Con la excepción de algunas excepciones marcadas, en este artículo solo se considerarán grupos finitos. También nos restringiremos a espacios vectoriales sobre campos de característica cero. Debido a que la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica cero es completa, una teoría válida para un campo algebraicamente cerrado especial de característica cero también es válida para cualquier otro campo algebraicamente cerrado de característica cero. Así, sin pérdida de generalidad, podemos estudiar espacios vectoriales sobre
La teoría de la representación se utiliza en muchas partes de las matemáticas, así como en la física y la química cuántica. Entre otras cosas, se utiliza en álgebra para examinar la estructura de grupos. También hay aplicaciones en el análisis armónico y la teoría de números . Por ejemplo, la teoría de la representación se utiliza en el enfoque moderno para obtener nuevos resultados sobre las formas automórficas.
Definición
Representaciones lineales
Dejar ser un –Espacio vectorial y un grupo finito. Una representación lineal de un grupo finitoes un homomorfismo grupal Aquí es la notación para un grupo lineal general , ypara un grupo de automorfismo . Esto significa que una representación lineal es un mapa. que satisface para todos El espacio vectorial se llama espacio de representación de A menudo, el término representación de también se usa para el espacio de representación
La representación de un grupo en un módulo en lugar de un espacio vectorial también se denomina representación lineal.
Nosotros escribimos para la representacion de A veces usamos la notación si está claro a qué representación el espacio pertenece.
En este artículo nos limitaremos al estudio de los espacios de representación de dimensión finita, a excepción del último capítulo. Como en la mayoría de los casos, solo un número finito de vectores enEs de interés, basta con estudiar la subrepresentación generada por estos vectores. El espacio de representación de esta subrepresentación es entonces de dimensión finita.
El grado de representación es la dimensión de su espacio de representación. La notación a veces se usa para denotar el grado de representación
Ejemplos de
La representación trivial está dada por para todos
Una representación de grado de un grupo es un homomorfismo en el grupo multiplicativo Como cada elemento de es de orden finito, los valores de son raíces de unidad . Por ejemplo, dejaser una representación lineal no trivial. Desde es un homomorfismo de grupo, tiene que satisfacer Porque genera está determinada por su valor en Y como no es trivial, Así, logramos el resultado de que la imagen de debajo tiene que ser un subgrupo no trivial del grupo que consta de las cuartas raíces de la unidad. En otras palabras, tiene que ser uno de los siguientes tres mapas:
Dejar y deja ser el homomorfismo de grupo definido por:
En este caso es una representación lineal de de grado
Representación de permutación
Dejar ser un conjunto finito y dejar ser un grupo actuando en Denotamos por el grupo de todas las permutaciones en con la composición como multiplicación de grupos.
Un grupo que actúa sobre un conjunto finito a veces se considera suficiente para la definición de la representación de permutación. Sin embargo, dado que queremos construir ejemplos para representaciones lineales, donde los grupos actúan sobre espacios vectoriales en lugar de conjuntos finitos arbitrarios, tenemos que proceder de una manera diferente. Para construir la representación de permutación, necesitamos un espacio vectorial con Una base de puede ser indexado por los elementos de La representación de permutación es el homomorfismo de grupo. dada por para todos Todos los mapas lineales están definidos de forma única por esta propiedad.
Ejemplo. Dejar y Luego actúa sobre vía La representación lineal asociada es con por
Representación regular de izquierda y derecha
Dejar ser un grupo y ser un espacio vectorial de dimensión con una base indexado por los elementos de La representación regular a la izquierda es un caso especial de la representación de permutación al elegir Esto significa para todos Así, la familia de imágenes de son una base de El grado de representación regular a la izquierda es igual al orden del grupo.
La representación derecha-regular se define en el mismo espacio vectorial con un homomorfismo similar: De la misma manera que antes es una base de Al igual que en el caso de la representación regular a la izquierda, el grado de la representación regular a la derecha es igual al orden de
Ambas representaciones son isomorfas a través de Por esta razón, no siempre se apartan y, a menudo, se les llama "la" representación regular.
Una mirada más cercana proporciona el siguiente resultado: Una representación lineal dada es isomorfo a la representación regular a la izquierda si y solo si existe un tal que es una base de
Ejemplo. Dejar y con la base Entonces la representación regular a la izquierda es definido por por La representación derecha-regular se define análogamente por por
Representaciones, módulos y álgebra de convolución
Dejar ser un grupo finito, deja ser un anillo conmutativo y dejarser el álgebra de grupo de encima Esta álgebra es gratuita y una base puede ser indexada por los elementos de Muy a menudo, la base se identifica con . Cada elemento entonces se puede expresar de forma única como
con .
La multiplicación en extiende eso en distributivamente.
Ahora deja ser un - módulo y dejar ser una representación lineal de en Definimos para todos y . Por extensión lineal está dotado de la estructura de una izquierda-módulo. Viceversa obtenemos una representación lineal de a partir de un -módulo . Además, los homomorfismos de las representaciones están en correspondencia biyectiva con los homomorfismos del álgebra de grupo. Por lo tanto, estos términos pueden usarse indistintamente. [1] [2] Este es un ejemplo de isomorfismo de categorías .
Suponer En este caso la izquierda –Módulo dado por en sí mismo corresponde a la representación regular a la izquierda. Del mismo modo como un derecho –Módulo corresponde a la representación regular a la derecha.
A continuación, definiremos el álgebra de convolución : Sea ser un grupo, el conjunto es un –Espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación escalar, entonces este espacio vectorial es isomorfo a La convolución de dos elementos. definido por
hace un álgebra . El álgebrase llama álgebra de convolución .
El álgebra de convolución es libre y tiene una base indexada por los elementos del grupo: dónde
Usando las propiedades de la convolución obtenemos:
Definimos un mapa entre y definiendo sobre la base y extendiéndolo linealmente. Obviamente, el mapa anterior es biyectivo . Una inspección más cercana de la convolución de dos elementos básicos como se muestra en la ecuación anterior revela que la multiplicación en corresponde a eso en Por tanto, el álgebra de convolución y el álgebra de grupos son isomórficos como álgebras.
Una representación de un grupo se extiende a un –Homomorfismo de álgebra por Dado que la multiplicidad es una propiedad característica de los homomorfismos del álgebra, satisface Si es unitario, también obtenemos Para la definición de una representación unitaria, consulte el capítulo sobre propiedades . En ese capítulo veremos que (sin pérdida de generalidad) se puede suponer que toda representación lineal es unitaria.
Usando el álgebra de convolución podemos implementar una transformación de Fourier en un grupoEn el área del análisis armónico se muestra que la siguiente definición es consistente con la definición de la transformación de Fourier en
Dejar ser una representación y dejar ser un -función valorada en . La transformada de Fourier de Se define como
Esta transformación satisface
Mapas entre representaciones
Un mapa entre dos representaciones del mismo grupo es un mapa lineal con la propiedad que se mantiene para todos En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta para todos :
Este mapa también se llama –Mapa lineal o equivariante . El núcleo , la imagen y el cokernel deestán definidos por defecto. La composición de mapas equivariantes es nuevamente un mapa equivariante. Existe una categoría de representaciones con mapas equivariantes como sus morfismos . Son de nuevo–Módulos. Por tanto, proporcionan representaciones de debido a la correlación descrita en el apartado anterior.
