En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de grupos , el producto central es una forma de producir un grupo a partir de dos grupos más pequeños. El producto central es similar al producto directo , pero en el producto central dos subgrupos centrales isomorfos de los grupos más pequeños se fusionan en un solo subgrupo central del producto. Los productos centrales son una construcción importante y se pueden utilizar, por ejemplo, para clasificar grupos extraespeciales .
Definición
Hay varias nociones relacionadas pero distintas de producto central. De manera similar al producto directo , existen caracterizaciones tanto internas como externas, y además hay variaciones sobre cuán estrictamente se controla la intersección de los factores.
Un grupo G es un producto central interno de dos subgrupos H , K si
- G es generado por H y K y
- cada elemento de H conmuta con cada elemento de K ( Gorenstein 1980 , p. 29).
A veces se impone el requisito más estricto de que H ∩ K es exactamente igual al centro, como en ( Leedham-Green & McKay 2002 , p. 32). Los subgrupos H y K son entonces llamados factores centrales de G .
El producto central externo se construye a partir de dos grupos H y K , dos subgrupos H 1 ≤ Z ( H ), K 1 ≤ Z ( K ) y un isomorfismo de grupo θ : H 1 → K 1 . El producto central externo es el cociente del producto directo H × K por el subgrupo normal N = {( h , k ): h en H 1 , k en K 1 y θ ( h ) ⋅ k = 1}, ( Gorenstein 1980 , pág.29). A veces se impone el requisito más estricto de que H 1 = Z ( H ) y K 1 = Z ( K ), como en ( Leedham-Green & McKay 2002 , p. 32).
Un producto central interno es isomorfo a un producto central externo con H 1 = K 1 = H ∩ K y θ la identidad. Un producto central externo es un producto central interno de las imágenes de H × 1 y 1 × K en el grupo del cociente. Esto se muestra para cada definición en ( Gorenstein 1980 , p. 29) y ( Leedham-Green & McKay 2002 , pp. 32-33).
Tenga en cuenta que el producto central externo no está determinado en general por sus factores H y K únicamente. El tipo de isomorfismo del producto central dependerá del isomorfismo θ . Sin embargo, está bien definido en algunas situaciones notables, por ejemplo, cuando H y K son grupos finitos extra especiales y y .
Ejemplos de
- El grupo de Pauli es el producto central del grupo cíclico y el grupo diedro .
- Cada grupo extra especial es un producto central de grupos extra especiales de orden p 3 .
- La capa de un grupo finito, es decir, el subgrupo generado por todos los subgrupos cuasi-simples subnormales , es un producto central de los grupos cuasi-simples en el sentido de Gorenstein.
Aplicaciones
La teoría de la representación de los productos centrales es muy similar a la teoría de la representación de los productos directos, por lo que se comprende bien ( Gorenstein 1980 , cap. 3.7).
Los productos centrales ocurren en muchos lemas estructurales, como ( Gorenstein 1980 , p. 350, Lema 10.5.5) que se usa en el resultado de George Glauberman de que los grupos finitos que admiten un grupo de cuatro de Klein de automorfismos libres de punto fijo son solubles .
Referencias
- Gorenstein, Daniel (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
- Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), The structure of groups of prime power order , London Mathematical Society Monographs. Nueva serie, 27 , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5, Señor 1918951