En lógica matemática , el axioma de Cantor-Dedekind es la tesis de que los números reales son orden- isomorfos al continuo lineal de la geometría . En otras palabras, el axioma establece que existe una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos en una línea.
Este axioma es la piedra angular de la geometría analítica . El sistema de coordenadas cartesianas desarrollado por René Descartes asume implícitamente este axioma al combinar los distintos conceptos del sistema numérico real con la línea o plano geométrico en una metáfora conceptual . Esto a veces se conoce como la combinación de la recta numérica real . [1]
Una consecuencia de este axioma es que la prueba de Alfred Tarski de la decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales podría verse como un algoritmo para resolver cualquier problema de primer orden en la geometría euclidiana .
Sin embargo, con el desarrollo de sistemas de axiomas para la geometría sintética que rellenaron los axiomas que Euclides asumió implícitamente, y el desarrollo de las nociones modernas de los números reales , tanto la línea euclidiana como los reales son campos arquimedianos completos , por lo tanto canónicamente isomórficos, y el El "axioma" de Cantor-Dedekind es en realidad un teorema.
Notas
- ^ George Lakoff y Rafael E. Núñez (2000). De dónde provienen las matemáticas: cómo la mente encarnada da vida a las matemáticas . Libros básicos. ISBN 0-465-03770-4.
Referencias
- Ehrlich, P. (1994). "Introducción general". Números reales, generalizaciones de lo real y teorías de Continua , vi – xxxii. Editado por P. Ehrlich, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht
- Bruce E. Meserve (1953) Conceptos fundamentales de álgebra , pág. 32, en Google Books
- BE Meserve (1955) Conceptos fundamentales de geometría , p. 86, en Google Books