Modelo sigma no lineal

En la teoría cuántica de campos , un modelo σ no lineal describe un campo escalar Σ que toma valores en una variedad no lineal llamada variedad  T objetivo . El modelo σ no lineal fue introducido por Gell-Mann y Lévy (1960 , sección 6), quienes lo nombraron después de un campo correspondiente a un mesón sin espinas llamado σ en su modelo. ^[1] Este artículo trata principalmente de la cuantificación del modelo sigma no lineal; Consulte el artículo base sobre el modelo sigma para obtener definiciones generales y formulaciones y resultados clásicos (no cuánticos).

Descripción

El colector objetivo T está equipado con una métrica riemanniana  g . Σ es un mapa diferenciable de espacio de Minkowski M (o algún otro espacio) a  T .

La densidad lagrangiana en forma quiral contemporánea ^[2] está dada por

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )}$

donde hemos usado una firma métrica + - - - y la derivada parcial ∂Σ viene dada por una sección del haz de chorros de T × M y V es el potencial.

En la notación de coordenadas, con las coordenadas Σ ^a , a  = 1, ...,  n donde n es la dimensión de  T ,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma ).}$

En más de dos dimensiones, los modelos σ no lineales contienen una constante de acoplamiento dimensional y, por lo tanto, no son renormalizables perturbativamente. Sin embargo, exhiben un punto fijo ultravioleta no trivial del grupo de renormalización tanto en la formulación de celosía ^{[3] [4]} como en la doble expansión propuesta originalmente por Kenneth G. Wilson . ^[5]

En ambos enfoques, se considera que el punto fijo del grupo de renormalización no trivial encontrado para el modelo O (n) -simétrico describe simplemente, en dimensiones mayores que dos, el punto crítico que separa la fase ordenada de la desordenada. Además, las predicciones mejoradas de la teoría de celosía o campo cuántico se pueden comparar con experimentos de laboratorio sobre fenómenos críticos , ya que el modelo O (n) describe ferromagnetos físicos de Heisenberg y sistemas relacionados. Por lo tanto, los resultados anteriores apuntan a un fracaso de la teoría de la perturbación ingenua al describir correctamente el comportamiento físico del O (n)-modelo simétrico por encima de dos dimensiones, y a la necesidad de métodos no perturbativos más sofisticados como la formulación reticular.

Esto significa que solo pueden surgir como teorías de campo efectivas . Se necesita nueva física alrededor de la escala de distancia donde la función de correlación conectada de dos puntos es del mismo orden que la curvatura de la variedad objetivo. A esto se le llama la finalización UV de la teoría. Existe una clase especial de modelos σ no lineales con el grupo de  simetría interna G  *. Si G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie , entonces el espacio del cociente G / H es una variedad (sujeto a ciertas restricciones técnicas como H es un subconjunto cerrado) y también es unespacio homogéneo de G o en otras palabras, una realización no lineal de  G . En muchos casos, G / H se puede equipar con una métrica de Riemann que es G- invariante. Este es siempre el caso, por ejemplo, si G es compacto . Un modelo σ no lineal con G / H como la variedad objetivo con una métrica de Riemanniana invariante G y un potencial cero se denomina modelo σ no lineal de espacio cociente (o espacio lateral) .

Cuando se calculan integrales de trayectoria , la medida funcional debe ser "ponderada" por la raíz cuadrada del determinante de  g ,

${\displaystyle {\sqrt {\det g}}{\mathcal {D}}\Sigma .}$

Renormalización

Este modelo demostró ser relevante en la teoría de cuerdas, donde la variedad bidimensional se denomina hoja del mundo . Daniel Friedan expresó su reconocimiento por su renormalización generalizada . ^[6] Demostró que la teoría admite una ecuación de grupo de renormalización, en el orden principal de la teoría de perturbación, en la forma

${\displaystyle \lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,}$

R _ab es el tensor de Ricci de la variedad objetivo.

Esto representa un flujo de Ricci , que obedece a las ecuaciones de campo de Einstein para la variedad objetivo como un punto fijo. La existencia de tal punto fijo es relevante, ya que otorga, en este orden de la teoría de perturbación, que la invariancia conforme no se pierde debido a las correcciones cuánticas, por lo que la teoría cuántica de campos de este modelo es sensible (renormalizable).

