En geometría diferencial , una G -Estructura en un n - múltiple M , para un determinado grupo de estructura [1] G , es un principal G - subfibrado del marco fibrado tangente F M (o GL ( M )) de M .
La noción de estructuras G incluye varias estructuras clásicas que pueden definirse en variedades, que en algunos casos son campos tensoriales . Por ejemplo, para el grupo ortogonal , una estructura O ( n ) define una métrica de Riemann , y para el grupo lineal especial, una estructura SL ( n , R ) es lo mismo que una forma de volumen . Para el grupo trivial , una estructura { e } consiste en un paralelismo absoluto de la variedad.
Generalizando esta idea a paquetes principales arbitrarios en espacios topológicos, uno puede preguntarse si un principal- paquete sobre un grupo "proviene de" un subgrupo de . Esto se llama reducción del grupo de estructura (a).
Varias estructuras en variedades, como una estructura compleja , una estructura simpléctica o una estructura de Kähler , son estructuras G con una condición de integrabilidad adicional .
Reducción del grupo de estructura
Uno puede preguntar si un director - paquete sobre un grupo "proviene de" un subgrupo de . Esto se llama reducción del grupo de estructura (a) y tiene sentido para cualquier mapa , que no necesita ser un mapa de inclusión (a pesar de la terminología).
Definición
A continuación, dejemos ser un espacio topológico , grupos topológicos y un homomorfismo de grupo .
En términos de paquetes de hormigón
Dado un principal -manojo encima , una reducción del grupo de estructura (de a ) es un -manojo y un isomorfismo del paquete asociado al paquete original.
En cuanto a clasificar espacios
Dado un mapa , dónde es el espacio de clasificación para-paquetes, una reducción del grupo de estructura es un mapa y una homotopia .
Propiedades y ejemplos
No siempre existen reducciones del grupo de estructura. Si existen, por lo general no son esencialmente únicos, ya que el isomorfismo es una parte importante de los datos.
Como ejemplo concreto, todo espacio vectorial real de dimensión uniforme es isomorfo al espacio real subyacente de un espacio vectorial complejo: admite una estructura compleja lineal . Un paquete de vectores real admite una estructura casi compleja si y solo si es isomórfico al paquete real subyacente de un paquete de vectores complejo. Esto es entonces una reducción a lo largo de la inclusión GL ( n , C ) → GL (2 n , R )
En términos de mapas de transición , un G -bundle puede reducirse si y sólo si los mapas de transición se pueden tomar para tener valores en H . Tenga en cuenta que el término reducción es engañoso: sugiere que H es un subgrupo de G , que suele ser el caso, pero no tiene por qué serlo (por ejemplo, para las estructuras de giro ): se le llama propiamente elevación .
De manera más abstracta, " G -bundles sobre X " es un functor [2] en G : dado un mapa H → G , se obtiene un mapa de H -bundles a G -bundles induciendo (como arriba). La reducción del grupo estructura de un G -bundle B es la elección de un H -bundle cuya imagen es B .
El mapa de inducción de paquetes H a paquetes G no es en general ni uno a uno, por lo que el grupo de estructura no siempre se puede reducir y, cuando puede, esta reducción no tiene por qué ser única. Por ejemplo, no todos los colectores son orientables , y los que son orientables admiten exactamente dos orientaciones.
Si H es un subgrupo cerrado de G , entonces existe una correspondencia biunívoca natural entre las reducciones de un haz de G B a H y las secciones globales del haz de fibras B / H obtenidas cociente de B por la acción correcta de H . Específicamente, la formación de fibras B → B / H es un principal H -bundle más de B / H . Si σ: X → B / H es una sección, a continuación, la presión de regreso haz B H = σ -1 B es una reducción de B . [3]
Estructuras G
Cada paquete vectorial de dimensión tiene un canon -paquete, el paquete de marco . En particular, cada variedad suave tiene un paquete vectorial canónico, el paquete tangente . Para un grupo de mentiras y un homomorfismo grupal , a -estructura es una reducción del grupo de estructura del paquete de marco para .
