En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , las categorías compactas de daga (o categorías cerradas compactas de daga ) aparecieron por primera vez en 1989 en el trabajo de Sergio Doplicher y John E. Roberts sobre la reconstrucción de grupos topológicos compactos a partir de su categoría de unitario continuo de dimensión finita. representaciones (es decir, categorías tannakianas ). [1] También aparecieron en el trabajo de John Baez y James Dolan como un ejemplo de k semiestricto -tuply monoidal n -categorías , que describen generalteorías de campo cuántico topológico , [2] para n = 1 y k = 3. Son una estructura fundamental en Samson Abramsky y Bob Coecke 's mecánica cuántica categóricas . [3] [4] [5]
Descripción general
Las categorías compactas de Dagger se pueden usar para expresar y verificar algunos protocolos fundamentales de información cuántica , a saber: teletransportación , teletransportación de puerta lógica e intercambio de entrelazamiento , y nociones estándar como unitaridad, producto interno, traza, dualidad Choi-Jamiolkowsky , positividad completa , estados de Bell. y muchas otras nociones son capturadas por el lenguaje de las categorías compactas de daga. [3] Todo esto se sigue del teorema de completitud, a continuación. La mecánica cuántica categórica toma categorías compactas como una estructura de fondo en relación con la cual otras nociones de la mecánica cuántica como los observables cuánticos y su complementariedad pueden definirse de manera abstracta. Esto constituye la base de un enfoque de alto nivel para el procesamiento de información cuántica .
Definicion formal
Una categoría compacta de daga es una categoría monoidal simétrica de daga que también es compacto cerrado , junto con una relación para unir la estructura de la daga a la estructura compacta. Específicamente, la daga se usa para conectar la unidad al contador, de modo que, para todos en , el siguiente diagrama conmuta:
Para resumir todos estos puntos:
- Una categoría está cerrada si tiene un functor hom interno ; es decir, si el hom-conjunto de morfismos entre dos objetos de la categoría es un objeto de la propia categoría (en lugar de Set ).
- Una categoría es monoidal si está equipada con un bifunctor asociativo que es asociativo, natural y tiene identidades de izquierda y derecha obedeciendo a ciertas condiciones de coherencia .
- Una categoría monoidal es monoidal simétrica , si, para cada par A , B de objetos en C , hay un isomorfismoeso es natural tanto en A como en B , y, nuevamente, obedece a ciertas condiciones de coherencia (ver categoría monoidal simétrica para más detalles).
- Una categoría monoidal es compacta cerrada , si cada objetotiene un objeto dual . Las categorías con objetos duales están equipadas con dos morfismos, la unidad y el contador , que satisfacen determinadas condiciones de coherencia o tirón .
- Una categoría es una categoría de daga si está equipada con un functor involutivo esa es la identidad en los objetos, pero mapea morfismos a sus adjuntos.
- Una categoría monoidal es simétrica como daga si es una categoría daga y es simétrica, y tiene condiciones de coherencia que hacen que los diversos functores sean naturales.
Una categoría compacta de daga es entonces una categoría que es cada una de las anteriores y, además, tiene una condición para relacionar la estructura de la daga con la estructura compacta. Esto se hace relacionando la unidad con el contador a través de la daga:
que se muestra en el diagrama de transporte de arriba. En la categoría FdHilb de espacios de Hilbert de dimensión finita, esta última condición puede entenderse como la definición de la daga (el conjugado hermitiano) como la transposición del conjugado complejo.
Ejemplos de
Las siguientes categorías son compactas de daga.
- La categoría FdHilb de espacios de Hilbert de dimensión finita y mapas lineales . Los morfismos son operadores lineales entre espacios de Hilbert. El producto es el producto tensorial habitual , y la daga aquí es el conjugado hermitiano .
- La categoría Rel de Conjuntos y relaciones . El producto es, por supuesto, el producto cartesiano . La daga aquí es todo lo contrario .
- La categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre un anillo conmutativo . La daga aquí es solo la transposición de la matriz .
- La categoría nCob de cobordismos . Aquí, los cobordismos n-dimensionales son los morfismos, la unión disjunta es el tensor y la inversión de los objetos (variedades cerradas) es la daga. Una teoría de campos cuánticos topológicos se puede definir como un funtor de nCob a FdHilb . [6]
- La categoría Span ( C ) de los tramos para cualquier categoría C con límites finitos .
Los espacios de Hilbert de dimensión infinita no son compactos como la daga, y se describen mediante categorías monoidales simétricas como la daga .
Teoremas estructurales
Selinger demostró que las categorías compactas de daga admiten un lenguaje diagramático de estilo Joyal-Street [7] y demostró que las categorías compactas de daga son completas con respecto a los espacios de Hilbert de dimensión finita [8] [9] es decir, una declaración de ecuación en el lenguaje de las categorías compactas de daga se sostiene si y sólo si puede derivarse en la categoría concreta de espacios de Hilbert de dimensión finita y mapas lineales. No existe una completitud análoga para Rel o nCob .
