Distribución de Cauchy
La distribución de Cauchy , llamada así por Augustin Cauchy , es una distribución de probabilidad continua . También se conoce, especialmente entre los físicos , como distribución de Lorentz (después de Hendrik Lorentz ), distribución de Cauchy-Lorentz , función de Lorentz (ian) o distribución de Breit-Wigner . La distribución de Cauchy es la distribución de la intersección x de un rayo que sale con un ángulo uniformemente distribuido. También es la distribución del cociente de dos independientes normalmente distribuidosvariables aleatorias con media cero.
La distribución de Cauchy se usa a menudo en estadística como el ejemplo canónico de una distribución " patológica " ya que tanto su valor esperado como su varianza no están definidos (pero vea § Explicación de momentos indefinidos a continuación). La distribución de Cauchy no tiene momentos finitos de orden mayor o igual a uno; sólo existen momentos absolutos fraccionarios. [1] La distribución de Cauchy no tiene una función generadora de momentos .
En matemáticas , está estrechamente relacionado con el núcleo de Poisson , que es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en el semiplano superior .
Es una de las pocas distribuciones que es estable y tiene una función de densidad de probabilidad que se puede expresar analíticamente, las otras son la distribución normal y la distribución de Lévy .
Una función con la forma de la función de densidad de la distribución de Cauchy fue estudiada geométricamente por Fermat en 1659, y más tarde fue conocida como la bruja de Agnesi , después de que Agnesi la incluyera como ejemplo en su libro de texto de cálculo de 1748. A pesar de su nombre, el primer análisis explícito de las propiedades de la distribución de Cauchy fue publicado por el matemático francés Poisson en 1824, y Cauchy solo se asoció con él durante una controversia académica en 1853. [2] Poisson señaló que si la media de las observaciones siguiendo tal distribución, el error medio no convergió a ningún número finito. Como tal, el uso de Laplace del teorema del límite centralcon tal distribución era inapropiado, ya que asumía una media y una varianza finitas. A pesar de esto, Poisson no le dio importancia al tema, a diferencia de Bienaymé , quien entablaría con Cauchy una larga disputa sobre el asunto.
donde es el parámetro de ubicación , que especifica la ubicación del pico de la distribución, y es el parámetro de escala que especifica la mitad del ancho en la mitad del máximo (HWHM), alternativamente, es el ancho completo en la mitad del máximo (FWHM). también es igual a la mitad del rango intercuartil ya veces se le llama error probable . Augustin-Louis Cauchy explotó tal función de densidad en 1827 con un parámetro de escala infinitesimal , definiendo lo que ahora se llamaría una función delta de Dirac .