Representaciones irreductibles y lema de Schur
Dejar ser una representación lineal de Dejar ser un -subespacio invariante de es decir, para todos y . La restricción es un isomorfismo de sobre sí mismo. Porque se mantiene para todos esta construcción es una representación de en Se llama subrepresentación deCualquier representación V tiene al menos dos subrepresentaciones, a saber, la que consta solo de 0 y la que consta de V en sí. La representación se denomina representación irreducible , si estas dos son las únicas subrepresentaciones. Algunos autores también llaman a estas representaciones simples, dado que son precisamente los módulos simples sobre el álgebra de grupos..
El lema de Schur impone una fuerte restricción a los mapas entre representaciones irreductibles. Si y son irreductibles y es un mapa lineal tal que para todos , existe la siguiente dicotomía:
Si y es una homotecia (es decir para ). De manera más general, si y son isomorfos, el espacio de los mapas lineales G es unidimensional.
De lo contrario, si las dos representaciones no son isomorfas, F debe ser 0.
Dos representaciones se denominan equivalentes o isomorfos , si existe un–Isomorfismo del espacio vectorial lineal entre los espacios de representación. En otras palabras, son isomorfos si existe un mapa lineal biyectivo. tal que para todos En particular, las representaciones equivalentes tienen el mismo grado.
Una representación se llama fiel cuandoes inyectable . En este caso induce un isomorfismo entre y la imagen Como este último es un subgrupo de podemos considerar vía como subgrupo de
Podemos restringir tanto el rango como el dominio:
Dejar ser un subgrupo de Dejar ser una representación lineal de Denotamos por la restricción de al subgrupo
Si no hay peligro de confusión, podemos usar solo o en resumen
La notación o en resumen también se usa para denotar la restricción de la representación de sobre
Dejar ser una función en Nosotros escribimos o en breve para la restricción al subgrupo
Se puede demostrar que el número de representaciones irreductibles de un grupo (o correspondientemente el número de simples –Módulos) es igual al número de clases de conjugación de
Una representación se llama semisimple o completamente reducible si puede escribirse como una suma directa de representaciones irreductibles. Esto es análogo a la definición correspondiente para un álgebra semisimple.
Para obtener la definición de suma directa de representaciones, consulte la sección sobre sumas directas de representaciones .
Una representación se llama isotípica si es una suma directa de representaciones irreductibles isomórficas por pares.
Dejar ser una representación dada de un grupo Dejar ser una representación irreductible de La - isotipo de se define como la suma de todas las subrepresentaciones irreductibles de isomorfo a
Cada espacio vectorial sobre puede ser provisto de un producto interior . Una representación de un grupo en un espacio vectorial dotado de un producto interno se llama unitario sies unitario para cada Esto significa que, en particular, cada es diagonalizable . Para obtener más detalles, consulte el artículo sobre representaciones unitarias .
Una representación es unitaria con respecto a un producto interno dado si y sólo si el producto interno es invariante con respecto a la operación inducida de es decir, si y solo si se mantiene para todos
Un producto interior dado puede ser reemplazado por un producto interno invariante intercambiando con
Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos asumir que toda representación considerada adicional es unitaria.
Ejemplo. Dejarser el grupo diedro de orden generado por que cumplen las propiedades y Dejar ser una representación lineal de definido en los generadores por:
Esta representación es fiel. El subespacio es un –Subespacio invariante. Por tanto, existe una subrepresentación no trivial con Por tanto, la representación no es irreductible. La subrepresentación mencionada es de grado uno e irreductible. El subespacio complementario de es –Invariante también. Por tanto, obtenemos la subrepresentación con
Esta subrepresentación también es irreductible. Eso significa que la representación original es completamente reducible:
Ambas subrepresentaciones son isotípicas y son los dos únicos isotipos distintos de cero de
La representación es unitario con respecto al producto interior estándar en porque y son unitarios.
Dejar ser cualquier isomorfismo del espacio vectorial. Luego que está definido por la ecuación para todos es una representación isomorfa a
Restringiendo el dominio de la representación a un subgrupo, p. Ej. obtenemos la representación Esta representación está definida por la imagen cuya forma explícita se muestra arriba.
Construcciones
La representación dual
Dejar ser una representación dada. La representación dual o representación contradictoria es una representación de en el espacio vectorial dual de Está definido por la propiedad
Respecto al maridaje natural Entre y la definición anterior proporciona la ecuación:
Para ver un ejemplo, consulte la página principal sobre este tema: Representación dual .
Suma directa de representaciones
Dejar y ser una representación de y respectivamente. La suma directa de estas representaciones es una representación lineal y se define como
Dejar ser representaciones del mismo grupo En aras de la simplicidad, la suma directa de estas representaciones se define como una representación de es decir, se da como viendo como el subgrupo diagonal de
Ejemplo. Deja (aquí y son la unidad imaginaria y la raíz cúbica primitiva de la unidad respectivamente):
Luego
Como basta con considerar la imagen del elemento generador, encontramos que
Producto tensorial de representaciones
Dejar Ser representaciones lineales. Definimos la representación linealen el producto tensorial de y por en el cual Esta representación se llama producto tensorial externo de las representaciones. y La existencia y unicidad es consecuencia de las propiedades del producto tensorial .
Ejemplo. Reexaminamos el ejemplo proporcionado para la suma directa :
El producto tensor externo
Usando la base estándar de tenemos lo siguiente para el elemento generador:
Observación. Tenga en cuenta que la suma directa y los productos tensoriales tienen grados diferentes y, por lo tanto, son representaciones diferentes.
Dejar Ser dos representaciones lineales del mismo grupo. Dejar ser un elemento de Luego es definido por por y escribimos Entonces el mapa define una representación lineal de que también se llama producto tensorial de las representaciones dadas.
Estos dos casos deben distinguirse estrictamente. El primer caso es una representación del producto de grupo en el producto tensorial de los espacios de representación correspondientes. El segundo caso es una representación del grupoen el producto tensorial de dos espacios de representación de este grupo. Pero este último caso puede verse como un caso especial del primero al enfocarse en el subgrupo diagonal Esta definición se puede iterar un número finito de veces.
Dejar y ser representaciones del grupo Luego es una representación en virtud de la siguiente identidad: . Dejar y deja ser la representación en Dejar ser la representación en y la representación en Entonces, la identidad anterior conduce al siguiente resultado:
para todos
Teorema. Las representaciones irreductibles de hasta el isomorfismo son exactamente las representaciones en el cual y son representaciones irreductibles de y respectivamente.
Cuadrado simétrico y alterno
Dejar ser una representación lineal de Dejar ser una base de Definir extendiendo linealmente. Luego sostiene que y por lo tanto se divide en en el cual
Estos subespacios son –Invariante y por esto define subrepresentaciones que se llaman el cuadrado simétrico y el cuadrado alterno , respectivamente. Estas subrepresentaciones también se definen en aunque en este caso se denotan producto de cuña y producto simétrico En caso de que el espacio vectorial en general, no es igual a la suma directa de estos dos productos.
