En matemáticas, una métrica de Cayley-Klein es una métrica sobre el complemento de una cuadrática fija en un espacio proyectivo que se define mediante una relación cruzada . La construcción se originó con el ensayo de Arthur Cayley "Sobre la teoría de la distancia" [1], donde llama al cuádrico el absoluto . La construcción fue desarrollada con más detalle por Felix Klein en artículos de 1871 y 1873, y libros y artículos posteriores. [2] Las métricas de Cayley-Klein son una idea unificadora en geometría, ya que el método se utiliza para proporcionar métricas en geometría hiperbólica , geometría elípticay geometría euclidiana . El campo de la geometría no euclidiana se basa en gran medida en la base proporcionada por las métricas de Cayley-Klein.
Cimientos
El álgebra de tiros de Karl von Staudt (1847) es un enfoque de la geometría que es independiente de la métrica . La idea era utilizar la relación de conjugados armónicos proyectivos y relaciones cruzadas como fundamental para la medida en una línea. [3] Otra idea importante fue la fórmula de Laguerre de Edmond Laguerre (1853), quien mostró que el ángulo euclidiano entre dos líneas se puede expresar como el logaritmo de una relación cruzada. [4] Finalmente, Cayley (1859) formuló relaciones para expresar la distancia en términos de una métrica proyectiva y las relacionó con cuadrículas generales o cónicas que sirven como el absoluto de la geometría. [5] [6] Klein (1871, 1873) eliminó los últimos restos de conceptos métricos del trabajo de von Staudt y los combinó con la teoría de Cayley, para basar la nueva métrica de Cayley en el logaritmo y la relación cruzada como un número generado por el Disposición geométrica de cuatro puntos. [7] Este procedimiento es necesario para evitar una definición circular de distancia si la relación cruzada es simplemente una relación doble de las distancias previamente definidas. [8] En particular, mostró que las geometrías no euclidianas pueden basarse en la métrica de Cayley-Klein. [9]
La geometría de Cayley-Klein es el estudio del grupo de movimientos que dejan la invariante métrica de Cayley-Klein . Depende de la selección de un cuádrico o cónico que se convierte en el absoluto del espacio. Este grupo se obtiene como las colinaciones para las que el absoluto es estable . De hecho, la relación cruzada es invariante bajo cualquier colineación, y el absoluto estable permite la comparación métrica, que será la igualdad. Por ejemplo, el círculo unitario es el absoluto del modelo de disco de Poincaré y el modelo de Beltrami-Klein en geometría hiperbólica . De manera similar, la línea real es el absoluto del modelo de semiplano de Poincaré .
El alcance de la geometría de Cayley-Klein fue resumido por Horst y Rolf Struve en 2004: [10]
- Hay tres absolutos en la línea proyectiva real, siete en el plano proyectivo real y 18 en el espacio proyectivo real. Todos los espacios proyectivos clásicos no euclidianos como hiperbólicos, elípticos, galileanos y minkowskianos y sus duales se pueden definir de esta manera.
Los diagramas de Cayley-Klein Voronoi son diagramas afines con bisectrices de hiperplano lineales . [11]
Relación cruzada y distancia
Suponga que Q es un cuadrático fijo en el espacio proyectivo que se convierte en el absoluto de esa geometría. Si un y b son 2 puntos entonces la línea a través de una y b intersecta la cuádrica Q en otros dos puntos p y q . La distancia de Cayley-Klein d ( a , b ) de a a b es proporcional al logaritmo de la relación cruzada : [12]
- para alguna constante fija C .
Cuando C es real, representa la distancia hiperbólica de la geometría hiperbólica , cuando es imaginaria se relaciona con la geometría elíptica . El absoluto también se puede expresar en términos de cuadrículas o cónicas arbitrarias que tienen la forma en coordenadas homogéneas :
(donde α , β = 1,2,3 se relaciona con el plano y α , β = 1,2,3,4 con el espacio), así: [13]
La distancia hiperbólica correspondiente es (con C = 1/2 para simplificar): [14]
o en geometría elíptica (con C = i / 2 para simplificar) [15]
Formas normales del absoluto
Cualquier cuadrático (o superficie de segundo orden) con coeficientes reales de la formase puede transformar en formas normales o canónicas en términos de sumas de cuadrados, mientras que la diferencia en el número de signos positivos y negativos no cambia bajo una transformación homogénea real del determinante ≠ 0 por la ley de inercia de Sylvester , con la siguiente clasificación ( "parte cero" significa ecuación real de la cuadrática, pero no puntos reales): [16]
- Superficies adecuadas de segundo orden .