Ejemplos de
Los siguientes ejemplos se definen para paquetes de vectores reales , particularmente el paquete tangente de una variedad suave .
Homomorfismo grupal | Grupo | -estructura | Obstrucción |
---|---|---|---|
Grupo lineal general de determinante positivo | Orientación | El paquete debe ser orientable | |
Grupo lineal especial | Forma de volumen | El paquete debe ser orientable (es una deformación retraer ) | |
Determinante | Pseudo forma volumen | Siempre posible | |
Grupo ortogonal | Métrica de Riemann | Siempre posible (es el subgrupo compacto máximo , por lo que la inclusión es una retracción de deformación) | |
Grupo ortogonal indefinido | Métrica pseudo-riemanniana | Obstrucción topológica [4] | |
Grupo lineal general complejo | Estructura casi compleja | Obstrucción topológica | |
| estructura casi cuaterniónica [5] | Obstrucción topológica [5] | |
Grupo lineal general | Descomposición como suma Whitney ( suma directa) de subconjuntos de rango y . | Obstrucción topológica |
Algunos -las estructuras son términos definidos de otras: Dada una métrica de Riemann en una variedad orientada, una -estructura para la cubierta de 2 pliegues es una estructura de giro . (Tenga en cuenta que el homomorfismo de grupo aquí no es una inclusión).
Paquetes principales
Aunque la teoría de los haces principales juega un papel importante en el estudio de las estructuras G , las dos nociones son diferentes. Una estructura G es un subconjunto principal del paquete de tramas tangentes , pero el hecho de que el paquete de estructuras G consta de tramas tangentes se considera parte de los datos. Por ejemplo, considere dos métricas de Riemann en R n . Las estructuras O ( n ) asociadas son isomorfas si y solo si las métricas son isométricas. Pero, dado que R n es contráctil, los paquetes O ( n ) subyacentes siempre serán isomórficos como paquetes principales porque los únicos paquetes sobre los espacios contraíbles son paquetes triviales.
Esta diferencia fundamental entre las dos teorías se puede capturar proporcionando un dato adicional sobre el paquete G subyacente de una estructura G : la forma de soldadura . La forma de soldadura es lo que une el paquete principal subyacente de la estructura G a la geometría local de la variedad misma al especificar un isomorfismo canónico del paquete tangente de M a un paquete de vectores asociado . Aunque la forma de soldadura no es una forma de conexión , a veces se puede considerar como un precursor de una.
En detalle, suponga que Q es el paquete principal de una estructura G. Si Q se realiza como una reducción del paquete de marcos de M , entonces la forma de soldadura viene dada por el retroceso de la forma tautológica del paquete de marcos a lo largo de la inclusión. De manera abstracta, si uno considera Q como un paquete principal independientemente de su realización como una reducción del paquete de marcos, entonces la forma de soldadura consiste en una representación ρ de G en R n y un isomorfismo de paquetes θ: TM → Q × ρ R n .
Condiciones de integrabilidad y estructuras G planas
Varias estructuras en variedades, como una estructura compleja, una estructura simpléctica o una estructura de Kähler , son estructuras G (y por lo tanto pueden estar obstruidas), pero necesitan satisfacer una condición de integrabilidad adicional . Sin la correspondiente condición de integrabilidad, la estructura se denomina en cambio una estructura "casi", como en una estructura casi compleja , una estructura casi simpléctica o una estructura casi de Kähler .
Específicamente, una estructura múltiple simpléctica es un concepto más fuerte que una estructura G para el grupo simpléctico . Una estructura simpléctica en una variedad es una forma 2 ω en M que no es degenerada (que es una-estructura, o estructura casi simpléctica), junto con la condición adicional de que d ω = 0; esta última se denomina condición de integrabilidad .
Asimismo, las foliaciones corresponden a estructuras G provenientes de matrices de bloques , junto con condiciones de integrabilidad para que se aplique el teorema de Frobenius .
