En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , los profunctors son una generalización de relaciones y también de bimódulos .
Definición
Un profunctor (también llamado distribuidor por la escuela francesa y módulo por la escuela de Sydney)de una categoría a una categoría , escrito
- ,
se define como un functor
dónde denota la categoría opuesta de y denota la categoría de conjuntos . Morfismos dados respectivamente en y un elemento , nosotros escribimos para denotar las acciones.
Usando el cierre cartesiano de, la categoría de categorías pequeñas , el profunctor puede verse como un functor
dónde denota la categoría de prehaces más.
Una correspondencia de a es un profunctor .
Profunctors como categorías
Una definición equivalente de profunctor es una categoría cuyos objetos son la unión disjunta de los objetos de y los objetos de , y cuyos morfismos son los morfismos de y los morfismos de , más cero o más morfismos adicionales de objetos de a objetos de . Los conjuntos en la definición formal anterior son los conjuntos hom-conjuntos entre objetos de y objetos de . (Estos también se conocen como het-conjuntos, ya que los morfismos correspondientes se pueden llamar heteromorfismos . [1] ) La definición anterior se puede recuperar mediante la restricción del hom-functor a .
Esto también deja en claro que un profunctor puede considerarse como una relación entre los objetos de y los objetos de , donde cada miembro de la relación está asociado con un conjunto de morfismos. Un funtor es un caso especial de un profunctor de la misma manera que una función es un caso especial de una relación.
Composición de profunctors
El compuesto de dos profunctors
- y
es dado por
dónde es la extensión Kan izquierda del functora lo largo del functor de Yoneda de (que a cada objeto de asocia el functor ).
Se puede demostrar que
dónde es la relación de menor equivalencia tal que siempre que exista un morfismo en tal que
- y .
La bicategoría de profunctors
La composición de profunctors es asociativa solo hasta el isomorfismo (porque el producto no es estrictamente asociativo en Set ). Por tanto, lo mejor que se puede esperar es construir un profesor bicategoría cuyo
- Las celdas 0 son categorías pequeñas ,
- Las celdas 1 entre dos categorías pequeñas son los profunctores entre esas categorías,
- 2 celdas entre dos profunctores son las transformaciones naturales entre esos profunctores.
Propiedades
Elevando functors a profunctors
Un functor puede ser visto como un profunctor postcomponiendo con el functor Yoneda:
- .
Se puede demostrar que tal profunctor tiene un adjunto derecho. Además, esta es una caracterización: un profunctor tiene un derecho adjunto si y solo si factores a través de la finalización de Cauchy de, es decir, existe un functor tal que .
Referencias
- ^ heteromorfismo
- Bénabou, Jean (2000). "Distribuidores en el trabajo" (PDF) . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica . TAZA.
- Lurie, Jacob (2009). Teoría del Topos Superior . Prensa de la Universidad de Princeton.
- Profunctor en nLab
- Heteromorfismo en nLab