En la teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , los grupos extraespeciales son análogos del grupo de Heisenberg sobre campos finitos cuyo tamaño es primo. Para cada primo p y entero positivo n hay exactamente dos (hasta isomorfismo) grupos extraespeciales de orden p 1 + 2 n . Los grupos extraespeciales suelen aparecer en centralizadores de involuciones. La teoría del carácter ordinario de los grupos extraespeciales se comprende bien.
Definición
Recordemos que un grupo finito se llama un p -grupo si su orden es una potencia de un número primo p .
A p -Grupo G se llama extra especial si su centro Z es cíclico de orden p , y el cociente G / Z es un no trivial elemental abeliano p -Grupo.
Los grupos extraespeciales de orden p 1 + 2 n a menudo se denotan con el símbolo p 1 + 2 n . Por ejemplo, 2 1 + 24 representa un grupo extraespecial de orden 2 25 .
Clasificación
Cada grupo p extraespecial tiene el orden p 1 + 2 n para algún entero positivo n , y a la inversa, para cada uno de esos números hay exactamente dos grupos extraespeciales hasta el isomorfismo. Un producto central de dos grupos p extraespeciales es extraespecial, y cada grupo extraespecial puede escribirse como un producto central de grupos extraespeciales de orden p 3 . Esto reduce la clasificación de grupos extraespeciales a la de grupos extraespeciales de orden p 3 . La clasificación se presenta a menudo de manera diferente en los dos casos p impar yp = 2, pero también es posible una presentación uniforme.
p impar
Hay dos grupos extraespeciales de orden p 3 , que para p impar están dados por
- El grupo de matrices triangulares de 3x3 sobre el campo con p elementos, con unos en la diagonal. Este grupo tiene exponente p para p impar (pero exponente 4 si p = 2).
- El producto semidirecto de un grupo cíclico de orden p 2 por un grupo cíclico de orden p que actúa de forma no trivial sobre él. Este grupo tiene exponente p 2 .
Si n es un número entero positivo, hay dos grupos extraespeciales de orden p 1 + 2 n , que para p impar están dados por
- El producto central de n grupos extraespeciales de orden p 3 , todos de exponente p . Este grupo extraespecial también tiene exponente p .
- El producto central de n grupos extraespeciales de orden p 3 , al menos uno de exponente p 2 . Este grupo extraespecial tiene exponente p 2 .
Los dos grupos extraespeciales de orden p 1 + 2 n se distinguen más fácilmente por el hecho de que uno tiene todos los elementos de orden como máximo py el otro tiene elementos de orden p 2 .
p = 2
Hay dos grupos extraespeciales de orden 8 = 2 3 , que están dados por
- El grupo diedro D 8 de orden 8, que también puede estar dado por cualquiera de las dos construcciones en la sección anterior para p = 2 (para p impar dan diferentes grupos, pero para p = 2 dan el mismo grupo). Este grupo tiene 2 elementos de orden 4.
- El grupo de cuaterniones Q 8 de orden 8, que tiene 6 elementos de orden 4.
Si n es un entero positivo, hay dos grupos extraespeciales de orden 2 1 + 2 n , que vienen dados por
- Producto central de n grupos extraespeciales de orden 8, un número impar de los cuales son grupos de cuaterniones. La forma cuadrática correspondiente (ver más abajo) tiene Arf invariante 1.
- Producto central de n grupos extraespeciales de orden 8, un número par de los cuales son grupos de cuaterniones. La forma cuadrática correspondiente (ver más abajo) tiene Arf invariante 0.
Los dos grupos extraespeciales G de orden 2 1 + 2 n se distinguen más fácilmente de la siguiente manera. Si Z es el centro, entonces G / Z es un espacio vectorial sobre el campo con 2 elementos. Tiene una forma cuadrática q , donde q es 1 si la elevación de un elemento tiene orden 4 en G y 0 en caso contrario. Entonces, el invariante Arf de esta forma cuadrática se puede usar para distinguir los dos grupos extraespeciales. De manera equivalente, se pueden distinguir los grupos contando el número de elementos de orden 4.
Todo p
Se puede dar una presentación uniforme de los grupos extraespeciales de orden p 1 + 2 n de la siguiente manera. Defina los dos grupos:
M ( p ) y N ( p ) son grupos extraespeciales no isomórficos de orden p 3 con centro de orden p generado por c . Los dos grupos extraespeciales no isomórficos de orden p 1 + 2 n son los productos centrales de n copias de M ( p ) o n −1 copias de M ( p ) y 1 copia de N ( p ). Este es un caso especial de una clasificación de p -grupos con centros cíclicos y subgrupos derivados simples dada en ( Newman 1960 ).
Teoría del carácter
Si G es un grupo extraespecial de orden p 1 + 2 n , entonces sus representaciones complejas irreducibles se dan de la siguiente manera:
- Hay exactamente p 2 n representaciones irreducibles de dimensión 1. El centro Z actúa trivialmente, y las representaciones simplemente corresponden a las representaciones del grupo abeliano G / Z .
- Hay exactamente p - 1 representaciones irreductibles de dimensión p n . Hay uno de estos para cada carácter no trivial χ del centro, en el que el centro actúa como una multiplicación por χ. Los valores de caracteres están dadas por p n χ en Z , y 0 para los elementos no en Z .
- Si un p -grupo G no beliano tiene menos de p 2 - p caracteres irreducibles no lineales de grado mínimo, es extraespecial.
Ejemplos de
Es bastante común que el centralizador de una involución en un grupo simple finito contenga un subgrupo extraespecial normal. Por ejemplo, el centralizador de una involución de tipo 2B en el grupo de monstruos tiene la estructura 2 1 + 24 .Co 1 , lo que significa que tiene un subgrupo extraespecial normal de orden 2 1 + 24 , y el cociente es uno de los grupos de Conway. .
Generalizaciones
Los grupos cuyo centro , subgrupo derivado y subgrupo de Frattini son todos iguales se denominan grupos especiales . Los grupos especiales infinitos cuyo subgrupo derivado tiene el orden p también se denominan grupos extraespeciales. La clasificación de grupos extraespeciales numerables infinitos es muy similar al caso finito ( Newman 1960 ), pero para cardinalidades más grandes, incluso las propiedades básicas de los grupos dependen de cuestiones delicadas de la teoría de conjuntos, algunas de las cuales se exponen en ( Shelah y Steprãns 1987 ). . Los grupos nilpotentes cuyo centro es cíclico y el subgrupo derivado tiene orden py cuyas clases de conjugación son, como mucho, infinitas contablemente, se clasifican en ( Newman 1960 ). Los grupos finitos cuyo subgrupo derivado tiene el orden p se clasifican en ( Blackburn 1999 ).
Referencias
- Blackburn, Simon R. (1999), "Grupos de orden de potencia principal con subgrupo derivado de orden principal", Journal of Algebra , 219 (2): 625–657, doi : 10.1006 / jabr.1998.7909 , ISSN 0021-8693 , MR 1706841
- Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
- Newman, MF (1960), "On a class of nilpotent groups", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 10 : 365–375, doi : 10.1112 / plms / s3-10.1.365 , ISSN 0024-6115 , MR 0120278
- Sela, Saharon ; Steprāns, Juris (1987), "Grupos p extraespeciales", Annals of Pure and Applied Logic , 34 (1): 87–97, doi : 10.1016 / 0168-0072 (87) 90041-8 , ISSN 0168-0072 , MR 0887554