Este resultado de completitud implica que varios teoremas de los espacios de Hilbert se extienden a esta categoría. Por ejemplo, el teorema de no clonación implica que no existe un morfismo de clonación universal. [10] La completitud también implica características mucho más mundanas: las categorías compactas de daga pueden tener una base de la misma manera que un espacio de Hilbert puede tener una base. Los operadores se pueden descomponer en la base; los operadores pueden tener vectores propios, etc . Esto se revisa en la siguiente sección.
Base
El teorema de completitud implica que las nociones básicas de los espacios de Hilbert se trasladan a cualquier categoría compacta de daga. Sin embargo, el lenguaje típico empleado cambia. La noción de base se da en términos de coalgebra . Dado un objeto A de una categoría compacta de daga, una base es un objeto comonoide . Las dos operaciones son una copia o comultiplication δ: A → A ⊗ A morfismo que es cocommutative y coassociative, y una eliminación operación o counit morfismo ε: A → I . Juntos, estos obedecen a cinco axiomas: [11]
Comultiplicatividad:
Coasociatividad:
Coconmutatividad:
Isometría:
Ley de Frobenius :
Para ver que estas relaciones definen una base de un espacio vectorial en el sentido tradicional, escriba la comultiplicación y el recuento usando la notación bra-ket , y entendiendo que ahora son operadores lineales que actúan sobre vectoresen un espacio de Hilbert H :
y
Los únicos vectores que pueda satisfacer los cinco axiomas anteriores debe ser ortogonal entre sí; el recuento entonces especifica de forma única la base. Los nombres sugerentes de copia y eliminación para los operadores de comultiplicación y cuenta provienen de la idea de que el teorema de no clonación y el teorema de no eliminación establecen que los únicos vectores que es posible copiar o eliminar son los vectores de base ortogonal.
Resultados generales
Dada la definición anterior de una base, se pueden establecer varios resultados para los espacios de Hilbert para categorías de daga compacta. Enumeramos algunos de estos a continuación, tomados de [11] a menos que se indique lo contrario.
- También puede entenderse que una base corresponde a un observable , en el sentido de que un determinado factor observable se basa en vectores (ortogonales). Es decir, un observable está representado por un objeto A junto con los dos morfismos que definen una base:.
- Un estado propio de lo observable es cualquier objeto para cual
- Los estados propios son ortogonales entre sí. [ aclaración necesaria ]
- Un objeto es complementario a lo observablesi [se necesita aclaración ]
- (En mecánica cuántica, un vector de estado se dice que es complementario a un observable si cualquier resultado de medición es equiprobable. verbigracia. un estado propio de espín de S x es equiprobable cuando se mide en la base S z , o los estados propios de la cantidad de movimiento son equiprobables cuando se miden en la base de la posición).
- Dos observables y son complementarios si
- Los objetos complementarios generan transformaciones unitarias . Es decir,
- es unitario si y solo si es complementario a lo observable
Referencias
- ^ S. Doplicher y J. Roberts, Una nueva teoría de la dualidad para grupos compactos, Invent. Matemáticas. 98 (1989) 157-218.
- ^ JC Baez y J. Dolan, Álgebra de dimensión superior y teoría del campo cuántico topológico , J.Math.Phys. 36 (1995) 6073-6105
- ^ a b Samson Abramsky y Bob Coecke , Una semántica categórica de protocolos cuánticos , Actas de la 19ª conferencia IEEE sobre Lógica en Ciencias de la Computación (LiCS'04). IEEE Computer Science Press (2004).
- ^ S. Abramsky y B. Coecke, Mecánica cuántica categórica ". En: Manual de lógica cuántica y estructuras cuánticas, K. Engesser, DM Gabbay y D. Lehmann (eds), páginas 261–323. Elsevier (2009).
- ↑ Abramsky y Coecke usaron el término categorías cerradas fuertemente compactas, ya que una categoría compacta de daga es una categoría cerrada compacta aumentada con un endofunctor monoidal involutivo covariante.
- ^ M. Atiyah, "Teorías de campo cuántico topológico". Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Matemáticas. 68 (1989), págs. 175-186.
- ^ P. Selinger, categorías cerradas compactas de Dagger y mapas completamente positivos , Actas del 3er Taller Internacional sobre Lenguajes de Programación Cuánticos, Chicago, 30 de junio - 1 de julio (2005).
- ^ P. Selinger, Los espacios de Hilbert de dimensión finita están completos para categorías cerradas compactas , Actas del 5º Taller Internacional sobre Lenguajes de Programación Cuánticos, Reykjavik (2008).
- ^ M. Hasegawa, M. Hofmann y G. Plotkin, "Los espacios vectoriales de dimensión finita están completos para las categorías monoidales simétricas trazadas", LNCS 4800 , (2008), págs. 367–385.
- ^ S. Abramsky, "No-clonación en mecánica cuántica categórica", (2008) Técnicas semánticas para la computación cuántica , I. Mackie y S. Gay (eds), Cambridge University Press
- ^ a b Bob Coecke, "Picturalismo cuántico", (2009) Física contemporánea vol 51 , pp59-83. ( ArXiv 0908.1787 )
- Categoría Dagger-compact en nLab