- . Superficie sin partes.
- . Superficie ovalada .
- Elipsoide
- Paraboloide elíptico
- En dos hoja hiperboloide
- . Superficie del anillo.
- Hiperboloide de una hoja
- Paraboloide hiperbólico
- Superficies cónicas de segundo orden .
- . Cono de parte cero.
- Cono de parte cero
- Cilindro de pieza cero
- . Cono ordinario.
- Cono
- Cilindro elíptico
- Cilindro parabólico
- Cilindro hiperbólico
- . Cono de parte cero.
- Pares de planos .
- . Pares de planos imaginarios conjugados.
- Planos imaginarios que se cruzan mutuamente.
- Planos imaginarios paralelos.
- . Pares de aviones reales.
- Planos que se cruzan mutuamente.
- Planos paralelos.
- Un plano es finito, el otro infinitamente distante, por lo que no existe desde el punto de vista afín.
- . Pares de planos imaginarios conjugados.
- Aviones de doble contaje .
- .
- Plano finito de conteo doble.
- Plano de conteo doble infinitamente distante, no existente en geometría afín.
- .
Las colinaciones que dejan invariantes estas formas pueden estar relacionadas con transformaciones fraccionarias lineales o transformaciones de Möbius . [17] Estas formas y sus transformaciones ahora se pueden aplicar a varios tipos de espacios, que se pueden unificar mediante el uso de un parámetro ε (donde ε = 0 para geometría euclidiana, ε = 1 para geometría elíptica, ε = −1 para geometría hiperbólica ), de modo que la ecuación en el plano se convierte en[18] y en el espacio. [19] Por ejemplo, el absoluto para el plano euclidiano ahora se puede representar por. [20]
El plano o espacio elíptico está relacionado con superficies de partes cero en coordenadas homogéneas: [21]
o usando coordenadas no homogéneas por el cual lo absoluto se convierte en el círculo unitario imaginario o la esfera unitaria: [22]
o expresando las coordenadas homogéneas en términos de la condición (Coordenadas de Weierstrass) la distancia se simplifica a: [23]
El plano o espacio hiperbólico está relacionado con la superficie ovalada en coordenadas homogéneas: [24]
o usando coordenadas no homogéneas por el cual el absoluto se convierte en el círculo unitario o la esfera unitaria: [25]
o expresando las coordenadas homogéneas en términos de la condición (Coordenadas de Weierstrass del modelo hiperboloide ) la distancia se simplifica a: [26]
Relatividad especial
En sus conferencias sobre la historia de las matemáticas de 1919/20, publicadas póstumamente en 1926, Klein escribió: [27]
- El caso en el mundo de cuatro dimensiones o (permanecer en tres dimensiones y utilizar coordenadas homogéneas ) ha ganado recientemente un significado especial a través de la teoría de la relatividad de la física.
Es decir, los absolutos o en geometría hiperbólica (como se discutió anteriormente), corresponden a los intervalos o en el espacio-tiempo , y su transformación dejando el invariante absoluto puede relacionarse con las transformaciones de Lorentz . De manera similar, las ecuaciones del círculo unitario o la esfera unitaria en geometría hiperbólica corresponden a velocidades físicas o en relatividad, que están limitadas por la velocidad de la luz c , de modo que para cualquier velocidad física v , la relación v / c se limita al interior de una esfera unitaria, y la superficie de la esfera forma el absoluto de Cayley para la geometría.
