupo no hay ningún elemento que sea cancelador por la izquierda o cancelador por la derecha.
- Sea S el semigrupo de matrices cuadradas reales de orden n bajo la multiplicación de matrices . Vamos a un ser cualquier elemento en S . Si a no es singular, entonces a es tanto cancelable a la izquierda como a la derecha. Si a es singular, entonces a no es cancelable por la izquierda ni cancelable por la derecha.
Semigrupos cancelativos finitos
Es un resultado elemental en la teoría de grupos que un semigrupo cancelativo finito es un grupo. Sea S un semigrupo cancelador finito. Cancellativity y finitud tomados juntos implican que Sa = aS = S para todos una en S . Entonces, dado un elemento a en S , hay un elemento e a , dependiendo de a , en S tal que ae a = a . Cancellativity ahora implica, además, que este correo una es independiente de una y que xe un = e un x = x para todo x en S . Así, e a es el elemento de identidad de S , que a partir de ahora puede ser denotado por e . Usando la propiedad Sa = S, uno ve ahora que hay b en S tal que ba = e . Cancellativity se puede invocar para mostrar que ab = e también, estableciendo de ese modo que cada elemento de una en S tiene una inversa en S . Por tanto, S debe ser necesariamente un grupo.
Integrabilidad en grupos
Un semigrupo conmutativo se puede incrustar en un grupo (es decir, es isomorfo a un subconjunto de un grupo) si y solo si es cancelador. El procedimiento para hacer esto es similar al de incrustar un dominio integral en un campo ( Clifford & Preston 1961 , p. 34). Véase también Grupo de Grothendieck , el mapeo universal de un semigrupo conmutativo a grupos abelianos que es una incrustación si el semigrupo es cancelador.
Para la integrabilidad de semigrupos no conmutativos en grupos, la cancelatividad es obviamente una condición necesaria. Sin embargo, no es suficiente: hay semigrupos cancelativos (no conmutativos e infinitos) que no se pueden incrustar en un grupo. [5] Para obtener una condición suficiente (pero no necesario), se puede observar que la prueba del resultado de que un finito cancellative semigrupo S es un grupo dependido críticamente en el hecho de que Sa = S para todos una en S . El artículo ( Dubreil 1941 ) generalizó esta idea e introdujo el concepto de semigrupo reversible a la derecha . Un semigrupo S se dice que es reversible derecha si cualquiera de los dos ideales principales de S se cruzan, es decir, Sa ∩ Sb ≠ Ø para todos una y b en S . La condición suficiente para la integrabilidad de los semigrupos en grupos se puede establecer ahora de la siguiente manera: ( Teorema de Ore ) Cualquier semigrupo cancelable reversible a la derecha puede integrarse en un grupo ( Clifford y Preston 1961 , p. 35).
El primer conjunto de condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad de un semigrupo en un grupo se dio en ( Malcev 1939 ). [6] Aunque teóricamente importantes, las condiciones son infinitas en número y ningún subconjunto finito será suficiente, como se muestra en ( Malcev 1940 ). [7] En ( Lambek 1951 ) se dio un conjunto diferente (pero también numerablemente infinito) de condiciones necesarias y suficientes , donde se demostró que un semigrupo puede integrarse en un grupo si y solo si es cancelativo y satisface un llamada "condición poliédrica". Los dos teoremas de incrustación de Malcev y Lambek se compararon más tarde en ( Bush 1963 ).
Ver también
Notas
- ^ ( Clifford y Preston 1967 , p. 3)
- ^ GB Preston (1990). "Recuerdos personales de la historia temprana de los semigrupos" . Archivado desde el original el 9 de enero de 2009 . Consultado el 12 de mayo de 2009 .
- ^ "Semigrupo cancelativo" . PlanetMath .
- ^ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 12 . ISBN 978-0-19-853577-5.
- ^ A. Malcev , Sobre la inmersión de un anillo algebraico en un campo , Mathematische Annalen 1937, Volumen 113, Número 1, pp 686-691
- ^ Paul M. Cohn (1981), Álgebra universal , Springer , págs. 268–269, ISBN 90-277-1254-9
- ^ John Rhodes (abril de 1970), "Reseña del libro de 'La teoría algebraica de los semigrupos vol. I y II' por AH Clifford y GB Preston", Boletín de la AMS , American Mathematical Society . [1] (Consultado el 11 de mayo de 2009)
Referencias
- Bush, George C. (1963), "Los teoremas de incrustación de Malcev y Lambek", Canadian Journal of Mathematics , 15 : 49–58, doi : 10.4153 / CJM-1963-006-x
- Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1961), La teoría algebraica de semigrupos. Vol. I , Encuestas Matemáticas, No. 7, Providence, RI: Sociedad Americana de Matemáticas , ISBN 978-0-8218-0272-4, MR 0132791
- Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1967), La teoría algebraica de semigrupos. Vol. II , Encuestas Matemáticas, No. 7, Providence, RI: American Mathematical Society , MR 0218472
- Dubreil, Paul (1941), "Contribución a la teoría de los demi-grupos", Mém. Acad. Sci. Inst. Francia (2) , 63 (3): 52, MR 0016424
- Lambek, J. (1951), "La inmersibilidad de un semigrupo en un grupo", Canadian Journal of Mathematics , 3 : 34–43, doi : 10.4153 / CJM-1951-005-8
- Malcev, AI (1939), "Über die Einbettung von assoziativen Systemen in Gruppen", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 6 : 331–336, MR 0002152
- Malcev, AI (1940), "Über die Einbettung von assoziativen Systemen in Gruppen. II", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 8 : 251-264, MR 0002895
- Preston, Gordon Bamford (1991), "Reminiscencias personales de la historia temprana de los semigrupos" , Conferencia Monash sobre teoría de los semigrupos (Melbourne, 1990) , World Sci. Publ., River Edge, Nueva Jersey, pp. 16-30, MR 1.232.669 , Archivado desde el original en 2009-01-09 , obtenidos 2009-05-12
- Suschkewitsch, Anton (1928), "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit", Mathematische Annalen , 99 (1): 30–50, doi : 10.1007 / BF01459084 , hdl : 10338.dmlcz / 100078 , ISSN 0025-5831 , MR 1512437