En la teoría de conjuntos , el concepto de cardinalidad se puede desarrollar significativamente sin recurrir a la definición real de los números cardinales como objetos en la teoría misma (este es de hecho un punto de vista adoptado por Frege ; los cardinales de Frege son básicamente clases de equivalencia en todo el universo de conjuntos , por equinumerosidad ). Los conceptos se desarrollan definiendo la equinumerosidad en términos de funciones y los conceptos de uno a uno y sobre (inyectividad y sobrejetividad); esto nos da una cuasi-ordenación relación
en todo el universo por tamaño. No es un verdadero orden parcial porque no es necesario que la antisimetría se mantenga: si ambos y , es cierto según el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder quees decir, A y B son equinumeros, pero no tienen que ser literalmente iguales (ver isomorfismo ). Que al menos uno de y sostiene resulta ser equivalente al axioma de elección .
Sin embargo, la mayoría de los resultados interesantes sobre cardinalidad y su aritmética se pueden expresar simplemente con = c .
El objetivo de una asignación cardinal es asignar a cada conjunto A una específica, único conjunto que sólo depende de la cardinalidad de A . Esto está de acuerdo con la visión original de Cantor de los cardenales: tomar un conjunto y abstraer sus elementos en "unidades" canónicas y reunir estas unidades en otro conjunto, de modo que lo único especial de este conjunto sea su tamaño. Estos estarían totalmente ordenados por la relación, y = c sería la verdadera igualdad. Como SN Moschovakis dice, sin embargo, esto es sobre todo un ejercicio de elegancia matemática, y no ganan mucho menos que usted es "alérgica a los subíndices". Sin embargo, existen varias aplicaciones valiosas de los números cardinales "reales" en varios modelos de teoría de conjuntos.
En la teoría de conjuntos moderna, usualmente usamos la asignación cardinal de Von Neumann , que usa la teoría de los números ordinales y todo el poder de los axiomas de elección y reemplazo . Las asignaciones cardinales necesitan el axioma completo de elección, si queremos una aritmética cardinal decente y una asignación para todos los conjuntos.
Asignación cardinal sin el axioma de la elección
Formalmente, asumiendo el axioma de elección, la cardinalidad de un conjunto X es el menos ordinal α tal que hay una biyección entre X y α . Esta definición se conoce como asignación cardinal de von Neumann . Si no se asume el axioma de elección, debemos hacer algo diferente. La definición más antigua de cardinalidad de un conjunto X (implícita en Cantor y explícita en Frege y Principia Mathematica ) es como el conjunto de todos los conjuntos que son equinumeros con X : esto no funciona en ZFC u otros sistemas relacionados de teoría de conjuntos axiomáticos porque esta colección es demasiado grande para ser un conjunto, pero funciona en la teoría de tipos y en New Foundations y sistemas relacionados. Sin embargo, si restringimos de esta clase a aquellos equinúmeros con X que tienen el menor rango , entonces funcionará (este es un truco de Dana Scott : funciona porque la colección de objetos con cualquier rango dado es un conjunto).
Referencias
- Moschovakis, Yiannis N. Notas sobre la teoría de conjuntos . Nueva York: Springer-Verlag, 1994.