El algoritmo de Cartan-Karlhede es un procedimiento para clasificar y comparar completamente variedades de Riemann . Dadas dos variedades de Riemann de la misma dimensión, no siempre es obvio si son localmente isométricas . [1] Élie Cartan , usando su cálculo exterior con su método de marcos móviles , demostró que siempre es posible comparar las variedades. Carl Brans desarrolló aún más el método, [2] y la primera implementación práctica fue presentada por Anders Karlhede en 1980. [3]
La principal estrategia del algoritmo es tomar derivadas covariantes del tensor de Riemann . Cartan demostró que en n dimensiones, como máximo, n ( n +1) / 2 diferenciaciones son suficientes. Si el tensor de Riemann y sus derivados de una variedad son algebraicamente compatibles con la otra, entonces las dos variedades son isométricas. Por tanto, el algoritmo de Cartan-Karlhede actúa como una especie de generalización de la clasificación de Petrov .
El número potencialmente grande de derivadas puede resultar prohibitivo desde el punto de vista computacional. El algoritmo se implementó en un motor de cálculo simbólico temprano, SHEEP , pero el tamaño de los cálculos resultó demasiado difícil de manejar para los primeros sistemas informáticos. [4] [5] Para la mayoría de los problemas considerados, en realidad se requieren muchas menos derivadas que el máximo, y el algoritmo es más manejable en las computadoras modernas. Por otro lado, no existe una versión disponible públicamente en software más moderno. [6]
Aplicaciones fisicas
El algoritmo de Cartan-Karlhede tiene aplicaciones importantes en la relatividad general . Una razón de esto es que la noción más simple de invariantes de curvatura no distingue el espacio-tiempo ni distingue las variedades de Riemann . Esta diferencia en el comportamiento se debe en última instancia al hecho de que los espaciotiempo tienen subgrupos de isotropía que son subgrupos del grupo de Lorentz SO + (1,3), que es un grupo de Lie no compacto , mientras que las variedades de Riemann de cuatro dimensiones (es decir, con métrica definida positiva tensor ), tienen grupos de isotropía que son subgrupos del grupo compacto de Lie SO (4).
En 4 dimensiones, la mejora de Karlhede al programa de Cartan reduce el número máximo de derivadas covariantes del tensor de Riemann necesarias para comparar métricas a 7. En el peor de los casos, esto requiere 3156 componentes independientes del tensor. [7] Existen modelos conocidos de espacio-tiempo que requieren las 7 derivadas covariantes. [8] Sin embargo, para ciertas familias especiales de modelos espaciotemporales, a menudo basta con muchos menos. Ahora se sabe, por ejemplo, que
- se requieren como máximo dos diferenciaciones para comparar dos soluciones de vacío de Petrov D cualesquiera ,
- se requieren como máximo tres diferenciaciones para comparar dos soluciones fluidas perfectas ,
- como máximo se requiere una diferenciación para comparar dos soluciones de polvo nulo cualesquiera . [9]
Ver también
enlaces externos
- La base de datos geométrica interactiva incluye algunos datos derivados de una implementación del algoritmo de Cartan-Karlhede.
Referencias
- ^ Olver, Peter J. (1995). Equivalentes, invariantes y simetría . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47811-1.
- ^ Brans, Carl H. (1965), "Aproximación invariable a la geometría de los espacios en la relatividad general", J. Math. Phys. , 6 : 94, Bibcode : 1965JMP ..... 6 ... 94B , doi : 10.1063 / 1.1704268
- ^ Karlhede, A. (1980), "Una revisión de la equivalencia geométrica de métricas en la relatividad general", Relatividad general y gravitación , 12 : 693, Bibcode : 1980GReGr..12..693K , doi : 10.1007 / BF00771861
- ^ Åman, JE; Karlhede, A. (1980), "Una clasificación completa asistida por computadora de geometrías en relatividad general. Primeros resultados", Phys. Letón. A , 80 : 229, Bibcode : 1980PhLA ... 80..229A , doi : 10.1016 / 0375-9601 (80) 90007-9
- ^ Åman, JE, Manual para CLASSI: programas de clasificación en relatividad general , Instituto de Física Teórica de la Universidad de Estocolmo
- ^ Pollney, D .; Skea, JF; d'Inverno, Ray (2000). "Clasificación de geometrías en relatividad general (tres partes)". Clase. Quantum Grav . 17 : 643–663, 2267–2280, 2885–2902. Código bibliográfico : 2000CQGra..17..643P . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 17/3/306 .
- ^ MacCallum, MAH; Åman, JE (1986), "Enésimas derivadas algebraicamente independientes del spinor de curvatura de Riemann en un espaciotiempo general", Gravedad clásica y cuántica , 3 : 1133, Bibcode : 1986CQGra ... 3.1133M , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 3 / 6/013
- ^ Milson, Robert; Pelavas, Nicos (2008), "La encuadernación tipo N de Karlhede es nítida", Clase. Quantum Grav. , 25 , arXiv : 0710.0688 , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/1/012001
- ^ Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.