Ciertas relaciones de conmutación entre los operadores de densidad de corriente en las teorías cuánticas de campos definen un álgebra de Lie de dimensión infinita llamada álgebra de corriente . [1] Matemáticamente, estas son álgebras de Lie que consisten en mapas suaves de una variedad a una álgebra de Lie de dimensión finita. [2]
Historia
El álgebra actual original, propuesta en 1964 por Murray Gell-Mann , describía corrientes débiles y electromagnéticas de las partículas que interactúan fuertemente, los hadrones , lo que conduce a la fórmula de Adler-Weisberger y otros resultados físicos importantes. El concepto básico, en la era que precede a la cromodinámica cuántica , era que incluso sin conocer en detalle la dinámica de hadrones que gobierna lagrangiana, la información cinemática exacta, la simetría local, aún podría codificarse en un álgebra de corrientes. [3]
Los conmutadores involucrados en el álgebra actual equivalen a una extensión de dimensión infinita del mapa de Jordan , donde los campos cuánticos representan matrices infinitas de osciladores.
Las técnicas algebraicas actuales siguen siendo parte del trasfondo compartido de la física de partículas al analizar simetrías e indispensables en las discusiones sobre el teorema de Goldstone .
Ejemplo
En una simetría Yang-Mills no abeliana , donde V y A son densidades de corriente de sabor y de corriente axial, respectivamente, el paradigma de un álgebra actual es [4] [5]
- y
donde f son las constantes de estructura del álgebra de Lie . Para obtener expresiones significativas, estas deben tener un orden normal .
El álgebra se resuelve en una suma directa de dos álgebras, L y R , al definir
después de lo cual
Teoría de campos conformales
Para el caso en el que el espacio es un círculo unidimensional, las álgebras actuales surgen naturalmente como una extensión central del álgebra de bucles , conocida como álgebras de Kac-Moody o, más específicamente, álgebras de Lie afines . En este caso, el conmutador y el ordenamiento normal pueden recibir una definición matemática muy precisa en términos de contornos de integración en el plano complejo, evitando así algunas de las dificultades formales de divergencia que se encuentran comúnmente en la teoría cuántica de campos.
Cuando la forma de Killing del álgebra de Lie se contrae con el conmutador de corriente, se obtiene el tensor de energía-momento de una teoría de campo conforme bidimensional . Cuando este tensor se expande como una serie de Laurent , el álgebra resultante se llama álgebra de Virasoro . [6] Este cálculo se conoce como construcción de Sugawara .
El caso general se formaliza como álgebra de operador de vértice .
Ver también
Notas
- ↑ Gold en 2006
- ^ Kac, Victor (1983). Álgebras de mentira infinita dimensional . Saltador. pag. X. ISBN 978-1475713848.
- ^ Gell-Mann y Ne'eman, 1964
- ^ Gell-Mann, M. (1964). "El grupo de simetría de corrientes vectoriales axiales y vectoriales" . Física . 1 (1): 63. doi : 10.1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.63 . PMID 17836376 .
- ^ Treiman, Jackiw y Gross 1972
- ^ Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de mentiras afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
Referencias
- Gell-Mann, M. (1962). "Simetrías de bariones y mesones" . Revisión física . 125 (3): 1067–84. Código Bibliográfico : 1962PhRv..125.1067G . doi : 10.1103 / PhysRev.125.1067 .
- Gell-Mann, M .; Ne'eman, Y. , eds. (1964). El Óctuple Camino . WA Benjamin . LCCN 65013009 .
- Goldin, GA (2006). Françoise, JP .; Naber, GL; Tsun, TS (eds.). Enciclopedia de Física Matemática . Álgebra actual. ISBN 978-0-12-512666-3- a través de ScienceDirect .
- Treiman, SB ; Jackiw, R .; Gross, DJ (2015) [1972]. Conferencias sobre álgebra actual y sus aplicaciones . Serie de Princeton en Física. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . doi : 10.1515 / 9781400871506 . ISBN 978-1-4008-7150-6- vía De Gruyter . Muestra.