Una estructura G plana es una estructura G P que tiene una sección global ( V 1 , ..., V n ) que consta de campos vectoriales de conmutación . Una estructura G es integrable (o localmente plana ) si es localmente isomorfa a una estructura G plana .
Isomorfismo de estructuras G
El conjunto de difeomorfismos de M que preservan una estructura G se denomina grupo de automorfismos de esa estructura. Para una estructura O ( n ), son el grupo de isometrías de la métrica de Riemann y para una estructura SL ( n , R ), mapas que preservan el volumen.
Deje que P sea un G -Estructura en un colector de M , y Q un G -Estructura en un colector N . A continuación, un isomorfismo de la G -construcciones y sus partes es un difeomorfismo f : M → N tal que el pushforward de tramas lineales f * : FM → FN restringe para dar un mapeo de P en Q . (Nótese que es suficiente que Q esté contenido dentro de la imagen de f * .) Las estructuras G P y Q son localmente isomórficas si M admite una cobertura por conjuntos abiertos U y una familia de difeomorfismos f U : U → f ( U ) ⊂ N tal que f U induce un isomorfismo de P | U → Q | f ( U ) .
Un automorfismo de una estructura G es un isomorfismo de una estructura G P consigo mismo. Los automorfismos surgen con frecuencia [6] en el estudio de grupos de transformación de estructuras geométricas, ya que muchas de las estructuras geométricas importantes en una variedad se pueden realizar como estructuras G.
Se puede formular una amplia clase de problemas de equivalencia en el lenguaje de las estructuras G. Por ejemplo, un par de variedades de Riemann son (localmente) equivalentes si y solo si sus conjuntos de marcos ortonormales son (localmente) estructuras G isomórficas . En este punto de vista, el procedimiento general para resolver un problema de equivalencia es construir un sistema de invariantes para la estructura G que luego sean suficientes para determinar si un par de estructuras G son localmente isomórficas o no.
Conexiones en estructuras G
Deje que Q sea un G -estructura en M . Una conexión principal en el paquete principal Q induce una conexión en cualquier paquete de vectores asociado: en particular, en el paquete tangente. Una conexión lineal ∇ en TM derivada de esta forma se dice que es compatible con Q . Las conexiones compatibles con Q también se denominan conexiones adaptadas .
Concretamente, las conexiones adaptadas pueden entenderse en términos de un marco móvil . [7] Supongamos que V i es una base de secciones locales de TM (es decir, un marco en M ), que define una sección de Q . Cualquier conexión ∇ determina un sistema de formas 1 dependientes de la base ω a través de
- ∇ X V yo = ω yo j (X) V j
donde, como una matriz de formas 1, ω ∈ Ω 1 (M) ⊗ gl ( n ). Una conexión adaptado es uno para el que ω toma sus valores en el álgebra de Lie g de G .
Torsión de una estructura G
Asociada a cualquier estructura G hay una noción de torsión, relacionada con la torsión de una conexión. Tenga en cuenta que una estructura G dada puede admitir muchas conexiones compatibles diferentes que, a su vez, pueden tener torsiones diferentes, pero a pesar de esto, es posible dar una noción independiente de torsión de la estructura G de la siguiente manera. [8]
La diferencia de dos conexiones adaptadas es una 1-forma en M con valores en el adjunto haz Ad Q . Es decir, el espacio A Q de conexiones adaptadas es un espacio afín para Ω 1 (Ad Q ).
La torsión de una conexión adaptada define un mapa
a 2 formas con coeficientes en TM . Este mapa es lineal; su linealización
se llama mapa de torsión algebraico . Dadas dos conexiones adaptadas ∇ y ∇ ′, sus tensores de torsión T ∇ , T ∇ ′ difieren en τ (∇ − ∇ ′). Por lo tanto, la imagen de T ∇ en el coquizador (τ) es independiente de la elección de ∇.