Descomposiciones
Para comprender las representaciones más fácilmente, sería deseable una descomposición del espacio de representación en la suma directa de subrepresentaciones más simples. Esto se puede lograr para grupos finitos como veremos en los siguientes resultados. Se pueden encontrar explicaciones y pruebas más detalladas en [1] y [2] .
Teorema. ( Maschke ) Deja ser una representación lineal donde es un espacio vectorial sobre un campo de característica cero. Dejar ser un -subespacio invariante de Entonces el complemento de existe en y es -invariante.
Una subrepresentación y su complemento determinan una representación de manera única.
El siguiente teorema se presentará de una manera más general, ya que proporciona un resultado muy hermoso sobre representaciones de grupos compactos , y por lo tanto también finitos:
Teorema. Toda representación lineal de un grupo compacto sobre un campo de característica cero es una suma directa de representaciones irreductibles.
O en el idioma de -módulos: Si el álgebra de grupo es semisimple, es decir, es la suma directa de álgebras simples.
Tenga en cuenta que esta descomposición no es única. Sin embargo, el número de veces que ocurre una subrepresentación isomórfica a una representación irreducible dada en esta descomposición es independiente de la elección de descomposición.
La descomposición canónica
Para lograr una descomposición única, hay que combinar todas las subrepresentaciones irreducibles que son isomorfas entre sí. Es decir, el espacio de representación se descompone en una suma directa de sus isotipos. Esta descomposición está determinada de forma única. Se llama descomposición canónica .
Dejar ser el conjunto de todas las representaciones irreductibles de un grupo hasta el isomorfismo. Dejar ser una representación de y deja ser el conjunto de todos los isotipos de La proyección correspondiente a la descomposición canónica viene dada por
dónde y es el personaje que pertenece a
A continuación, mostramos cómo determinar el isotipo de la representación trivial:
Definición (fórmula de proyección). Por cada representación de un grupo definimos
En general, no es -lineal. Definimos
Luego es un -mapa lineal, porque
Proposición. El mapa es una proyección de a
Esta proposición nos permite determinar explícitamente el isotipo de la subrepresentación trivial de una representación dada.
¿Con qué frecuencia ocurre la representación trivial en es dado por Este resultado es una consecuencia del hecho de que los valores propios de una proyección son sólo o y que el espacio propio correspondiente al valor propio es la imagen de la proyección. Dado que la traza de la proyección es la suma de todos los valores propios, obtenemos el siguiente resultado
en el cual denota el isotipo de la representación trivial.
Dejar ser una representación irreductible no trivial de Entonces el isotipo a la trivial representación de es el espacio nulo. Eso significa que la siguiente ecuación se cumple
Dejar ser una base ortonormal de Entonces nosotros tenemos:
Por lo tanto, lo siguiente es válido para una representación irreductible no trivial :
Ejemplo. Dejarser los grupos de permutación en tres elementos. Dejar ser una representación lineal de definido en los elementos generadores de la siguiente manera:
Esta representación se puede descomponer a primera vista en la representación regular a la izquierda de que se denota por en el siguiente, y la representación con
Con la ayuda del criterio de irreductibilidad tomado del próximo capítulo, pudimos darnos cuenta de que es irreductible pero no es. Esto se debe a que (en términos del producto interno de "Producto interno y personajes" a continuación) tenemos
El subespacio de es invariante con respecto a la representación regular a la izquierda. Restringido a este subespacio obtenemos la representación trivial.
El complemento ortogonal de es Restringido a este subespacio, que también es –Invariante como hemos visto anteriormente, obtenemos la representación dada por
Nuevamente, podemos usar el criterio de irreductibilidad del próximo capítulo para demostrar que es irreductible. Ahora, y son isomorfos porque para todos en el cual está dado por la matriz
Una descomposición de en subrepresentaciones irreductibles es: dónde denota la representación trivial y
es la descomposición correspondiente del espacio de representación.
Obtenemos la descomposición canónica combinando todas las subrepresentaciones irreducibles isomorfas: es el -isotipo de y consecuentemente la descomposición canónica viene dada por
Los teoremas anteriores, en general, no son válidos para grupos infinitos. Esto se demostrará con el siguiente ejemplo: let
Junto con la multiplicación de matrices es un grupo infinito. actúa sobre por multiplicación matriz-vector. Consideramos la representación para todos El subespacio es un -subespacio invariante. Sin embargo, no existe-complemento invariante a este subespacio. La suposición de que existe tal complemento implicaría que cada matriz es diagonalizable sobre Se sabe que esto es incorrecto y, por lo tanto, produce una contradicción.
La moraleja de la historia es que si consideramos grupos infinitos, es posible que una representación, incluso una que no sea irreductible, no pueda descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreductibles.
Teoría del carácter
Definiciones
El carácter de una representación se define como el mapa
en el cual denota la traza del mapa lineal [4]
Aunque el personaje es un mapa entre dos grupos, en general no es un homomorfismo de grupo , como muestra el siguiente ejemplo.
Dejar ser la representación definida por:
El personaje es dado por
Los caracteres de las representaciones de permutación son particularmente fáciles de calcular. Si V es la representación G correspondiente a la acción izquierda de en un conjunto finito , luego
Por ejemplo, [5] el carácter de la representación regular es dado por
dónde denota el elemento neutral de
Propiedades
Una propiedad crucial de los personajes es la fórmula
Esta fórmula se deriva del hecho de que la traza de un producto AB de dos matrices cuadradas es la misma que la traza de BA . Funcionesque satisfacen tal fórmula se denominan funciones de clase . Dicho de otra manera, las funciones de clase y, en particular, los caracteres son constantes en cada clase de conjugación. También se sigue de las propiedades elementales de la traza que es la suma de los valores propios decon multiplicidad. Si el grado de representación es n , entonces la suma es n larga. Si s tiene orden m , estos valores propios son todos m -ésimas raíces de la unidad . Este hecho puede usarse para demostrar que y también implica
Dado que la traza de la matriz de identidad es el número de filas, dónde es el elemento neutral de y n es la dimensión de la representación. En general,es un subgrupo normal en La siguiente tabla muestra cómo los personajes de dos representaciones dadas dan lugar a personajes de representaciones afines.
Caracteres de varias construcciones estándar
Representación
Personaje
representación dual
suma directa
producto tensorial de las representaciones
cuadrado simétrico
cuadrado alterno
Por construcción, hay una descomposición de suma directa de . En los caracteres, esto corresponde al hecho de que la suma de las dos últimas expresiones de la tabla es, el personaje de .
Producto interior y personajes
Para mostrar algunos resultados particularmente interesantes sobre los personajes, es gratificante considerar un tipo más general de funciones en grupos:
Definición (funciones de clase). Una funciónse llama función de clase si es constante en clases de conjugación de, es decir
Tenga en cuenta que cada carácter es una función de clase, ya que el rastro de una matriz se conserva bajo conjugación.
El conjunto de todas las funciones de clase es un –Álgebra y se denota por . Su dimensión es igual al número de clases de conjugación de
Las pruebas de los siguientes resultados de este capítulo se pueden encontrar en [1] , [2] y [3] .
