En matemáticas , específicamente en la teoría del orden , un conjunto parcialmente ordenado es una cadena completa si cada cadena tiene un límite superior mínimo . Es ω-completo cuando cada secuencia creciente de elementos (un tipo de cadena contable ) tiene un límite superior mínimo; la misma noción puede extenderse a otras cardinalidades de cadenas. [1]
Ejemplos de
Cada celosía completa está completa en cadena. A diferencia de las celosías completas, las posets de cadena completa son relativamente comunes. Ejemplos incluyen:
- El conjunto de todos los subconjuntos linealmente independientes de un espacio vectorial V , ordenados por inclusión .
- El conjunto de todas las funciones parciales de un conjunto, ordenadas por restricción .
- El conjunto de todas las funciones de elección parcial en una colección de conjuntos no vacíos, ordenados por restricción.
- El conjunto de todos los ideales principales de un anillo , ordenados por inclusión.
- El conjunto de todas las teorías consistentes de un lenguaje de primer orden .
Propiedades
Un poset está completo en cadena si y solo si es un dcpo puntiagudo . [1] Sin embargo, esta equivalencia requiere el axioma de elección .
El lema de Zorn establece que, si un poset tiene un límite superior para cada cadena, entonces tiene un elemento máximo . Por lo tanto, se aplica a posets de cadena completa, pero es más general en el sentido de que permite cadenas que tienen límites superiores pero no tienen límites superiores mínimos.
Los posets de cadena completa también obedecen al teorema de Bourbaki-Witt , un teorema de punto fijo que establece que, si f es una función de un poset de cadena completa a sí mismo con la propiedad de que, para todo x , f ( x ) ≥ x , entonces f tiene un punto fijo. Este teorema, a su vez, puede usarse para demostrar que el lema de Zorn es una consecuencia del axioma de elección . [2] [3]
Por analogía con la terminación Dedekind-MacNeille de un conjunto parcialmente ordenado, cada conjunto parcialmente ordenado puede extenderse de forma única a un poset mínimo de cadena completa. [1]
Ver también
Referencias
- ^ a b c Markowsky, George (1976), "Posets completos en cadena y conjuntos dirigidos con aplicaciones", Algebra Universalis , 6 (1): 53–68, doi : 10.1007 / bf02485815 , MR 0398913 , S2CID 16718857.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1949), "Sur le théorème de Zorn", Archiv der Mathematik , 2 (6): 434–437 (1951), doi : 10.1007 / bf02036949 , MR 0047739 , S2CID 117826806.
- ^ Witt, Ernst (1951), "Beweisstudien zum Satz von M. Zorn", Mathematische Nachrichten , 4 : 434–438, doi : 10.1002 / mana.3210040138 , MR 0039776.