Klein señaló detalles adicionales sobre la relación entre la métrica de Cayley-Klein para el espacio hiperbólico y el espacio de Minkowski de la relatividad especial en 1910, [28] así como en la edición de 1928 de sus conferencias sobre geometría no euclidiana. [29]
Geometría CK afín
En 2008, Horst Martini y Margarita Spirova generalizaron el primero de los teoremas del círculo de Clifford y otra geometría euclidiana utilizando geometría afín asociada con el absoluto de Cayley:
- Si el absoluto contiene una línea, se obtiene una subfamilia de geometrías afines de Cayley-Klein . Si el absoluto consta de una línea f y un punto F en f , entonces tenemos la geometría isotrópica . Un círculo isotrópico es un tacto cónica f en F . [30]
Utilice coordenadas homogéneas ( x, y, z ). La línea f en el infinito es z = 0. Si F = (0,1,0), entonces una parábola con diámetro paralelo al eje y es un círculo isotrópico.
Deje que P = (1,0,0) y Q = (0,1,0) estén en el absoluto, entonces f es como arriba. Se considera que una hipérbola rectangular en el plano ( x, y ) pasa por P y Q en la línea en el infinito. Estas curvas son los círculos pseudo-euclidianos.
El tratamiento de Martini y Spirova utiliza números duales para la geometría isótropa y números complejos divididos para la geometría pseudoeuclidiana. Estos números complejos generalizados se asocian con sus geometrías como lo hacen los números complejos ordinarios con la geometría euclidiana.
Historia
Cayley
Littlewood (1986 , págs. 39–40)
Arthur Cayley (1859) definió el "absoluto" sobre el que basó su métrica proyectiva como una ecuación general de una superficie de segundo grado en términos de coordenadas homogéneas : [1]
original | moderno |
---|---|
La distancia entre dos puntos viene dada por
original | moderno |
---|---|
En dos dimensiones
original | moderno |
---|---|
con la distancia
original | moderno |
---|---|
del cual discutió el caso especial con la distancia
También aludió al caso (esfera unitaria).
Klein
Felix Klein (1871) reformuló las expresiones de Cayley de la siguiente manera: Escribió el absoluto (que llamó sección cónica fundamental) en términos de coordenadas homogéneas: [31]
original | moderno |
---|---|
y formando los absolutos y para dos elementos, definió la distancia métrica entre ellos en términos de la relación cruzada:
En el plano, se mantienen las mismas relaciones para distancias métricas, excepto que y ahora están relacionados con tres coordenadas cada. Como sección cónica fundamental discutió el caso especial, que se relaciona con la geometría hiperbólica cuando es real, y con la geometría elíptica cuando es imaginaria. [32] Las transformaciones que dejan invariante esta forma representan movimientos en el respectivo espacio no euclidiano. Alternativamente, usó la ecuación del círculo en la forma, que se relaciona con la geometría hiperbólica cuando es positivo (modelo de Beltrami-Klein) oa la geometría elíptica cuando es negativo. [33] En el espacio, discutió las superficies fundamentales de segundo grado, según las cuales las imaginarias se refieren a la geometría elíptica, las reales y las rectilíneas corresponden a un hiperboloide de una hoja sin relación con una de las tres geometrías principales, mientras que las reales y no -rectilineales se refieren al espacio hiperbólico.
En su artículo de 1873 señaló la relación entre la métrica de Cayley y los grupos de transformación. [34] En particular, las ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales, correspondientes a superficies de segundo grado, se pueden transformar en una suma de cuadrados, de los cuales la diferencia entre el número de signos positivos y negativos permanece igual (esto ahora se llama ley de Sylvester de inercia ). Si el signo de todos los cuadrados es el mismo, la superficie es imaginaria con curvatura positiva. Si un signo difiere de los demás, la superficie se convierte en un elipsoide o hiperboloide de dos hojas con curvatura negativa.
En el primer volumen de sus conferencias sobre geometría no euclidiana en el semestre de invierno 1889/90 (publicado en 1892/1893), discutió el plano no euclidiano, usando estas expresiones para el absoluto: [35]
y discutieron su invariancia con respecto a las colinaciones y las transformaciones de Möbius que representan movimientos en espacios no euclidianos.
