En matemáticas , un grupo de chorro es una generalización del grupo lineal general que se aplica a los polinomios de Taylor en lugar de a los vectores en un punto. Un grupo de chorros es un grupo de chorros que describe cómo un polinomio de Taylor se transforma bajo cambios de sistemas de coordenadas (o, de manera equivalente, difeomorfismos ).
Descripción general
El grupo de chorros de k -ésimo orden G n k consta de chorros de difeomorfismos suaves φ: R n → R n tales que φ (0) = 0. [1]
La siguiente es una definición más precisa del grupo de chorros.
Sea k ≥ 2. La diferencial de una función f: R k → R se puede interpretar como una sección del paquete cotangente de R K dada por df: R k → T * R k . De manera similar, las derivadas de orden hasta m son secciones del haz de chorros J m ( R k ) = R k × W , donde
Aquí R * es el espacio vectorial dual de R , y S i denota la i -ésima potencia simétrica . Una función suave f: R k → R tiene una prolongación j m f : R k → J m ( R k ) definida en cada punto p ∈ R k colocando los i -ésimos parciales de f en p en S i (( R *) k ), componente de W .
Considere un punto . Existe un polinomio único f p en k variables y de orden m tal que p está en la imagen de j m f p . Es decir,. Los datos diferenciales x ′ se pueden transferir para que se encuentren sobre otro punto y ∈ R n como j m f p (y) , los parciales de f p sobre y .
Proporcione a J m ( R n ) una estructura de grupo tomando
Con esta estructura de grupo, J m ( R n ) es un grupo de Carnot de clase m + 1.
Debido a las propiedades de los chorros bajo composición funcional , G n k es un grupo de Lie . El grupo de chorro es un producto semidirecto del grupo lineal general y un grupo de Lie nilpotente conectado, simplemente conectado . También es de hecho un grupo algebraico , ya que la composición implica solo operaciones polinomiales.
Notas
- ↑ Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, págs. 128-131, archivado desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2017 , consultado el 2 de mayo de 2014.
Referencias
- Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 2017-03-30 , consultado el 2014-05-02
- Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Conferencias sobre invariantes diferenciales , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
- Saunders, DJ (1989), The geometry of jet bundles , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7