La constante de Carter es una cantidad conservada de movimiento alrededor de los agujeros negros en la formulación relativista general de la gravedad. La constante de Carter se derivó para un agujero negro cargado y giratorio por el físico teórico australiano Brandon Carter en 1968. La constante de Carter junto con la energía , el momento angular axial y la masa en reposo de las partículas proporcionan las cuatro cantidades conservadas necesarias para determinar de forma única todas las órbitas en Kerr– El espacio-tiempo de Newman (incluso los de partículas cargadas).
Formulación
Carter notó que el hamiltoniano para el movimiento en el espacio-tiempo de Kerr era separable en las coordenadas de Boyer-Lindquist , lo que permitía identificar fácilmente las constantes de dicho movimiento utilizando la teoría de Hamilton-Jacobi . [1] La constante de Carter se puede escribir de la siguiente manera:
- ,
dónde es el componente latitudinal del momento angular de la partícula, es la energía de la partícula, es el momento angular axial de la partícula, es la masa en reposo de la partícula, y es el parámetro de giro del agujero negro. [2] Debido a que las funciones de cantidades conservadas también se conservan, cualquier función de y las otras tres constantes del movimiento se pueden usar como una cuarta constante en lugar de . Esto da lugar a cierta confusión en cuanto a la forma de la constante de Carter. Por ejemplo, a veces es más conveniente usar:
en lugar de . La cantidades útil porque siempre es no negativo. En general, cualquier cuarta cantidad conservada para el movimiento en la familia de espaciotiempos de Kerr puede denominarse "constante de Carter".
Generado por un tensor Killing
El teorema de Noether establece que todas las cantidades conservadas están relacionadas con las simetrías del espacio-tiempo . La constante de Carter está relacionada con una simetría de orden superior de la métrica de Kerr generada por un campo de tensor de Killing de segundo orden (diferente que el utilizado anteriormente). En forma de componente:
- ,
dónde es la cuatro velocidades de la partícula en movimiento. Los componentes del tensor de Killing en las coordenadas de Boyer-Lindquist son:
- ,
dónde son los componentes del tensor métrico y y son los componentes de los principales vectores nulos:
con
- .
Límite de Schwarzschild
La simetría esférica de la métrica de Schwarzschild para los agujeros negros que no giran permite reducir el problema de encontrar las trayectorias de las partículas a tres dimensiones. En este caso uno solo necesita, , y para determinar el movimiento; sin embargo, la simetría que conduce a la constante de Carter todavía existe. La constante de Carter para el espacio de Schwarzschild es:
- .
Mediante una rotación de coordenadas podemos poner cualquier órbita en el avión así . En este caso, el cuadrado del momento angular orbital.
Ver también
Referencias
- ^ Carter, Brandon (1968). "Estructura global de la familia Kerr de campos gravitacionales". Revisión física . 174 (5): 1559-1571. Código Bibliográfico : 1968PhRv..174.1559C . doi : 10.1103 / PhysRev.174.1559 .
- ^ Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . Nueva York: WH Freeman and Co. p. 899. ISBN 0-7167-0334-3.