En la teoría de la probabilidad , un proceso de Cauchy es un tipo de proceso estocástico . Hay formas simétricas y asimétricas del proceso de Cauchy. [1] El término no especificado "proceso de Cauchy" se utiliza a menudo para referirse al proceso de Cauchy simétrico. [2]
El proceso de Cauchy tiene varias propiedades:
- Es un proceso de Lévy [3] [4] [5]
- Es un proceso estable [1] [2]
- Es un proceso de salto puro [6]
- Sus momentos son infinitos .
Proceso de Cauchy simétrico
El proceso simétrico de Cauchy puede describirse mediante un movimiento browniano o un proceso de Wiener sujeto a un subordinador de Lévy . [7] El subordinador de Lévy es un proceso asociado con una distribución de Lévy que tiene un parámetro de ubicación de y un parámetro de escala de . [7] La distribución de Lévy es un caso especial de la distribución gamma inversa . Entonces, usando para representar el proceso de Cauchy y Para representar al subordinador de Lévy, el proceso simétrico de Cauchy se puede describir como:
La distribución de Lévy es la probabilidad del primer momento de impacto para un movimiento browniano y, por lo tanto, el proceso de Cauchy es esencialmente el resultado de dos procesos de movimiento browniano independientes . [7]
La representación de Lévy-Khintchine para el proceso simétrico de Cauchy es un triplete con deriva cero y difusión cero, dando un triplete Lévy-Khintchine de, dónde . [8]
La función característica marginal del proceso de Cauchy simétrico tiene la forma: [1] [8]
La distribución de probabilidad marginal del proceso de Cauchy simétrico es la distribución de Cauchy cuya densidad es [8] [9]
Proceso de Cauchy asimétrico
El proceso de Cauchy asimétrico se define en términos de un parámetro . Aquíes el parámetro de asimetría , y su valor absoluto debe ser menor o igual a 1. [1] En el caso dondeel proceso se considera un proceso de Cauchy completamente asimétrico. [1]
El triplete Lévy-Khintchine tiene la forma , dónde , dónde , y . [1]
Dado este, es una función de y .
La función característica de la distribución asimétrica de Cauchy tiene la forma: [1]
La distribución de probabilidad marginal del proceso asimétrico de Cauchy es una distribución estable con índice de estabilidad (es decir, parámetro α) igual a 1.
Referencias
- ^ a b c d e f g Kovalenko, IN; et al. (1996). Modelos de procesos aleatorios: un manual para matemáticos e ingenieros . Prensa CRC. págs. 210–211. ISBN 9780849328701.
- ^ a b Engelbert, HJ, Kurenok, VP y Zalinescu, A. (2006). "Sobre la existencia y unicidad de las soluciones reflejadas de ecuaciones estocásticas impulsadas por procesos estables simétricos". En Kabanov, Y .; Liptser, R .; Stoyanov, J. (eds.). Del cálculo estocástico a las finanzas matemáticas: el Shiryaev Festschrift . Saltador. pag. 228 . ISBN 9783540307884.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Winkel, M. "Introducción a los procesos de Levy" (PDF) . págs. 15-16 . Consultado el 7 de febrero de 2013 .
- ^ Jacob, N. (2005). Operadores Pseudo Diferenciales y Procesos de Markov: Procesos y Aplicaciones de Markov, Volumen 3 . Prensa del Imperial College. pag. 135. ISBN 9781860945687.
- ^ Bertoin, J. (2001). "Algunos elementos sobre los procesos de Lévy". En Shanbhag, DN (ed.). Procesos estocásticos: teoría y métodos . Publicaciones profesionales del Golfo. pag. 122. ISBN 9780444500144.
- ^ Kroese, DP ; Taimre, T .; Botev, ZI (2011). Manual de métodos de Monte Carlo . John Wiley e hijos. pag. 214 . ISBN 9781118014950.
- ^ a b c Applebaum, D. "Conferencias sobre procesos de Lévy y cálculo estocástico, Braunschweig; Conferencia 2: Procesos de Lévy" (PDF) . Universidad de Sheffield. págs. 37–53.
- ^ a b c Cinlar, E. (2011). Probabilidad y estocástico . Saltador. pag. 332 . ISBN 9780387878591.
- ^ Itô, K. (2006). Fundamentos de los procesos estocásticos . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 54. ISBN 9780821838983.