El teorema de Clairaut caracteriza la gravedad superficial en un elipsoide giratorio viscoso en equilibrio hidrostático bajo la acción de su campo gravitacional y fuerza centrífuga. Fue publicado en 1743 por Alexis Claude Clairaut en un tratado [1] que sintetizaba evidencia física y geodésica de que la Tierra es un elipsoide rotacional achatado . [2] [3] Inicialmente se utilizó para relacionar la gravedad en cualquier punto de la superficie de la Tierra con la posición de ese punto, permitiendo calcular la elipticidad de la Tierra a partir de mediciones de la gravedad en diferentes latitudes. Hoy en día ha sido reemplazado en gran medida por elEcuación de Somigliana .
Historia
Aunque se sabía desde la antigüedad que la Tierra era esférica, en el siglo XVII se acumulaban pruebas de que no era una esfera perfecta. En 1672 Jean Richer encontró la primera evidencia de que la gravedad no era constante sobre la Tierra (como lo sería si la Tierra fuera una esfera); llevó un reloj de péndulo a Cayenne , Guayana Francesa y descubrió que perdió 2+1 ⁄ 2 minutos por día en comparación con su tarifa en París. [4] [5] Esto indicó que la aceleración de la gravedad fue menor en Cayenne que en París. Comenzaron a llevarse gravímetros de péndulo en viajes a partes remotas del mundo, y poco a poco se descubrió que la gravedad aumenta suavemente al aumentar la latitud, siendo la aceleración gravitacional aproximadamente un 0,5% mayor en los polos que en el ecuador.
El físico británico Isaac Newton explicó esto en su Principia Mathematica (1687) en el que esbozó su teoría y cálculos sobre la forma de la Tierra. Newton teorizó correctamente que la Tierra no era precisamente una esfera pero tenía un oblato elipsoidal forma, ligeramente achatada en los polos debido a la fuerza centrífuga de su rotación. Dado que la superficie de la Tierra está más cerca de su centro en los polos que en el ecuador, la gravedad es más fuerte allí. Utilizando cálculos geométricos, dio un argumento concreto sobre la forma elipsoide hipotética de la Tierra. [6]
El objetivo de Principia no era proporcionar una respuesta exacta para los fenómenos naturales, sino teorizar las posibles soluciones a estos factores no resueltos en la ciencia. Newton presionó para que los científicos investigaran más a fondo las variables inexplicables. Dos destacados investigadores a los que inspiró fueron Alexis Clairaut y Pierre Louis Maupertuis . Ambos buscaron demostrar la validez de la teoría de Newton sobre la forma de la Tierra. Para ello, realizaron una expedición a Laponia en un intento de medir con precisión el arco meridiano . A partir de tales medidas, pudieron calcular la excentricidad de la Tierra, su grado de desviación de una esfera perfecta. Clairaut confirmó que la teoría de Newton de que la Tierra era elipsoidal era correcta, pero sus cálculos estaban equivocados y escribió una carta a la Royal Society de Londres con sus hallazgos. [7] La sociedad publicó un artículo en Philosophical Transactions el año siguiente en 1737 que reveló su descubrimiento. Clairaut mostró cómo las ecuaciones de Newton eran incorrectas y no demostró una forma elipsoide para la Tierra. [8] Sin embargo, corrigió problemas con la teoría que, en efecto, probarían que la teoría de Newton era correcta. Clairaut creía que Newton tenía razones para elegir la forma que eligió, pero no la apoyó en Principia . El artículo de Clairaut tampoco proporcionó una ecuación válida para respaldar su argumento. Esto generó mucha controversia en la comunidad científica.
No fue hasta que Clairaut escribió Théorie de la figure de la terre en 1743 que se proporcionó una respuesta adecuada. En él, promulgó lo que hoy se conoce más formalmente como el teorema de Clairaut.
Fórmula
La fórmula de Clairaut para la aceleración debida a la gravedad g en la superficie de un esferoide en la latitud φ fue: [9] [10]
dónde es el valor de la aceleración de la gravedad en el ecuador, m la relación entre la fuerza centrífuga y la gravedad en el ecuador, yf el aplanamiento de una sección meridiana de la tierra, definida como:
(donde a = semieje mayor, b = semieje menor).
Clairaut derivó la fórmula asumiendo que el cuerpo estaba compuesto por capas esferoidales coaxiales concéntricas de densidad constante. [11] Este trabajo fue posteriormente llevado a cabo por Laplace , quien relajó la suposición inicial de que las superficies de igual densidad eran esferoides. [12] Stokes demostró en 1849 [13] que el teorema se aplica a cualquier ley de densidad siempre que la superficie externa sea un esferoide de equilibrio. [14] [15] Una historia del tema y ecuaciones más detalladas para g se pueden encontrar en Khan. [dieciséis]
La expresión anterior para g ha sido reemplazada por la ecuación de Somigliana (después de Carlo Somigliana ).