Un producto interno se puede definir en el conjunto de todas las funciones de clase en un grupo finito:
Propiedad ortonormal. Si son los distintos caracteres irreductibles de , forman una base ortonormal para el espacio vectorial de todas las funciones de clase con respecto al producto interno definido anteriormente, es decir
Cada función de clase puede expresarse como una combinación lineal única de los caracteres irreducibles .
Se podría verificar que los caracteres irreductibles generan mostrando que no existe una función de clase distinta de cero que sea ortogonal a todos los caracteres irreducibles. Para una representación y una función de clase, denotar Entonces para irreductible, tenemos del lema de Schur . Suponeres una función de clase que es ortogonal a todos los caracteres. Entonces por lo anterior tenemos cuando sea es irreductible. Pero luego se sigue que para todos , por descomponibilidad. Llevarpara ser la representación habitual. Aplicando a algún elemento base particular , obtenemos . Dado que esto es cierto para todos, tenemos
De la propiedad ortonormal se deduce que el número de representaciones irreductibles no isomórficas de un grupo es igual al número de clases de conjugación de
Además, una función de clase en es un personaje de si y solo si se puede escribir como una combinación lineal de los distintos caracteres irreducibles con coeficientes enteros no negativos: si es una función de clase en tal que dónde enteros no negativos, entonces es el carácter de la suma directa de las representaciones correspondiente a Por el contrario, siempre es posible escribir cualquier carácter como una suma de caracteres irreductibles.
El producto interior definido anteriormente se puede ampliar en el conjunto de todos-funciones valoradas en un grupo finito:
También se puede definir una forma bilineal simétrica en
Estas dos formas coinciden en el conjunto de caracteres. Si no hay peligro de confusión, el índice de ambas formas. y será omitido.
Dejar ser dos –Módulos. Tenga en cuenta que–Los módulos son simplemente representaciones de . Dado que la propiedad ortonormal produce el número de representaciones irreductibles de es exactamente el número de sus clases de conjugación, entonces hay exactamente la misma cantidad –Módulos (hasta isomorfismo) ya que hay clases de conjugación de
Definimos en el cual es el espacio vectorial de todos –Mapas lineales. Esta forma es bilineal con respecto a la suma directa.
A continuación, estas formas bilineales nos permitirán obtener algunos resultados importantes con respecto a la descomposición e irreductibilidad de las representaciones.
Por ejemplo, deja y ser los personajes de y respectivamente. Luego
Es posible derivar el siguiente teorema de los resultados anteriores, junto con el lema de Schur y la completa reducibilidad de las representaciones.
Teorema. Dejar ser una representación lineal de con carácter Dejar dónde son irreductibles. Dejar ser una representación irreductible de con carácter Entonces el número de subrepresentaciones que son isomorfos a es independiente de la descomposición dada y es igual al producto interno es decir, el –Isotipo de es independiente de la elección de descomposición. También obtenemos:
y por lo tanto
Corolario. Dos representaciones con el mismo carácter son isomorfas. Esto significa que toda representación está determinada por su carácter.
Con esto obtenemos un resultado muy útil para analizar representaciones:
Criterio de irreductibilidad. Dejar ser el personaje de la representación entonces nosotros tenemos El caso se sostiene si y solo si es irreductible.
Por lo tanto, usando el primer teorema, los caracteres de representaciones irreductibles de formar un conjunto ortonormal en con respecto a este producto interior.
Corolario. Dejar ser un espacio vectorial con Una representación irreductible dada de Está contenido –Veces en la representación regular . En otras palabras, si denota la representación regular de entonces nosotros tenemos: en el cual es el conjunto de todas las representaciones irreductibles de que son por pares no isomorfos entre sí.
En términos de álgebra de grupo, esto significa que como álgebras.
Como resultado numérico obtenemos:
en el cual es la representación regular y y son caracteres correspondientes a y respectivamente. Recordar que denota el elemento neutral del grupo.
Esta fórmula es una condición "necesaria y suficiente" para el problema de clasificar las representaciones irreductibles de un grupo hasta el isomorfismo. Nos proporciona los medios para comprobar si encontramos todas las clases de isomorfismos de representaciones irreductibles de un grupo.
De manera similar, al usar el carácter de la representación regular evaluada en obtenemos la ecuación:
Usando la descripción de representaciones a través del álgebra de convolución logramos una formulación equivalente de estas ecuaciones:
La fórmula de inversión de Fourier :
Además, la fórmula de Plancherel contiene:
En ambas fórmulas es una representación lineal de un grupo y
El corolario anterior tiene una consecuencia adicional:
Lema. Dejar ser un grupo. Entonces lo siguiente es equivalente:
es abeliano .
Cada función en es una función de clase.
Todas las representaciones irreductibles de tener grado
La representación inducida
Como se mostró en la sección sobre propiedades de las representaciones lineales , podemos, por restricción, obtener una representación de un subgrupo a partir de una representación de un grupo. Naturalmente, nos interesa el proceso inverso: ¿es posible obtener la representación de un grupo a partir de una representación de un subgrupo? Veremos que la representación inducida definida a continuación nos proporciona el concepto necesario. Es cierto que esta construcción no es inversa, sino más bien adjunta a la restricción.
Definiciones
Dejar ser una representación lineal de Dejar ser un subgrupo y la restricción. Dejar ser una subrepresentación de Nosotros escribimos para denotar esta representación. Dejar El espacio vectorial depende solo de la clase lateral izquierda de Dejar ser un sistema representativo de luego
es una subrepresentación de
Una representación de en se llama inducida por la representación de en Si
Aquí denota un sistema representativo de y para todos y para todos En otras palabras: la representación es inducido por si cada se puede escribir de forma única como
dónde para cada
Denotamos la representación de que es inducida por la representación de como o en resumen si no hay peligro de confusión. El espacio de representación en sí se utiliza con frecuencia en lugar del mapa de representación, es decir o si la representacion es inducido por
Descripción alternativa de la representación inducida
Usando el álgebra de grupos obtenemos una descripción alternativa de la representación inducida:
Dejar ser un grupo a –Módulo y a –Submódulo de correspondiente al subgrupo de Nosotros decimos eso es inducido por Si en el cual actúa sobre el primer factor: para todos
Propiedades
Los resultados presentados en esta sección se presentarán sin prueba. Estos se pueden encontrar en [1] y [2] .
Unicidad y existencia de la representación inducida. Dejar ser una representación lineal de un subgrupo de Entonces existe una representación lineal de que es inducida por Tenga en cuenta que esta representación es única hasta el isomorfismo.