En el segundo volumen que contiene las conferencias del semestre de verano de 1890 (también publicado en 1892/1893), Klein discutió el espacio no euclidiano con la métrica de Cayley [36]
y pasó a demostrar que las variantes de esta forma cuadrática cuaternaria se pueden llevar a una de las siguientes cinco formas mediante transformaciones lineales reales [37]
La forma Klein lo utilizó como el absoluto de Cayley de la geometría elíptica, [38] mientras que con la geometría hiperbólica relacionó y alternativamente la ecuación de la esfera unitaria . [39] Finalmente discutió su invariancia con respecto a las colinaciones y las transformaciones de Möbius que representan movimientos en espacios no euclidianos.
Robert Fricke y Klein resumieron todo esto en la introducción al primer volumen de conferencias sobre funciones automórficas en 1897, en las que utilizaron como el absoluto en geometría plana, y así como para espacio hiperbólico. [40] Las conferencias de Klein sobre geometría no euclidiana se republicaron póstumamente como un volumen y fueron editadas significativamente por Walther Rosemann en 1928. [41] A'Campo y Papadopoulos (2014) dieron un análisis histórico del trabajo de Klein sobre geometría no euclidiana. . [9]
Ver también
- Métrica de Hilbert
Notas
- ↑ a b Cayley (1859), p 82, §§209 a 229
- ↑ Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke / Klein (1897), Klein (1910), Klein / Ackerman (1926/1979), Klein / Rosemann (1928)
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 163
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 138
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 303
- ↑ Pierpont (1930), pág. 67ff
- ^ Klein y Rosemann (1928), págs. 163, 304
- ↑ Russell (1898), página 32
- ↑ a b Campo y Papadopoulos (2014)
- ^ H & R Struve (2004) página 157
- ↑ Nielsen (2016)
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 164
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 167ff
- ^ Veblen y Young (1918), p. 366
- ^ Veblen y Young (1918), p. 372
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 68; Véanse también las clasificaciones en las págs.70, 72, 74, 85, 92
- ^ Klein y Rosemann (1928), capítulo III
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 109f
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 125f
- ^ Klein y Rosemann (1928), págs. 132 y sig.
- ^ Klein y Rosemann (1928), p. 149, 151, 233
- ^ Liebmann (1923), págs. 111, 118
- ^ Matar (1885), págs. 18, 57, 71 con k 2 = 1 para geometría elíptica
- ^ Klein y Rosemann (1928), págs. 185, 251
- ↑ Hausdorff (1899), pág. 192 para el avión
- ^ Matar (1885), págs. 18, 57, 71 con k 2 = -1 para geometría hiperbólica
- ↑ Klein / Ackerman (1926/1979), pág. 138
- ↑ Klein (1910)
- ^ Klein y Rosemann (1928), capítulo XI, §5
- ^ Martini y Spirova (2008)
- ↑ Klein (1871), pág. 587
- ↑ Klein (1871), pág. 601
- ↑ Klein (1871), pág. 618
- ↑ Klein (1873), párrafo 7
- ↑ Klein (1893a), págs.64, 94, 109, 138
- ↑ Klein (1893b), pág. 61
- ↑ Klein (1893b), pág. 64
- ↑ Klein (1893b), págs. 76 y sig., 108 y sig.
- ↑ Klein (1893b), págs. 82ss, 142ff
- ^ Fricke y Klein (1897), Introducción págs. 1-60
- ↑ Klein y Rosemann (1928)
Referencias
- Histórico
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- Fuentes secundarias
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- Bertrand Russell (1898) Ensayo sobre los fundamentos de la geometría , reeditado en 1956 por Dover Books
- Alfred North Whitehead (1898) Álgebra universal , Libro VI Capítulo 1: Teoría de la distancia, págs. 347–70, especialmente Sección 199 Teoría de la distancia de Cayley.
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Otras lecturas
- Jan Drösler (1979) "Fundamentos de la escala métrica multidimensional en geometrías de Cayley-Klein", British Journal of Mathematical and Statistical Psychology 32 (2); 185–211