Geodesia
La forma esferoidal de la Tierra es el resultado de la interacción entre la gravedad y la fuerza centrífuga causada por la rotación de la Tierra sobre su eje. [17] [18] En sus Principia , Newton propuso que la forma de equilibrio de una Tierra rotatoria homogénea era un elipsoide rotatorio con un aplanamiento f dado por 1/230. [19] [20] Como resultado, la gravedad aumenta desde el ecuador hacia los polos. Al aplicar el teorema de Clairaut, Laplace encontró a partir de 15 valores de gravedad que f = 1/330. Una estimación moderna es 1 / 298,25642. [21] Consulte la Figura de la Tierra para obtener más detalles.
Para obtener una descripción detallada de la construcción del modelo de geodesia de referencia de la Tierra , consulte Chatfield. [22]
Referencias
- ↑ Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l'hydrostatique ( Teoría de la forma de la tierra, extraída de los principios de la hidrostática ) Del catálogo de libros científicos de la biblioteca de la Royal Society.
- ^ Wolfgang Torge (2001). Geodesia: Introducción (3ª ed.). Walter de Gruyter . pag. 10. ISBN 3-11-017072-8.
- ^ Edward John Routh (2001). Un tratado sobre estática analítica con numerosos ejemplos . Vol. 2. Adamant Media Corporation. pag. 154. ISBN 1-4021-7320-2.
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tiene texto extra ( ayuda ) Una reimpresión del trabajo original publicado en 1908 por Cambridge University Press. - ^ Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). Un libro de texto de física, 4ª ed . Londres: Charles Griffin & Co. p. 20 .
- ^ Victor F., Lenzen; Robert P. Multauf (1964). "Documento 44: Desarrollo de péndulos de gravedad en el siglo XIX" . Boletín 240 del Museo Nacional de los Estados Unidos: Contribuciones del Museo de Historia y Tecnología reimpresas en el Boletín de la Institución Smithsonian . Washington: Prensa de la Institución Smithsonian . pag. 307 . Consultado el 28 de enero de 2009 .
- ^ Newton, Isaac. Principia, Libro III, Proposición XIX, Problema III .
- ^ Greenburg, John (1995). El problema de la forma de la Tierra de Newton a Clairaut . Nueva York: Cambridge University Press . pp. 132 . ISBN 0-521-38541-5.
- ^ Clairaut, Alexis; Colson, John (1737). "Una investigación sobre la figura de planetas que giran alrededor de un eje, suponiendo que la densidad varíe continuamente, desde el centro hacia la superficie". Transacciones filosóficas . JSTOR 103921 .
- ^ WW Rouse Ball Un breve relato de la historia de las matemáticas (4a edición, 1908)
- ^ Walter William Rouse Ball (1901). Una breve reseña de la historia de las matemáticas (3ª ed.). Macmillan. pag. 384 .
Una breve reseña de la historia de las matemáticas '(4ª edición, 1908) de WW Rouse Ball.
- ^ Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). Un libro de texto de física, 4ª ed . Londres: Charles Griffin & Co. pp. 22 -23.
- ^ Isaac Todhunter. Una historia de las teorías matemáticas de la atracción y la figura de la Tierra desde la época de Newton hasta la de Laplace . Vol. 2. Clásicos de Elibron. ISBN 1-4021-1717-5.
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tiene texto extra ( ayuda ) Reimpresión de la edición original de 1873 publicada por Macmillan and Co. - ^ Stokes, GG (1849). "Sobre atracciones y sobre el teorema de Clairaut" . The Cambridge and Dublin Mathematical Journal . 4 : 194-219.
- ^ Osmond Fisher (1889). Física de la corteza terrestre . Macmillan y Co. p. 27.
- ^ John Henry Poynting; Joseph John Thomson (1907). Un libro de texto de física . C. Griffin. pag. 22 .
Teorema de Clairaut.
- ^ Expediente de la NASA Sobre la figura de equilibrio de la tierra por Mohammad A. Khan (1968)
- ^ John P. Vinti; Gim J. Der; Nino L. Bonavito (1998). Mecánica orbital y celeste . Progreso en astronáutica y aeronáutica, v. 177. Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . pag. 171. ISBN 1-56347-256-2.
- ^ Arthur Gordon Webster (1904). La dinámica de partículas y de cuerpos rígidos, elásticos y fluidos: conferencias sobre física matemática . BG Teubner . pag. 468 .
- ^ Isaac Newton: Principia Libro III Proposición XIX Problema III, p. 407 en traducción de Andrew Motte.
- ^ Vea los Principia en línea en Andrew Motte Translation
- ^ Tabla 1.1 Estándares numéricos IERS (2003) )
- ^ Averil B. Chatfield (1997). Fundamentos de la navegación inercial de alta precisión . Volumen 174 en progreso en Astronáutica y Aeronáutica . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. Capítulo 1, Parte VIII p. 7. ISBN 1-56347-243-0.