La adición adicional de interacciones no lineales que representan anomalías quirales de sabor da como resultado el modelo de Wess-Zumino-Witten , ^[7] que aumenta la geometría del flujo para incluir torsión , preservando la renormalizabilidad y conduciendo a un punto fijo infrarrojo también, debido al teleparallelismo ( "geometrostasis"). ^[8]

Más información: Ricci flow

O (3) modelo sigma no lineal

Un ejemplo célebre, de particular interés por sus propiedades topológicas, es el modelo σ no lineal O (3) en dimensiones 1 + 1, con la densidad lagrangiana

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}$

donde n̂ = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ ) con la restricción n̂ ⋅ n̂ = 1 y μ = 1,2.

Este modelo permite soluciones topológicas de acción finita, ya que en el espacio-tiempo infinito la densidad lagrangiana debe desaparecer, lo que significa n̂ = constante en el infinito. Por lo tanto, en la clase de soluciones de acción finita, se pueden identificar los puntos en el infinito como un solo punto, es decir, que el espacio-tiempo se puede identificar con una esfera de Riemann .

Dado que el campo n̂ también vive en una esfera, el mapeo S ² → S ² es evidente, cuyas soluciones se clasifican por el segundo grupo de homotopía de una 2-esfera: Estas soluciones se denominan O (3) Instantones .

Este modelo también se puede considerar en 1 + 2 dimensiones, donde la topología ahora proviene solo de los cortes espaciales. Estos se modelan como R ^ 2 con un punto en el infinito y, por lo tanto, tienen la misma topología que los instanones O (3) en dimensiones 1 + 1. Se denominan protuberancias modelo sigma.

Ver también

• Modelo sigma
• Modelo quiral
• Pequeño Higgs
• Skyrmion , un solitón en modelos sigma no lineales
• Modelo WZW
• Métrica de Fubini-Study , una métrica que se usa a menudo con modelos sigma no lineales
• Flujo de Ricci
• Invarianza de escala

Referencias

1. Gell-Mann, M .; Lévy, M. (1960), "The axial vector current in beta decay", Il Nuovo Cimento , Italian Physical Society, 16 (4): 705–726, Bibcode : 1960NCim ... 16..705G , doi : 10.1007 / BF02859738 , ISSN  1827-6121 , S2CID  122945049
2. Gürsey, F. (1960). "Sobre las simetrías de interacciones fuertes y débiles". Il Nuovo Cimento . 16 (2): 230–240. Código Bibliográfico : 1960NCim ... 16..230G . doi : 10.1007 / BF02860276 . S2CID 122270607 . 
3. Zinn-Justin, Jean (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Prensa de la Universidad de Oxford.
4. Cardy, John L. (1997). Escalado y el Grupo de Renormalización en Física Estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge.
5. Brezin, Eduard; Zinn-Justin, Jean (1976). "Renormalización del modelo sigma no lineal en 2 + dimensiones épsilon". Cartas de revisión física . 36 (13): 691–693. Código Bibliográfico : 1976PhRvL..36..691B . doi : 10.1103 / PhysRevLett.36.691 .
6. Friedan, D. (1980). "Modelos no lineales en dimensiones 2 + ε" . Cartas de revisión física . 45 (13): 1057–1060. Código Bibliográfico : 1980PhRvL..45.1057F . doi : 10.1103 / PhysRevLett.45.1057 .
7. Witten, E. (1984). "Bosonización no abeliana en dos dimensiones". Comunicaciones en Física Matemática . 92 (4): 455–472. Código Bibliográfico : 1984CMaPh..92..455W . doi : 10.1007 / BF01215276 . S2CID 122018499 . 
8. Braaten, E .; Curtright, TL; Zachos, CK (1985). "Torsión y geometrostasis en modelos sigma no lineales". Física B nuclear . 260 (3-4): 630. Código Bibliográfico : 1985NuPhB.260..630B . doi : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90053-7 .

enlaces externos

• Ketov, Sergei (2009). "Modelo Sigma no lineal" . Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode : 2009SchpJ ... 4.8508K . doi : 10.4249 / scholarpedia.8508 .
• Kulshreshtha, U .; Kulshreshtha, DS (2002). "Formulaciones de Hamiltonian, Path Integral y BRST de Front-Form del modelo Sigma no lineal". Revista Internacional de Física Teórica . 41 (10): 1941–1956. doi : 10.1023 / A: 1021009008129 . S2CID  115710780 .