Transitividad de la inducción. Dejar ser una representación de y deja ser una serie ascendente de grupos. Entonces nosotros tenemos
Lema. Dejar ser inducido por y deja ser una representación lineal de Ahora deja ser un mapa lineal que satisfaga la propiedad de que para todos Entonces existe un mapa lineal determinado de forma única que se extiende y por el cual es válido para todos
Esto significa que si interpretamos como un –Módulo, tenemos dónde es el espacio vectorial de todos –Homomorfismos de a Lo mismo es válido para
Inducción a funciones de clase. De la misma manera que se hizo con las representaciones, podemos, por inducción , obtener una función de clase en el grupo a partir de una función de clase en un subgrupo. Dejar ser una función de clase en Definimos una función en por
Decimos es inducido por y escribe o
Proposición. La función es una función de clase en Si es el carácter de una representación de luego es el carácter de la representación inducida de
Lema. Si es una función de clase en y es una función de clase en entonces nosotros tenemos:
Teorema. Dejar ser la representación de inducida por la representación del subgrupo Dejar y ser los caracteres correspondientes. Dejar ser un sistema representativo de El carácter inducido está dado por
Reciprocidad de Frobenius
Como resumen preventivo, la lección que se debe aprender de la reciprocidad de Frobenius es que los mapas y son contiguos entre sí.
Dejar ser una representación irreductible de y deja ser una representación irreductible de entonces la reciprocidad de Frobenius nos dice que está contenido en tan a menudo como está contenido en
Reciprocidad de Frobenius. Si y tenemos
Esta declaración también es válida para el producto interior .
Criterio de irreductibilidad de Mackey
George Mackey estableció un criterio para verificar la irreductibilidad de las representaciones inducidas. Para esto primero necesitaremos algunas definiciones y algunas especificaciones con respecto a la notación.
Dos representaciones y de un grupo se llaman disjuntos , si no tienen un componente irreducible en común, es decir, si
Dejar ser un grupo y dejar ser un subgrupo. Definimos por Dejar ser una representación del subgrupo Esto define por restricción una representación. de Nosotros escribimos por También definimos otra representación de por Estas dos representaciones no deben confundirse.
Criterio de irreductibilidad de Mackey. La representación inducida es irreducible si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
es irreductible
Para cada las dos representaciones y de son inconexos. [6]
Para el caso de normal, tenemos y . Así obtenemos lo siguiente:
Corolario. Dejar ser un subgrupo normal de Luego es irreductible si y solo si es irreducible y no isomorfo a los conjugados por
Aplicaciones a grupos especiales
En esta sección presentamos algunas aplicaciones de la teoría presentada hasta ahora a subgrupos normales y a un grupo especial, el producto semidirecto de un subgrupo con un subgrupo normal abeliano.
Proposición. Dejar ser un subgrupo normal del grupo y deja ser una representación irreductible de Entonces, una de las siguientes declaraciones debe ser válida:
o existe un subgrupo adecuado de conteniendo , y una representación irreductible de que induce ,
o es un isotípico -módulo.
Prueba. Considerar como un -módulo, y descomponerlo en isotipos como . Si esta descomposición es trivial, estamos en el segundo caso. De lo contrario, el mayor -acción permuta estos módulos isotípicos; porque es irreductible como -módulo, la acción de permutación es transitiva (de hecho primitiva ). Arreglar cualquier ; el estabilizador en de se considera elementalmente que exhibe las propiedades reivindicadas.
Tenga en cuenta que si es abeliano, entonces los módulos isotípicos de son irreductibles, de grado uno, y todas las homotecias.
Obtenemos también lo siguiente
Corolario. Dejar ser un subgrupo abeliano normal de y deja ser cualquier representación irreductible de Denotamos con el índice de en Luego [1]
Si es un subgrupo abeliano de (no necesariamente normal), generalmente no está satisfecho, pero sin embargo aun es válido.
Clasificación de representaciones de un producto semidirecto
A continuación, dejemos ser un producto semidirecto tal que el factor semidirecto normal, , es abeliano. Las representaciones irreductibles de tal grupo puede clasificarse mostrando que todas las representaciones irreductibles de se puede construir a partir de ciertos subgrupos de . Este es el llamado método de "pequeños grupos" de Wigner y Mackey.
Desde es abeliano , los caracteres irreductibles de tener grado uno y formar el grupo El grupo actúa sobre por por
Dejar ser un sistema representativo de la órbita de en Para cada dejar Este es un subgrupo de Dejar ser el subgrupo correspondiente de Ahora ampliamos la función sobre por por Por lo tanto, es una función de clase en Además, dado que para todos se puede demostrar que es un homomorfismo grupal de a Por tanto, tenemos una representación de de grado uno que es igual a su propio carácter.
Vamos ahora ser una representación irreductible de Entonces obtenemos una representación irreductible de combinando con la proyección canónica Finalmente, construimos el producto tensorial de y Así, obtenemos una representación irreductible de
Para finalmente obtener la clasificación de las representaciones irreductibles de usamos la representación de que es inducida por el producto tensorial Así, logramos el siguiente resultado:
Proposición.
es irreductible.
Si y son isomorfos, entonces y adicionalmente es isomorfo a
Cada representación irreductible de es isomorfo a uno de los
Entre otros, el criterio de Mackey y una conclusión basada en la reciprocidad de Frobenius son necesarios para la prueba de la proposición. Se pueden encontrar más detalles en [1] .
En otras palabras, clasificamos todas las representaciones irreductibles de
Anillo de representación
El anillo de representación de se define como el grupo abeliano
Con la multiplicación proporcionada por el producto tensorial ,se convierte en un anillo. Los elementos dese llaman representaciones virtuales .
El personaje define un homomorfismo de anillo en el conjunto de todas las funciones de clase en con valores complejos
en el que la son los caracteres irreductibles correspondientes a la
Debido a que una representación está determinada por su carácter, es inyectable . Las imagenes dese llaman personajes virtuales .
Como los caracteres irreductibles forman una base ortonormal de induce un isomorfismo
Este isomorfismo se define sobre la base de tensores elementales por respectivamente y extendido de forma bilineal .
Nosotros escribimos para el conjunto de todos los personajes de y para denotar el grupo generado por es decir, el conjunto de todas las diferencias de dos personajes. Luego sostiene que y Por lo tanto, tenemos y los personajes virtuales se corresponden con las representaciones virtuales de manera óptima.
Desde sostiene, es el conjunto de todos los personajes virtuales. Como el producto de dos caracteres proporciona otro carácter, es un subanillo del anillo de todas las funciones de clase en Porque el formar una base de obtenemos, al igual que en el caso de un isomorfismo
Dejar ser un subgrupo de Por tanto, la restricción define un homomorfismo de anillo que será denotado por o Asimismo, la inducción sobre funciones de clase define un homomorfismo de grupos abelianos que se escribirá como o en resumen
Según la reciprocidad de Frobenius , estos dos homomorfismos son adjuntos con respecto a las formas bilineales y Además, la fórmula muestra que la imagen de es un ideal del anillo
Por la restricción de representaciones, el mapa se puede definir de forma análoga para y por la inducción obtenemos el mapa por Debido a la reciprocidad de Frobenius, obtenemos el resultado de que estos mapas están adjuntos entre sí y que la imagen es un ideal del anillo
Si es un anillo conmutativo, los homomorfismos y puede extenderse a –Mapas lineales:
en el cual son todas las representaciones irreductibles de hasta el isomorfismo.
Con obtenemos en particular que y suministrar homomorfismos entre y
Dejar y Ser dos grupos con respectivas representaciones. y Luego, es la representación del producto directo como se mostró en una sección anterior . Otro resultado de esa sección fue que todas las representaciones irreductibles de son exactamente las representaciones dónde y son representaciones irreductibles de y respectivamente. Esto pasa al anillo de representación como la identidad en el cual es el producto tensorial de los anillos de representación como–Módulos.
