En matemáticas , el método de equivalencia de Cartan es una técnica en geometría diferencial para determinar si dos estructuras geométricas son iguales hasta un difeomorfismo . Por ejemplo, si M y N son dos variedades de Riemann con métricas g y h , respectivamente, cuando hay un difeomorfismo
tal que
- ?
Aunque la respuesta a esta pregunta en particular era conocida en la dimensión 2 para Gauss y en dimensiones superiores para Christoffel y quizás también Riemann , Élie Cartan y sus herederos intelectuales desarrollaron una técnica para responder preguntas similares para estructuras geométricas radicalmente diferentes. (Por ejemplo, consulte el algoritmo de Cartan-Karlhede ).
Cartan aplicó con éxito su método de equivalencia a muchas de estas estructuras, incluidas estructuras proyectivas , estructuras CR y estructuras complejas , así como estructuras aparentemente no geométricas como la equivalencia de lagrangianos y ecuaciones diferenciales ordinarias . (Sus técnicas fueron desarrolladas más tarde por muchos otros, como DC Spencer y Shiing-Shen Chern ).
El método de equivalencia es un procedimiento esencialmente algorítmico para determinar cuándo dos estructuras geométricas son idénticas. Para Cartan, la información geométrica primaria se expresó en un coframe o colección de coframes en una variedad diferenciable . Ver método de mover marcos .
Descripción general
Específicamente, supongamos que M y N son un par de colectores de cada uno con un G-estructura para un grupo estructura G . Esto equivale a dar una clase especial de coframes en M y N . Método de direcciones de Cartan la cuestión de si existe una φ difeomorfismo local: M → N en las que el G -Estructura en N tira hacia atrás a lo dado G -Estructura en M . Un problema de equivalencia se ha "resuelto" si se puede dar un conjunto completo de invariantes estructurales para la estructura G : lo que significa que tal difeomorfismo existe si y solo si todos los invariantes estructurales concuerdan en un sentido adecuadamente definido.
Explícitamente, los sistemas locales de una forma θ i y γ i se dan en M y N , respectivamente, que abarcan los respectivos paquetes cotangentes (es decir, son coframas ). La pregunta es si hay un difeomorfismo local φ: M → N tal que el retroceso del coframe en N satisface
- (1)
donde el coeficiente de g es una función de M tomando valores en el grupo de Lie G . Por ejemplo, si M y N son variedades de Riemann, entonces G = O ( n ) es el grupo ortogonal y θ i y γ i son coframas ortonormales de M y N respectivamente. La cuestión de si dos variedades de Riemann son isométricas es entonces una cuestión de si existe un difeomorfismo φ satisfactorio (1).
El primer paso en el método de Cartan es expresar la relación de retroceso (1) de la manera más invariante posible mediante el uso de una " prolongación ". La forma más económica de hacer esto es usar un G -subbundle PM del paquete principal de coframas lineales LM , aunque este enfoque puede conducir a complicaciones innecesarias al realizar cálculos reales. En particular, más adelante en este artículo se utiliza un enfoque diferente. Pero a los efectos de una descripción general, es conveniente ceñirse al punto de vista del paquete principal.
El segundo paso es utilizar la invariancia de difeomorfismo de la derivada exterior para tratar de aislar cualquier otra invariante de orden superior de la estructura G. Básicamente se obtiene una conexión en el haz principal PM , con cierta torsión. Los componentes de la conexión y de la torsión se consideran invariantes del problema.
El tercer paso es que si los coeficientes de torsión restantes no son constantes en las fibras del haz principal PM , a menudo es posible (aunque a veces difícil) normalizarlos estableciéndolos iguales a un valor constante conveniente y resolviendo estas ecuaciones de normalización, reduciendo de ese modo la dimensión efectiva del grupo de Lie G . Si esto ocurre, uno vuelve al paso uno, ahora tiene un grupo de Lie de una dimensión inferior para trabajar.
El cuarto paso
El propósito principal de los primeros tres pasos fue reducir el grupo de estructura en sí tanto como fuera posible. Suponga que el problema de equivalencia ha pasado por el bucle suficientes veces para que no sea posible una reducción adicional. En este punto, hay varias direcciones posibles en las que conduce el método de equivalencia. Para la mayoría de los problemas de equivalencia, solo hay cuatro casos: reducción completa, involución, prolongación y degeneración.
Reducción completa. Aquí el grupo de estructura se ha reducido completamente al grupo trivial . El problema ahora puede manejarse con métodos como el teorema de Frobenius . En otras palabras, el algoritmo ha terminado con éxito.
Por otro lado, es posible que los coeficientes de torsión sean constantes en las fibras de PM . De manera equivalente, ya no dependen del grupo de Lie G porque no queda nada por normalizar, aunque todavía puede haber algo de torsión. Los tres casos restantes asumen esto.
Involución. Se dice que el problema de equivalencia es involutivo (o en involución ) si pasa la prueba de Cartan . Esta es esencialmente una condición de rango en la conexión obtenida en los primeros tres pasos del procedimiento. La prueba de Cartan generaliza el teorema de Frobenius sobre la solubilidad de sistemas lineales de primer orden de ecuaciones diferenciales parciales. Si los coframas en M y N (obtenidos mediante una aplicación completa de los primeros tres pasos del algoritmo) concuerdan y satisfacen la prueba de Cartan, entonces las dos estructuras G son equivalentes. (En realidad, según el conocimiento del autor, los coframas deben ser analíticos reales para que esto se mantenga, porque el teorema de Cartan-Kähler requiere analiticidad).
Prolongación. Este es el caso más complicado. De hecho, hay dos sub-casos. En el primer sub-caso, toda la torsión se puede absorber de forma única en la forma de conexión. (Las variedades de Riemann son un ejemplo, ya que la conexión Levi-Civita absorbe toda la torsión). Los coeficientes de conexión y sus derivadas invariantes forman un conjunto completo de invariantes de la estructura y se resuelve el problema de equivalencia. En el segundo subcaso, sin embargo, es imposible absorber toda la torsión o existe alguna ambigüedad (como suele ser el caso en la eliminación gaussiana , por ejemplo). Aquí, al igual que en la eliminación gaussiana, hay parámetros adicionales que aparecen al intentar absorber la torsión. Estos parámetros en sí mismos resultan ser invariantes adicionales del problema, por lo que el grupo de estructura G debe prolongarse en un subgrupo de un grupo de chorro . Una vez hecho esto, se obtiene un nuevo coframe en el espacio prolongado y hay que volver al primer paso del método de equivalencia. (Véase también prolongación de estructuras G ).
Degeneración. Debido a la falta de uniformidad de alguna condición de rango, el método de equivalencia no tiene éxito en el manejo de este problema de equivalencia particular. Por ejemplo, considere el problema de equivalencia de mapear una variedad M con una sola forma θ a otra variedad con una sola forma γ tal que φ * γ = θ. Deben tenerse en cuenta los ceros de estas formas de uno, así como el rango de sus derivadas exteriores en cada punto. El método de equivalencia puede manejar estos problemas si todos los rangos son uniformes, pero no siempre es adecuado si el rango cambia. Por supuesto, dependiendo de la aplicación particular, todavía se puede obtener una gran cantidad de información con el método de equivalencia.