Homomorfismo de Chern-Weil

En matemáticas , el homomorfismo de Chern-Weil es una construcción básica en la teoría de Chern-Weil que calcula invariantes topológicos de paquetes vectoriales y paquetes principales en una variedad suave M en términos de conexiones y curvatura que representan clases en los anillos de cohomología de De Rham de M. Es decir, la teoría forma un puente entre las áreas de topología algebraica y geometría diferencial . Fue desarrollado a fines de la década de 1940 por Shiing-Shen Chern y André Weil ., a raíz de las demostraciones del teorema generalizado de Gauss-Bonnet . Esta teoría fue un paso importante en la teoría de las clases características .

Sea G un grupo de Lie real o complejo con álgebra de Lie , y denote el álgebra de polinomios de valor - en (exactamente el mismo argumento funciona si usamos en lugar de ). Sea la subálgebra de puntos fijos en bajo la acción adjunta de G ; es decir, la subálgebra que consta de todos los polinomios f tales que , para todo g en G y x en , ${\mathfrak{g}}$ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ ${\mathfrak{g}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ $f(\operatorname {Anuncio} _{g}x)=f(x)$ ${\mathfrak{g}}$

Dado un paquete de G principal P en M , hay un homomorfismo asociado de -álgebras, ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

llamado homomorfismo de Chern-Weil , donde a la derecha la cohomología es la cohomología de Rham . Este homomorfismo se obtiene tomando polinomios invariantes en la curvatura de cualquier conexión en el paquete dado. Si G es compacto o semisimple, entonces el anillo de cohomología del espacio de clasificación para G -haces , es isomorfo al álgebra de polinomios invariantes: ${\ estilo de visualización BG}$ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$

cuando y son variedades.) $BG=\varinjlim B_{j}G$ ${\ estilo de visualización B_ {j} G}$