Teoremas de inducción
Inducción teoremas relacionan el anillo de representación de un grupo finito dado G a los anillos de representación de una familia X que consiste en algunos subconjuntos H de G . Más precisamente, para tal colección de subgrupos, el funtor de inducción produce un mapa
; Los teoremas de inducción dan criterios para la sobrejetividad de este mapa o de otros estrechamente relacionados.
El teorema de inducción de Artin es el teorema más elemental en este grupo de resultados. Afirma que los siguientes son equivalentes:
El cokernel de es finito.
es la unión de los conjugados de los subgrupos pertenecientes a es decir
Desde se genera finitamente como un grupo, el primer punto se puede reformular de la siguiente manera:
Para cada personaje de existen personajes virtuales y un entero tal que
Serre (1977) da dos demostraciones de este teorema. Por ejemplo, dado que G es la unión de sus subgrupos cíclicos, cada carácter dees una combinación lineal con coeficientes racionales de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos cíclicos dePuesto que se conocen bien-las representaciones de grupos cíclicos, en particular las representaciones irreducibles son unidimensionales, esto da un cierto control sobre las representaciones de G .
En las circunstancias anteriores, en general no es cierto que es sobreyectiva. El teorema de inducción de Brauer afirma quees sobreyectiva, siempre que X sea la familia de todos los subgrupos elementales . Aquí un grupo H es elemental si hay algún primo p tal que H es el producto directo de un grupo cíclico de orden primo a y un pag {\ Displaystyle p}
–Grupo . En otras palabras, cada carácter dees una combinación lineal con coeficientes enteros de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos elementales. Los subgrupos elementales H que surgen en el teorema de Brauer tienen una teoría de representación más rica que los grupos cíclicos, al menos tienen la propiedad de que cualquier representación irreducible para tal H es inducida por una representación unidimensional de un subgrupo (necesariamente también elemental). (Se puede demostrar que esta última propiedad es válida para cualquier grupo superesoluble , que incluye grupos nilpotentes y, en particular, grupos elementales). Esta capacidad de inducir representaciones a partir de representaciones de grado 1 tiene algunas consecuencias adicionales en la teoría de la representación de grupos finitos.
Representaciones reales
Para pruebas y más información sobre representaciones sobre subcampos generales de consulte [2] .
Si un grupo actúa sobre un espacio vectorial real la representación correspondiente en el espacio vectorial complejo se llama reales (se llama la complejificación de). La representación correspondiente mencionada anteriormente viene dada por para todos
Dejar ser una representación real. El mapa lineal es -valuado para todos Por tanto, podemos concluir que el carácter de una representación real siempre tiene un valor real. Pero no todas las representaciones con un carácter de valor real son reales. Para aclarar esto, dejemos ser un subgrupo finito, no abeliano del grupo
Luego actúa sobre Dado que la traza de cualquier matriz en es real, el carácter de la representación tiene valor real. Suponer es una representación real, entonces consistiría solo en matrices de valor real. Por lo tanto, Sin embargo, el grupo del círculo es abeliano pero fue elegido para ser un grupo no abeliano. Ahora solo necesitamos probar la existencia de un subgrupo finito no abeliano de Para encontrar tal grupo, observe que se puede identificar con las unidades de los cuaterniones . Ahora deja La siguiente representación bidimensional de no tiene valor real, pero tiene un carácter de valor real:
Entonces la imagen de no tiene valor real, pero sin embargo es un subconjunto de Por tanto, el carácter de la representación es real.
Lema. Una representación irreductible de es real si y solo si existe una forma
bilineal simétrica no degenerada en conservado por
Una representación irreductible de en un espacio vectorial real puede volverse reducible al extender el campo a Por ejemplo, la siguiente representación real del grupo cíclico es reducible cuando se considera sobre
Por tanto, al clasificar todas las representaciones irreductibles que son reales sobre todavía no hemos clasificado todas las representaciones reales irreductibles. Pero logramos lo siguiente:
Dejar ser un espacio vectorial real. Dejar actuar irreductiblemente en y deja Si no es irreducible, hay exactamente dos factores irreductibles que son representaciones conjugadas complejas de
Definición. Una representación cuaterniónica es una representación (compleja) que posee un –Homomorfismo antilineal invariante satisfactorio Por lo tanto, un sesgo simétrico , no degenerado–La forma bilineal invariante define una estructura cuaterniónica en
Teorema. Una representación irreductible es uno y solo uno de los siguientes:
(i) complejo: no tiene un valor real y no existe –Forma bilineal no degenerada invariante en
(ii) real: una representación real; tiene un –Forma bilineal simétrica no degenerada invariante .
(iii) cuaterniónico: es real, pero no es real; tiene un –Forma bilineal no degenerada simétrica sesgada invariante.
Representaciones de grupos particulares
Grupos simétricos
Representación de los grupos simétricos han sido intensamente estudiados. Clases conjugadas en(y por lo tanto, por lo anterior, representaciones irreductibles) corresponden a particiones de n . Por ejemplo, tiene tres representaciones irreductibles, correspondientes a las particiones
3; 2 + 1; 1 + 1 + 1
de 3. Para tal partición, un cuadro de Young es un dispositivo gráfico que representa una partición. La representación irreductible correspondiente a dicha partición (o cuadro de Young) se denomina módulo de Specht .
Las representaciones de diferentes grupos simétricos están relacionadas: cualquier representación de produce una representación de por inducción y viceversa por restricción. La suma directa de todos estos anillos de representación
hereda de estas construcciones la estructura de un álgebra de Hopf que, resulta, está estrechamente relacionada con las funciones simétricas .
Grupos finitos de tipo Lie
Hasta cierto punto, las representaciones del , como n varía, tienen un sabor similar al de; el proceso de inducción mencionado anteriormente se reemplaza por la llamada inducción parabólica . Sin embargo, a diferencia de, donde todas las representaciones pueden obtenerse por inducción de representaciones triviales, esto no es cierto para . En cambio, se necesitan nuevos bloques de construcción, conocidos como representaciones cúspides .
Representaciones de y de manera más general, se han estudiado a fondo las representaciones de grupos finitos de tipo Lie . Bonnafé (2011) describe las representaciones deerror de harvtxt: sin destino: CITEREFBonnafé2011 ( ayuda ). Una descripción geométrica de las representaciones irreductibles de tales grupos, incluidas las representaciones cúspides antes mencionadas, se obtiene mediante la teoría de Deligne-Lusztig , que construye dicha representación en la cohomología l-ádica de las variedades Deligne-Lusztig .
La similitud de la teoría de la representación de y va más allá de los grupos finitos. La filosofía de las formas de las cúspides destaca el parentesco de los aspectos teóricos de la representación de este tipo de grupos con grupos lineales generales de campos locales como Q p y del anillo de adeles , ver Bump (2004) .
Outlook: representaciones de grupos compactos
La teoría de las representaciones de grupos compactos puede extenderse, hasta cierto punto, a grupos localmente compactos . La teoría de la representación despliega en este contexto una gran importancia para el análisis armónico y el estudio de formas automórficas. Para pruebas, más información y una visión más detallada que está más allá del alcance de este capítulo, consulte [4] y [5] .
