En geometría , un ceviano es una línea que interseca tanto el vértice de un triángulo como el lado opuesto a ese vértice. [1] [2] Las medianas y las bisectrices son casos especiales de cevianos. El nombre "ceviano" proviene del matemático italiano Giovanni Ceva , quien demostró un teorema muy conocido sobre los cevianos que también lleva su nombre. [3]
Largo
Teorema de Stewart
La longitud de un ceviano se puede determinar mediante el teorema de Stewart : en el diagrama, la longitud del ceviano d está dada por la fórmula
Con menos frecuencia, esto también está representado por el mnemónico
Mediana
Si el ceviano resulta ser una mediana (por lo tanto, divide un lado ), su longitud se puede determinar a partir de la fórmula
o
desde
Por lo tanto, en este caso
Bisectriz
Si el ceviano es una bisectriz de ángulo , su longitud obedece a las fórmulas
y [5]
y
donde el semiperímetro s = ( a + b + c ) / 2 .
El lado de la longitud a se divide en la proporción b : c .
Altitud
Si el ceviano resulta ser una altitud y, por tanto, perpendicular a un lado, su longitud obedece a las fórmulas
y
donde el semiperímetro s = ( a + b + c ) / 2.
Propiedades de relación
Hay varias propiedades de las proporciones de longitudes formadas por tres cevians que pasan por el mismo punto interior arbitrario: [6] : 177–188 Con referencia al diagrama de la derecha,
- ( Teorema de Ceva )
Estas dos últimas propiedades son equivalentes porque la suma de las dos ecuaciones da la identidad 1 + 1 + 1 = 3.
Disidente
Un divisor de un triángulo es un ceviano que biseca el perímetro . Los tres divisores coinciden en el punto Nagel del triángulo.
Bisectrices de área
Tres de las bisectrices del área de un triángulo son sus medianas, que conectan los vértices con los puntos medios del lado opuesto. Por lo tanto, un triángulo de densidad uniforme en principio se equilibraría sobre una navaja que soporta cualquiera de las medianas.
Trisectores angulares
Si de cada vértice de un triángulo se dibujan dos cevianos para trisecar el ángulo (dividirlo en tres ángulos iguales), entonces los seis cevianos se cruzan en pares para formar un triángulo equilátero , llamado triángulo de Morley .
Área del triángulo interior formado por cevianos
El teorema de Routh determina la relación entre el área de un triángulo dado y la de un triángulo formado por las intersecciones por pares de tres cevianos, uno de cada vértice.
Ver también
Notas
- ^ Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). La geometría revisada . Washington, DC: Asociación Matemática de América . pag. 4 . ISBN 0-883-85619-0.
- ↑ Algunos autores excluyen los otros dos lados del triángulo, ver Eves (1963 , p.77)
- ^ Lightner, James E. (1975). "Una nueva mirada a los 'centros' de un triángulo". El profesor de matemáticas . 68 (7): 612–615. JSTOR 27960289 .
- ^ "Arte de la resolución de problemas" . artofproblemsolving.com . Consultado el 22 de octubre de 2018 .
- ^ Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
- ^ Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.
Referencias
- Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. Uno) , Allyn y Bacon
- Ross Honsberger (1995). Episodios en geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , páginas 13 y 137. Asociación Matemática de América.
- Vladimir Karapetoff (1929). "Algunas propiedades de las rectas de vértices correlativos en un triángulo plano". American Mathematical Monthly 36: 476–479.
- Indika Shameera Amarasinghe (2011). "Un nuevo teorema sobre cualquier triángulo ceviano de ángulo recto". Revista de la Federación Mundial de Competencias Nacionales de Matemáticas , Vol. 24 (02) , págs. 29–37.