Preheaf (teoría de categorías)

---

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una gavilla previa en una categoría es un funtor . Si es el conjunto de conjuntos abiertos en un espacio topológico , interpretado como una categoría, entonces se recupera la noción habitual de pregajo en un espacio topológico.${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle F \ colon C ^ {\ mathrm {op}} \ to \ mathbf {Set}}$${\ Displaystyle C}$

Un morfismo de prehecho se define como una transformación natural de los functores. Esto convierte la recopilación de todos los prehechos en una categoría y es un ejemplo de una categoría de functor . A menudo se escribe como . Un funtor en a veces se denomina profunctor .${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle {\ widehat {C}} = \ mathbf {Set} ^ {C ^ {\ mathrm {op}}}}$${\ Displaystyle {\ widehat {C}}}$

Una gavilla que es naturalmente isomórfica al hom-functor contravariante Hom (-, A ) para algún objeto A de C se llama una gavilla representable .

Algunos autores se refieren a un funtor como una pregama valorada . ^[1]${\ Displaystyle F \ dos puntos C ^ {\ mathrm {op}} \ to \ mathbf {V}}$${\ Displaystyle \ mathbf {V}}$

La construcción se denomina finalización colimita de C debido a la siguiente propiedad universal :${\ Displaystyle C \ mapsto {\ widehat {C}} = \ mathbf {Fct} (C ^ {\ text {op}}, \ mathbf {Set})}$

Proposición ^[3]  -  Sean C , D categorías y suponga que D admite pequeños colimits. Luego, cada funtor factoriza como${\ Displaystyle \ eta: C \ a D}$

---