Definición y propiedades
Un grupo topológico es un grupo junto con una topología con respecto a la cual la composición del grupo y la inversión son continuas . Tal grupo se llama compacto , si alguna cobertura deque está abierto en la topología, tiene una subcubierta finita. Los subgrupos cerrados de un grupo compacto vuelven a ser compactos.
Dejar sé un grupo compacto y deja ser una dimensión finita –Espacio vectorial. Una representación lineal de a es un homomorfismo de grupo continuo es decir es una función continua en las dos variables y
Una representación lineal de en un espacio de Banach se define como un homomorfismo de grupo continuo de en el conjunto de todos los operadores lineales acotados biyectivos encon un inverso continuo. Desdepodemos prescindir del último requisito. A continuación, consideraremos en particular representaciones de grupos compactos en espacios de Hilbert .
Al igual que con los grupos finitos, podemos definir el álgebra de grupos y el álgebra de convolución . Sin embargo, el álgebra de grupos no proporciona información útil en el caso de grupos infinitos, porque la condición de continuidad se pierde durante la construcción. En cambio, el álgebra de convolución ocupa su lugar.
La mayoría de las propiedades de las representaciones de grupos finitos se pueden transferir con cambios apropiados a grupos compactos. Para esto, necesitamos una contraparte a la suma de un grupo finito:
Existencia y singularidad de la medida Haar
En un grupo compacto existe exactamente una medida tal que:
Es una medida invariante de traducción a la izquierda
Todo el grupo tiene unidad de medida:
Tal medida normada invariante en traducción a la izquierda se llama medida Haar del grupo
Desde es compacto, es posible mostrar que esta medida también es invariante en traducción a la derecha, es decir, también se aplica
Por la escala por encima de la medida de Haar en un grupo finito está dada por para todos
Todas las definiciones de representaciones de grupos finitos que se mencionan en la sección "Propiedades" , también se aplican a representaciones de grupos compactos. Pero se necesitan algunas modificaciones:
Para definir una subrepresentación, ahora necesitamos un subespacio cerrado. Esto no era necesario para espacios de representación de dimensión finita, porque en este caso cada subespacio ya está cerrado. Además, dos representaciones de un grupo compacto se denominan equivalentes, si existe un operador lineal biyectivo, continuo entre los espacios de representación cuya inversa también es continua y que satisface para todos
Si es unitario, las dos representaciones se denominan equivalentes unitarios .
Para obtener un –Producto interno invariante de un no–Invariante, ahora tenemos que usar la integral sobre en lugar de la suma. Sies un producto interior en un espacio de Hilbert que no es invariante con respecto a la representación de luego
es un –Producto interior invariable en debido a las propiedades de la medida Haar Por lo tanto, podemos asumir que cada representación en un espacio de Hilbert es unitaria.
Dejar sé un grupo compacto y deja Dejar ser el espacio de Hilbert de las funciones cuadradas integrables en Definimos el operador en este espacio por dónde
El mapa es una representación unitaria de Se llama representación regular a la izquierda . La representación regular a la derecha se define de manera similar. Como la medida de Haar de también es invariante en traducción a la derecha, el operador en es dado por La representación derecha-regular es entonces la representación unitaria dada por Las dos representaciones y son duales entre sí.
Si es infinito, estas representaciones no tienen un grado finito. La representación regular izquierda y derecha como se define al principio es isomorfa a la representación regular izquierda y derecha como se define arriba, si el grupoes finito. Esto se debe al hecho de que en este caso
Construcciones y descomposiciones
Las diferentes formas de construir nuevas representaciones a partir de las dadas se pueden utilizar también para grupos compactos, excepto para la representación dual de la que trataremos más adelante. La suma directa y el producto tensorial con un número finito de sumandos / factores se definen exactamente de la misma manera que para los grupos finitos. Este también es el caso del cuadrado simétrico y alterno. Sin embargo, necesitamos una medida de Haar sobre el producto directo de grupos compactos para extender el teorema diciendo que las representaciones irreductibles del producto de dos grupos son (hasta el isomorfismo) exactamente el producto tensorial de las representaciones irreducibles de los grupos de factores. Primero, observamos que el producto directode dos grupos compactos vuelve a ser un grupo compacto cuando se le proporciona la topología del producto. La medida de Haar sobre el producto directo viene dada por el producto de las medidas de Haar sobre los grupos de factores.
Para la representación dual en grupos compactos, necesitamos el dual topológico del espacio vectorial Este es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales continuos del espacio vectorial. en el campo base. Dejar ser una representación de un grupo compacto en
La representación dual está definido por la propiedad
Por tanto, podemos concluir que la representación dual viene dada por para todos El mapa es de nuevo un homomorfismo de grupo continuo y, por tanto, una representación.
En los espacios de Hilbert: es irreductible si y solo si es irreductible.
Al transferir los resultados de las descomposiciones de las secciones a grupos compactos, obtenemos los siguientes teoremas:
Teorema. Cada representación irreductible de un grupo compacto en un espacio de Hilbert es de dimensión finita y existe un producto interno en tal que es unitario. Dado que la medida Haar está normalizada, este producto interior es único.
Toda representación de un grupo compacto es isomorfa a una suma directa de Hilbert de representaciones irreductibles.
Dejar ser una representación unitaria del grupo compacto Al igual que para los grupos finitos, definimos para una representación irreductible el isotipo o componente isotípico en ser el subespacio
Esta es la suma de todos los subespacios cerrados invariantes cuales son –Isomórfico a
Tenga en cuenta que los isotipos de representaciones irreducibles no equivalentes son ortogonales por pares.
Teorema.
(I) es un subespacio invariante cerrado de
(ii) es –Isomórfico a la suma directa de copias de
(iii) Descomposición canónica: es la suma directa de Hilbert de los isotipos en el cual pasa por todas las clases de isomorfismos de las representaciones irreductibles.
La proyección correspondiente a la descomposición canónica en el cual es un isotipo de es para grupos compactos dados por
dónde y es el carácter correspondiente a la representación irreductible
Fórmula de proyección
Por cada representación de un grupo compacto definimos
En general no es -lineal. Dejar
El mapa se define como endomorfismo en por tener la propiedad
que es válido para el producto interno del espacio de Hilbert
Luego es –Lineal, debido a
donde usamos la invariancia de la medida de Haar.
Proposición. El mapa es una proyección de a
Si la representación es de dimensión finita, es posible determinar la suma directa de la subrepresentación trivial al igual que en el caso de los grupos finitos.
Personajes, lema de Schur y el producto interior
Generalmente, las representaciones de grupos compactos se investigan en los espacios de Hilbert y Banach . En la mayoría de los casos, no son de dimensión finita. Por tanto, no es útil referirse a personajes cuando se habla de representaciones de grupos compactos. No obstante, en la mayoría de los casos es posible restringir el estudio al caso de dimensiones finitas:
Dado que las representaciones irreductibles de grupos compactos son de dimensión finita y unitarias (ver resultados de la primera subsección ), podemos definir caracteres irreducibles de la misma manera que se hizo para grupos finitos.