La imagen de T ∇ en el coquizador (τ) para cualquier conexión adaptada ∇ se denomina torsión de la estructura G. Se dice que una estructura G está libre de torsión si su torsión desaparece. Esto ocurre precisamente cuando Q admite una conexión adaptada sin torsión.
Ejemplo: torsión para estructuras casi complejas
Un ejemplo de una estructura G es una estructura casi compleja , es decir, una reducción de un grupo de estructura de una variedad de dimensión uniforme a GL ( n , C ). Tal reducción está determinada únicamente por un endomorfismo lineal C ∞ J ∈ End ( TM ) tal que J 2 = −1. En esta situación, la torsión se puede calcular explícitamente como sigue.
Un recuento de dimensiones sencillo muestra que
- ,
donde Ω 2,0 ( TM ) es un espacio de formas B ∈ Ω 2 ( TM ) que satisfacen
Por tanto, la torsión de una estructura casi compleja puede considerarse como un elemento en Ω 2,0 ( TM ). Es fácil comprobar que la torsión de una estructura casi compleja es igual a su tensor de Nijenhuis .
Estructuras G de orden superior
La imposición de condiciones de integrabilidad en una estructura G particular (por ejemplo, en el caso de una forma simpléctica) puede tratarse mediante el proceso de prolongación . En tales casos, la estructura G prolongada no puede identificarse con un subconjunto G del haz de marcos lineales. En muchos casos, sin embargo, la prolongación es un paquete principal por derecho propio, y su grupo de estructura puede identificarse con un subgrupo de un grupo de chorro de orden superior . En cuyo caso, se denomina estructura G de orden superior [Kobayashi]. En general, el método de equivalencia de Cartan se aplica a tales casos.
Ver también
- Estructura G 2
Notas
- ^ Que es un grupo de mentiras mapeo al grupo lineal general . Este es a menudo, pero no siempre, un subgrupo de Lie ; por ejemplo, para una estructura de giro, el mapa es un espacio que cubre su imagen.
- ^ De hecho, es un bifuntor en G y X .
- ^ En la teoría de campo clásica , tal seccióndescribe un clásico campo de Higgs ( Sardanashvily, G. (2006) "Geometría del clásico de Higgs campos".. Revista Internacional de Métodos geométricas en la física moderna . 03 :. 139-148 arXiv : hep-th / 0510168 . doi : 10.1142 / S0219887806001065 .).
- ^ Es un campo gravitacional en la teoría de la gravitación de calibre ( Sardanashntly, G. (2006). "Teoría de la gravitación de calibre desde el punto de vista geométrico". Revista Internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna . 3 (1): v – xx. arXiv : gr-qc / 0512115 . Código bibliográfico : 2005gr.qc .... 12115S .)
- ↑ a b Besse , 1987 , §14.61
- ^ Kobayashi 1972
- ↑ Kobayashi 1972 , I.4
- ^ Gauduchon 1997
Referencias
- Chern, Shiing-Shen (1966). "La geometría de las estructuras G " . Boletín de la American Mathematical Society . 72 (2): 167–219. doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11473-8 .
- Gauduchon, Paul (1997). "Conexiones canónicas para estructuras casi hipercomplejas" . Análisis complejo y geometría . Pitman Research Notes in Mathematics Series. 366 . Longman. págs. 123-13. ISBN 978-0-582-29276-5.
- Kobayashi, Shoshichi (1972). Grupos de transformación en geometría diferencial . Clásicos de las matemáticas. Saltador. ISBN 978-3-540-58659-3. OCLC 31374337 .
- Sternberg, Shlomo (1983). Conferencias sobre geometría diferencial ((2ª ed.) Ed.). Nueva York: Chelsea Publishing Co. ISBN 978-0-8218-1385-0. OCLC 43032711 .
- Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "Estructuras G reductoras y derivados de Lie". Revista de Geometría y Física . 47 (1): 66–86. arXiv : matemáticas / 0201235 . Código bibliográfico : 2003JGP .... 47 ... 66G . doi : 10.1016 / S0393-0440 (02) 00174-2 . Señor 2006228 . S2CID 119558088 .