Conjunto circular

En la teoría de matrices aleatorias , los conjuntos circulares son medidas en espacios de matrices unitarias introducidas por Freeman Dyson como modificaciones de los conjuntos de matrices gaussianas . ^[1] Los tres ejemplos principales son el conjunto ortogonal circular (COE) en matrices unitarias simétricas, el conjunto unitario circular (CUE) en matrices unitarias, y el conjunto simpléctico circular (CSE) en matrices cuaterniónicas unitarias unitarias auto-duales.

Distribuciones de probabilidad

La distribución del conjunto circular unitario CUE ( n ) es la medida de Haar en el grupo unitario U (n) . Si U es un elemento aleatorio de CUE ( n ), entonces U ^T U es un elemento aleatorio de COE ( n ); si U es un elemento aleatorio de CUE ( 2n ), entonces U ^R U es un elemento aleatorio de CSE ( n ), donde

${\displaystyle U^{R}=\left({\begin{array}{ccccccc}0&-1&&&&&\\1&0&&&&&\\&&0&-1&&&\\&&1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&-1\\&&&&&1&0\end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{array}}\right)~.}$

Cada elemento de un conjunto circular es una matriz unitaria, por lo que tiene valores propios en el círculo unitario: con para k = 1,2, ... n , donde también se conocen como ángulos propios o fases propias . En el CSE, cada uno de estos n valores propios aparece dos veces. Las distribuciones tienen densidades con respecto a los ángulos propios, dadas por${\displaystyle \lambda _{k}=e^{i\theta _{k}}}$${\displaystyle 0\leq \theta _{k}<2\pi }$${\displaystyle \theta _{k}}$

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})={\frac {1}{Z_{n,\beta }}}\prod _{1\leq k<j\leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~}$

on (versión simétrizada), donde β = 1 para COE, β = 2 para CUE y β = 4 para CSE. La constante de normalización Z _{n, β} está dada por${\displaystyle \mathbb {R} _{[0,2\pi ]}^{n}}$

${\displaystyle Z_{n,\beta }=(2\pi )^{n}{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,}$

como se puede verificar mediante la fórmula integral de Selberg o la fórmula integral de Weyl para grupos de Lie compactos.

Generalizaciones

Las generalizaciones del conjunto circular restringen los elementos de la matriz de U a números reales [de modo que U está en el grupo ortogonal O (n) ] oa números de cuaterniones reales [de modo que U está en el grupo simpléctico Sp (2n) . La medida de Haar en el grupo ortogonal produce el conjunto real circular (CRE) y la medida de Haar en el grupo simpléctico produce el conjunto de cuaternión circular (CQE).

Los valores propios de las matrices ortogonales vienen en pares conjugados complejos y , posiblemente complementados por valores propios fijados en +1 o -1 . Para n = 2m par y det U = 1 , no hay valores propios fijos y las fases θ _k tienen distribución de probabilidad ^[2]${\displaystyle e^{i\theta _{k}}}$${\displaystyle e^{-i\theta _{k}}}$

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,}$

con C una constante de normalización no especificada. Para n = 2m + 1 impar, hay un valor propio fijo σ = det U igual a ± 1. Las fases tienen distribución

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\sigma \cos \theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

Para n = 2m + 2 par y det U = -1 hay un par de valores propios fijados en +1 y -1 , mientras que las fases tienen distribución

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

Esta es también la distribución de los valores propios de una matriz en Sp (2m) .

Estas funciones de densidad de probabilidad se denominan distribuciones de Jacobi en la teoría de matrices aleatorias, porque las funciones de correlación se pueden expresar en términos de polinomios de Jacobi .

Cálculos

Los promedios de los productos de los elementos de la matriz en los conjuntos circulares se pueden calcular utilizando funciones de Weingarten . Para grandes dimensiones de la matriz, estos cálculos resultan imprácticos y resulta ventajoso un método numérico. Existen algoritmos eficientes para generar matrices aleatorias en los conjuntos circulares, por ejemplo realizando una descomposición QR en una matriz de Ginibre. ^[3]

Referencias

1. FM Dyson (1962). "La triple vía. Estructura algebraica de grupos y conjuntos de simetría en mecánica cuántica". Revista de Física Matemática . 3 (6): 1199. Bibcode : 1962JMP ..... 3.1199D . doi : 10.1063 / 1.1703863 .
2. VL Girko (1985). "Distribución de autovalores y autovectores de matrices aleatorias ortogonales". Revista matemática ucraniana . 37 (5): 457. doi : 10.1007 / bf01061167 .
3. F. Mezzadri (2007). "Cómo generar matrices aleatorias a partir de los grupos compactos clásicos" (PDF) . Avisos del AMS . 54 : 592. arXiv : math-ph / 0609050 . Código bibliográfico : 2006math.ph ... 9050M .

Implementaciones de software

• "Conjuntos circulares de Wolfram Mathematica" . Wolfram Language .
• Suezen, Mehmet (2017). "Bristol: un paquete de Python para conjuntos de matriz aleatoria (implementación paralela de generación de conjuntos circulares)". doi : 10.5281 / zenodo.579642 .
  • "Bristol: un paquete de Python para conjuntos de matriz aleatoria" . pypi .

enlaces externos

• Mehta, Madan Lal (2004), Matrices aleatorias , Matemáticas puras y aplicadas (Ámsterdam), 142 (3.a ed.), Elsevier / Academic Press, Ámsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4, Señor  2129906
• Forrester, Peter J. (2010), Logaritmos de gases y matrices aleatorias , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0