Hom functor

En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , hom-sets , es decir, conjuntos de morfismos entre objetos, dan lugar a importantes functores de la categoría de conjuntos . Estos functores se denominan hom-functores y tienen numerosas aplicaciones en la teoría de categorías y otras ramas de las matemáticas.

Definicion formal

Sea C una categoría localmente pequeña (es decir, una categoría para la cual las clases hom son realmente conjuntos y no clases adecuadas ).

Para todos los objetos A y B en C definimos dos functores para la categoría de conjuntos de la siguiente manera:

Hom ( A , -): C → Establecer	Hom (-, B ): C → Establecer
Este es un funtor covariante dado por: Hom ( A , -) asigna cada objeto X en C al conjunto de morfismos , Hom ( A , X ) Hom ( A , -) mapea cada morfismo f : X → Y a la función Hom ( A , f ): Hom ( A , X ) → Hom ( A , Y ) dado por ${\ Displaystyle g \ mapsto f \ circ g}$ para cada g en Hom ( A , X ).	Este es un funtor contravariante dado por: Hom (-, B ) asigna cada objeto X en C al conjunto de morfismos , Hom ( X , B ) Hom (-, B ) asigna cada morfismo h : X → Y a la función Hom ( h , B ): Hom ( Y , B ) → Hom ( X , B ) dado por ${\ Displaystyle g \ mapsto g \ circ h}$ para cada g en Hom ( Y , B ).

El Hom funtor (-, B ) también se llama el funtor de puntos del objeto B .

Tenga en cuenta que la fijación del primer argumento de Hom da lugar naturalmente a un funtor covariante y la fijación del segundo argumento da naturalmente un funtor contravariante. Este es un artefacto de la forma en que se deben componer los morfismos.

El par de functores Hom ( A , -) y Hom (-, B ) están relacionados de forma natural . Para cualquier par de morfismos f : B → B ′ y h : A ′ → A el siguiente diagrama conmuta :

Ambos caminos envían g : A → B a f ∘ g ∘ h : A '→ B '.

La conmutatividad del diagrama anterior implica que Hom (-, -) es un bifunctor de C × C a Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo. De manera equivalente, podemos decir que Hom (-, -) es un bifunctor covariante

Hom (-, -): C ^op × C → Establecer

donde C ^op es la categoría opuesta a C . La notación Hom _C (-, -) se usa a veces para Hom (-, -) para enfatizar la categoría que forma el dominio.

Lema de Yoneda

Refiriéndose al diagrama conmutativo anterior, se observa que cada morfismo

h : A ′ → A

da lugar a una transformación natural

Hom ( h , -): Hom ( A , -) → Hom ( A ′, -)

y cada morfismo

f : B → B ′

da lugar a una transformación natural

Hom (-, f ): Hom (-, B ) → Hom (-, B ′)

El lema de Yoneda implica que toda transformación natural entre functores Hom es de esta forma. En otras palabras, los functores de Hom dan lugar a una integración completa y fiel de la categoría C en la categoría de functores Conjunto ^{C ^op} (covariante o contravariante según el functor de Hom que se utilice).

Functor Hom interno

Algunas categorías pueden poseer un funtor que se comporta como un funtor Hom, pero toma valores en la propia categoría C , en lugar de Set . Tal funtor se conoce como el funtor Hom interno , y a menudo se escribe como

{\ Displaystyle \ left [- \ - \ right]: C ^ {\ text {op}} \ times C \ to C}

para enfatizar su naturaleza de producto, o como

{\ Displaystyle \ Rightarrow: C ^ {\ text {op}} \ times C \ to C}

para enfatizar su naturaleza funcional, o en ocasiones simplemente en minúsculas:

{\ Displaystyle \ operatorname {hom} (-, -): C ^ {\ text {op}} \ times C \ to C.}

Para ver ejemplos, consulte la categoría de relaciones .

Las categorías que poseen un functor Hom interno se denominan categorías cerradas . Uno tiene eso

{\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (I, \ operatorname {hom} (-, -)) \ simeq \ operatorname {Hom} (-, -)}

,

donde I es el objeto unitario de la categoría cerrada. Para el caso de una categoría monoidal cerrada , esto se extiende a la noción de curado , es decir, que

{\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (X, Y \ Rightarrow Z) \ simeq \ operatorname {Hom} (X \ otimes Y, Z)}

donde es un bifunctor , el functor de producto interno que define una categoría monoidal . El isomorfismo es natural en tanto X y Z . En otras palabras, en una categoría monoidal cerrada, el funtor Hom interno es un funtor adjunto al funtor de producto interno. El objeto se llama Hom interno . Cuando es el producto cartesiano , el objeto se llama objeto exponencial y, a menudo, se escribe como . ${\ Displaystyle \ otimes}$ ${\ Displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ ${\ Displaystyle \ otimes}$ ${\ Displaystyle \ times}$ ${\ Displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ ${\ Displaystyle Z ^ {Y}}$

Los homs internos, cuando se encadenan, forman un lenguaje, llamado lenguaje interno de la categoría. Los más famosos son el cálculo lambda mecanografiado , que es el lenguaje interno de las categorías cerradas cartesianas , y el sistema de tipos lineales , que es el lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas .

Propiedades

Tenga en cuenta que un funtor de la forma

Hom (-, A): C ^op → Establecer

es una gavilla ; de la misma forma, Hom (A, -) es un copreheaf.

Un funtor F : C → Conjunto que es naturalmente isomorfo a Hom (A, -) para algún A en C , se llama functor representable (o copresheaf representable); del mismo modo, un functor contravariante equivalente a Hom (-, A) podría llamarse corepresentable.

Tenga en cuenta que Hom (-, -): C ^op × C → Set es un profunctor y, específicamente, es el profunctor de identidad . ${\ Displaystyle \ operatorname {id} _ {C} \ colon C \ nrightarrow C}$

El functor hom interno conserva los límites ; es decir, envía límites a límites, mientras que envía límites , es decir colimits , a límites . En cierto sentido, esto puede tomarse como la definición de un límite o colimit. $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ $\operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C$ $C^{\text{op}}$ $C$

Otras propiedades

Si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces Hom _A ( A , -) es un funtor covariante exacto a la izquierda de A a la categoría Ab de grupos abelianos . Es exacto si y solo si A es proyectivo . ^[1]

Deje que R sea un anillo y M a la izquierda R - módulo . El funtor Hom _R ( M , -): Mod - R → Ab es correcto adjunto al producto tensorial funtor - _R M: Ab → Mod - R . $\otimes$

Ver también

Functor ext
Categoría de functor
Funtor representable

Notas

^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

Referencias

Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, el análisis categórico de la lógica (edición revisada). Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-45026-1. Consultado el 25 de noviembre de 2009 .
Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . 2 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

enlaces externos

Hom functor en nLab
Hom interno en nLab

[1] Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.