Mientras las representaciones construidas sigan siendo de dimensión finita, los caracteres de las representaciones recién construidas pueden obtenerse de la misma manera que para los grupos finitos.
El lema de Schur también es válido para grupos compactos:
Dejar ser una representación unitaria irreductible de un grupo compacto Entonces cada operador acotado satisfaciendo la propiedad para todos es un múltiplo escalar de la identidad, es decir, existe tal que
Definición. La formula
define un producto interno en el conjunto de todas las funciones integrables cuadradas de un grupo compacto igualmente
define una forma bilineal en de un grupo compacto
La forma bilineal en los espacios de representación se define exactamente como lo fue para los grupos finitos y análoga a los grupos finitos, por lo tanto, los siguientes resultados son válidos:
Teorema. Dejar y ser los caracteres de dos representaciones irreductibles no isomorfas y respectivamente. Entonces lo siguiente es válido
es decir tiene "norma"
Teorema. Dejar ser una representación de con carácter Suponer es una representación irreductible de con carácter El número de subrepresentaciones de equivalente a es independiente de cualquier descomposición dada para y es igual al producto interior
Criterio de irreductibilidad. Dejar ser el personaje de la representación luego es un número entero positivo. es más si y solo si es irreductible.
Por lo tanto, usando el primer teorema, los caracteres de representaciones irreductibles de formar un conjunto ortonormal en con respecto a este producto interior.
Corolario. Cada representación irreductible de Está contenido –Veces en la representación regular a la izquierda.
Lema. Dejar Sea un grupo compacto. Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:
es abeliano.
Todas las representaciones irreductibles de tener grado
Propiedad Ortonormal. Dejar ser un grupo. Las representaciones irreductibles no isomorfas de formar una base ortonormal en con respecto a este producto interior.
Como ya sabemos que las representaciones irreductibles no isomorfas son ortonormales, solo necesitamos verificar que generan Esto se puede hacer probando que no existe una función integrable cuadrada distinta de cero en ortogonal a todos los caracteres irreductibles.
Al igual que en el caso de los grupos finitos, el número de representaciones irreductibles hasta el isomorfismo de un grupo es igual al número de clases de conjugación de Sin embargo, debido a que un grupo compacto tiene en general infinitas clases de conjugación, esto no proporciona ninguna información útil.
La representación inducida
Si es un subgrupo cerrado de índice finito en un grupo compactose puede adoptar la definición de la representación inducida para grupos finitos.
Sin embargo, la representación inducida se puede definir de manera más general, de modo que la definición sea válida independientemente del índice del subgrupo
Para este propósito, dejemos ser una representación unitaria del subgrupo cerrado La representación inducida continua se define de la siguiente manera:
Dejar denotar el espacio de Hilbert de todas las funciones cuadradas integrables medibles con la propiedad para todos La norma viene dada por
y la representacion se da como la traducción a la derecha:
La representación inducida vuelve a ser una representación unitaria.
Desde es compacta, la representación inducida se puede descomponer en la suma directa de representaciones irreductibles de Nótese que todas las representaciones irreductibles que pertenecen al mismo isotipo aparecen con una multiplicidad igual a
Dejar ser una representación de entonces existe un isomorfismo canónico
La reciprocidad de Frobenius se transfiere, junto con las definiciones modificadas del producto interno y de la forma bilineal, a grupos compactos. El teorema ahora es válido para funciones cuadradas integrables en en lugar de funciones de clase, pero el subgrupo debe estar cerrado.
El teorema de Peter-Weyl
Otro resultado importante en la teoría de la representación de grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl. Suele presentarse y probarse en análisis armónico , ya que representa uno de sus enunciados centrales y fundamentales.
El teorema de Peter-Weyl. Dejar Sea un grupo compacto. Por cada representación irreductible de dejar ser una base ortonormal de Definimos los coeficientes de la matriz por Entonces tenemos la siguiente base ortonormal de :
Podemos reformular este teorema para obtener una generalización de la serie de Fourier para funciones en grupos compactos:
El teorema de Peter-Weyl (segunda versión). [7] Existe un natural –Isomorfismo
en el cual es el conjunto de todas las representaciones irreductibles de hasta el isomorfismo y es el espacio de representación correspondiente a Más concretamente:
Historia
Las características generales de la teoría de la representación de un grupo finito G , sobre los números complejos , fueron descubiertas por Ferdinand Georg Frobenius en los años anteriores a 1900. Posteriormente se desarrolló la teoría de la representación modular de Richard Brauer .
Ver también
Teoría del carácter
Representación real
Relaciones de ortogonalidad de Schur
Conjetura de McKay
Anillo quemado
Literatura
Bonnafé, Cedric (2010). Representaciones de SL2 (Fq) . Álgebra y aplicaciones. 13 . Saltador. ISBN 9780857291578.
Bump, Daniel (2004), Lie Groups , Textos de posgrado en matemáticas, 225 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-21154-3
[1] Serre, Jean-Pierre (1977), Representaciones lineales de grupos finitos , Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90190-6
[2] Fulton, William; Harris, Joe: Teoría de la representación A First Course. Springer-Verlag, Nueva York 1991, ISBN 0-387-97527-6 .
[3] Alperin, JL; Bell, Rowen B .: Grupos y representaciones Springer-Verlag, Nueva York 1995, ISBN 0-387-94525-3 .
[4] Deitmar, Anton: Automorphe Formen Springer-Verlag 2010, ISBN 978-3-642-12389-4 , p. 89-93,185-189
[5] Echterhoff, Siegfried; Deitmar, Anton: Principios del análisis armónico Springer-Verlag 2009, ISBN 978-0-387-85468-7 , p. 127-150
[6] Lang, Serge: Algebra Springer-Verlag, Nueva York 2002, ISBN 0-387-95385-X , p. 663-729
[7] Sengupta, Ambar (2012). Representación de grupos finitos: una introducción semisimple . Nueva York. ISBN 9781461412311. OCLC 769756134 .
Referencias
↑ ( Serre , 1971 , p. 47)error de harv: sin destino: CITEREFSerre1971 ( ayuda )
↑ ( Sengupta , 2012 , p. 62)
^ Prueba. Suponeres distinto de cero. Luego es válido para todos Por tanto, obtenemos para todos y Y ahora sabemos que es -invariante. Desde es irreductible y Concluimos Ahora deja Esto significa que existe tal que y tenemos Por lo tanto, deducimos que es un –Subespacio invariante. Porque es distinto de cero y es irreductible, tenemos Por lo tanto, es un isomorfismo y el primer enunciado está probado. Supongamos ahora que Dado que nuestro campo base es lo sabemos tiene al menos un valor propio Dejar luego y tenemos para todos De acuerdo con las consideraciones anteriores, esto solo es posible si es decir
^ Algunos autores definen el personaje como, pero esta definición no se utiliza en este artículo.
^ mediante el uso de la acción de G sobre sí mismo dada por
^ Una prueba de este teorema se puede encontrar en [1] .
^ Una prueba de este teorema y más información sobre la teoría de representación de grupos compactos se puede encontrar en [5] .