El teorema de Carleson es un resultado fundamental en el análisis matemático que establece la convergencia puntual ( Lebesgue ) en casi todas partes de las series de Fourier de funciones L 2 , demostrada por Lennart Carleson ( 1966 ). El nombre también se usa a menudo para referirse a la extensión del resultado de Richard Hunt ( 1968 ) a L p funciones para p ∈ (1, ∞] (también conocido como el teorema de Carleson-Hunt ) y los resultados análogos para puntos casi en todas partes convergencia deIntegrales de Fourier , que se puede demostrar que son equivalentes por métodos de transferencia.
Una pregunta fundamental sobre las series de Fourier, planteada por el mismo Fourier a principios del siglo XIX, es si la serie de Fourier de una función continua converge puntualmente a la función.
Reforzando ligeramente el supuesto de continuidad, se puede demostrar fácilmente que la serie de Fourier converge en todas partes. Por ejemplo, si una función tiene una variación acotada, entonces su serie de Fourier converge en todas partes al promedio local de la función. En particular, si una función es continuamente diferenciable, su serie de Fourier converge hacia ella en todas partes. Esto fue probado por Dirichlet, quien expresó su creencia de que pronto podría extender su resultado para cubrir todas las funciones continuas. Otra forma de obtener convergencia en todas partes es cambiar el método de suma. Por ejemplo, el teorema de Fejér muestra que si se reemplaza la sumatoria ordinaria por la sumatoria de Cesàroentonces la serie de Fourier de cualquier función continua converge uniformemente a la función. Además, es fácil demostrar que la serie de Fourier de cualquier función L 2 converge a ella en norma L 2 .
Después del resultado de Dirichlet, varios expertos, incluidos Dirichlet, Riemann, Weierstrass y Dedekind, expresaron su creencia de que la serie de Fourier de cualquier función continua convergería en todas partes. Esto fue refutado por Paul du Bois-Reymond , quien demostró en 1876 que existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en un punto .
La convergencia casi en todas partes de las series de Fourier para las funciones L 2 fue postulada por NN Luzin ( 1915 ), y el problema se conocía como la conjetura de Luzin (hasta su demostración por Carleson (1966) ). Kolmogorov (1923) demostró que el análogo del resultado de Carleson para L 1 es falso al encontrar una función cuya serie de Fourier diverge en casi todas partes (mejorada ligeramente en 1926 para divergir en todas partes). Antes del resultado de Carleson, la estimación más conocida para las sumas parciales s n de la serie de Fourier de una función en L p era
demostrado por Kolmogorov–Seliverstov–Plessner para p = 2, por GH Hardy para p = 1 y por Littlewood–Paley para p > 1 ( Zygmund 2002 ). Este resultado no había mejorado durante varias décadas, lo que llevó a algunos expertos a sospechar que era el mejor posible y que la conjetura de Luzin era falsa. El contraejemplo de Kolmogorov en L 1 no tenía límites en ningún intervalo, pero se pensó que era solo cuestión de tiempo antes de que se encontrara un contraejemplo continuo. Carleson dijo en una entrevista con Raussen & Skau (2007)que comenzó tratando de encontrar un contraejemplo continuo y en un momento pensó que tenía un método que construiría uno, pero finalmente se dio cuenta de que su enfoque no podía funcionar. Luego trató de probar la conjetura de Luzin, ya que el fracaso de su contraejemplo lo convenció de que probablemente era cierto.