En matemáticas (especialmente en la teoría de categorías ), una multicategoría es una generalización del concepto de categoría que permite morfismos de aridad múltiple . Si los morfismos de una categoría se consideran análogos a las funciones , entonces los morfismos de una categoría múltiple son análogos a las funciones de varias variables. Las categorías múltiples también se denominan a veces operadas u operadas de colores.
Definición
Una multicategoría (no simétrica) consta de
- una colección (a menudo una clase adecuada ) de objetos ;
- para cada secuencia finita de objetos (para von Neumann ordinal ) y el objeto Y , un conjunto de morfismos dea Y ; y
- para cada objeto X , un morfismo identidad especial (con n = 1) a partir de X a X .
Además, existen operaciones de composición: dada una secuencia de secuencias de objetos, una secuencia de objetos, y un objeto Z : si
- para cada , f j es un morfismo dea Y j ; y
- g es un morfismo dea la Z :
entonces hay un morfismo compuesto de a Z . Esto debe satisfacer ciertos axiomas:
- Si m = 1, Z = Y 0 y g es el morfismo de identidad para Y 0 , entonces g ( f 0 ) = f 0 ;
- si por cada , n j = 1,, y f j es el morfismo de identidad para Y j , entonces; y
- una condición de asociatividad : si para cada y , es un morfismo de a , luego son morfismos idénticos de a Z .
Comcategorías
Una comcategoría (co- multicategoría ) es un conjunto O de objetos totalmente ordenado , un conjunto A de multiarrows con dos funciones
donde O % es el conjunto de todas las secuencias finitas ordenada de elementos de O . La imagen dual de una multiarrow f puede resumirse
Una categoría C también tiene un multiproducto con el carácter habitual de una operación de composición. Se dice que C es asociativo si tiene un axioma multiproducto en relación con este operador.
Cualquier categoría múltiple, simétrica o no simétrica, junto con un ordenamiento total del conjunto de objetos, se puede convertir en una categoría equivalente.
Un multiorder es una categoría que satisface las siguientes condiciones.
- Hay como máximo una hilera múltiple con cabeza y suelo determinados.
- Cada objeto x tiene una unidad multiarrow.
- Una multiarrow es una unidad si su suelo tiene una entrada.
Las órdenes múltiples son una generalización de órdenes parciales (posets) y fueron introducidas por primera vez (de pasada) por Tom Leinster. [1]
Ejemplos de
Hay una multicategoría cuyos objetos son (pequeños) conjuntos , donde un morfismo de los conjuntos de X 1 , X 2 , ..., y X n al conjunto Y es un n función ary , que es una función de la producto cartesiano X 1 × X 2 × ... × X n a Y .
Existe una multicategoría cuyos objetos son espacios vectoriales (sobre los números racionales , digamos), donde un morfismo de los espacios vectoriales X 1 , X 2 , ..., y X n al espacio vectorial Y es un operador multilineal , es decir una transformación lineal de la producto tensorial X 1 ⊗ X 2 ⊗ ... ⊗ X n a Y .
Más en general, dado cualquier categoría monoidal C , hay un multicategoría cuyos objetos son objetos de C , donde un morfismo de la C -Objetos X 1 , X 2 , ..., y X n a la C -objeto Y es un C -morphism a partir del producto monoidal de X 1 , X 2 , ..., y X n a y .
Un operad es una multicategoría con un objeto único; excepto en casos degenerados, tal categoría múltiple no proviene de una categoría monoidal.
Ejemplos de multiorder incluyen multisets puntiagudos (secuencia A262671 en el OEIS ), particiones enteras (secuencia A063834 en el OEIS ) y separaciones combinatorias (secuencia A269134 en el OEIS ). Los triángulos (o composiciones) de cualquier multiorder son morfismos de una categoría (no necesariamente asociativa) de contracciones y una categoría de descomposiciones . La categoría de contracción para el multiorder de las particiones multimin (secuencia A255397 en el OEIS ) es la categoría conocida más simple de multisets. [2]
Aplicaciones
A menudo se considera incorrectamente que las categorías múltiples pertenecen a la teoría de categorías superiores , ya que su aplicación original fue la observación de que los operadores y las identidades satisfechas por las categorías superiores son los objetos y las filas múltiples de una categoría múltiple. El estudio de n- categorías fue a su vez motivado por aplicaciones en topología algebraica e intentos de describir la teoría de homotopía de variedades de dimensiones superiores . Sin embargo, ha surgido principalmente de esta motivación y ahora también se considera parte de las matemáticas puras. [1]
La correspondencia entre contracciones y descomposiciones de triángulos en un orden múltiple permite construir un álgebra asociativa llamada álgebra de incidencia . Cualquier elemento que sea distinto de cero en todas las flechas unitarias tiene una composición inversa, y la función de Möbius de un multiorder se define como la composición inversa de la función zeta (constante-uno) en su álgebra de incidencia.
Historia
Las categorías múltiples fueron introducidas por primera vez con ese nombre por Jim Lambek en "Sistemas deductivos y categorías II" (1969) [3] . Menciona (p. 108) que "le dijeron que las categorías múltiples también han sido estudiadas por [Jean] Benabou y [Pierre ] Cartier ", y de hecho Leinster opina que" la idea podría haberle ocurrido a cualquiera que supiera lo que eran tanto una categoría como un mapa multilineal ". [1] : 63
Referencias
- ↑ a b Tom Leinster (2004). Operads superiores, categorías superiores . Prensa de la Universidad de Cambridge. arXiv : matemáticas / 0305049 . Bibcode : 2004hohc.book ..... L ., Ejemplo 2.1.7, página 37
- ^ Wiseman, Gus. "Comcategorías y Multiorders" . Documentos de Google . Consultado el 9 de mayo de 2016 .
- ^ . Lambek, Joachim (1969). "Sistemas deductivos y categorías II. Construcciones estándar y categorías cerradas". Apuntes de clase en matemáticas . 86 . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. págs. 76-122. doi : 10.1007 / bfb0079385 . ISBN 978-3-540-04605-9. ISSN 0075-8434 .
- Garner, Richard (2008). "Policategorías a través de leyes pseudodistributivas" . Avances en Matemáticas . 218 (3): 781–827. arXiv : matemáticas / 0606735 . doi : 10.1016 / j.aim.2008.02.001 . S2CID 17057235 .