Dualidad Cartier

En matemáticas, la dualidad de Cartier es un análogo de la dualidad de Pontryagin para los esquemas de grupos conmutativos. Fue introducido por Pierre Cartier  ( 1962 ).

Definición usando caracteres

Dado cualquier plana conmutativo finito grupo esquema G sobre S , su Cartier dual es el grupo de caracteres, que se define como el funtor que toma cualquier S -Esquema T al grupo abeliano de homomorfismos esquema de grupo desde el cambio de base a y cualquier mapa de S - esquemas al mapa canónico de grupos de personajes. Este funtor es representable por un esquema de grupo S plano finito , y la dualidad de Cartier forma una antiequivalencia involutiva aditiva de la categoría de esquemas de grupo S conmutativo plano finito a sí misma. Si G es un esquema de grupo conmutativo constante, entonces su dual de Cartier es el grupo diagonalizable${\displaystyle G_{T}}$${\displaystyle \mathbf {G'} _{m,T}}$D ( G ) y viceversa. Si S es afín, entonces el functor de dualidad viene dado por la dualidad de las álgebras de funciones de Hopf.

Definición usando álgebras de Hopf

Un esquema de grupo conmutativo finito sobre un campo corresponde a un álgebra de Hopf conmutativa conmutativa finita dimensional . La dualidad de Cartier corresponde a tomar el dual del álgebra de Hopf, intercambiando la multiplicación y la comultiplicación.

Casos más generales de dualidad Cartier

La definición de Cartier dual se extiende de manera útil a situaciones mucho más generales en las que el functor resultante de los esquemas ya no se representa como un esquema de grupo. Los casos comunes incluyen haces fppf de grupos conmutativos sobre S y complejos de los mismos. Estos objetos geométricos más generales pueden ser útiles cuando se quiere trabajar con categorías que tienen un buen comportamiento de límite. Hay casos de abstracción intermedia, como grupos algebraicos conmutativos sobre un campo, donde la dualidad de Cartier da una antiequivalencia con grupos formales afines conmutativos , por lo que si G es el grupo aditivo , entonces su dual de Cartier es el grupo formal multiplicativo , y si G${\displaystyle \mathbf {G'} _{a}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {G} }}_{m}}$es un toro, entonces su Cartier dual es étale y libre de torsión. Para los grupos de bucles de tori, la dualidad de Cartier define el símbolo domesticado en la teoría de campos de clases geométricas locales . Gérard Laumon introdujo una transformada de Fourier teórica de la gavilla para módulos cuasi coherentes sobre motivos 1 que se especializa en muchas de estas equivalencias. ^[1]

Ejemplos de

• El dual de Cartier del grupo cíclico de orden n es la raíz n -ésima de la unidad .${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mu _{n}}$
• Sobre un campo de característica p, el esquema de grupo (el núcleo del endomorfismo del grupo aditivo inducido por la toma de potencias p ) es su propio dual de Cartier.${\displaystyle \alpha _{p}}$

Referencias

1. Laumon, Gérard (1996). "Transformación de Fourier généralisee". arXiv : alg-geom / 9603004 .

• Cartier, Pierre (1962), "Groupes algébriques et groupes formels", 1962 Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruselas, 1962) , Librairie Universitaire, Lovaina, París: GauthierVillars, págs. 87-111, MR  0148665
• Oort, Frans (1966), esquemas de grupo conmutativo , Lecture Notes in Mathematics, 15 , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, MR  0213365