Problema clásico de fuerza central

En la mecánica clásica, el problema de la fuerza central consiste en determinar el movimiento de una partícula en un único campo de potencial central . Una fuerza central es una fuerza (posiblemente negativa) que apunta desde la partícula directamente hacia un punto fijo en el espacio, el centro, y cuya magnitud solo depende de la distancia del objeto al centro. En muchos casos importantes, el problema se puede resolver analíticamente, es decir, en términos de funciones bien estudiadas como las funciones trigonométricas .

La solución de este problema es importante para la mecánica clásica , ya que muchas fuerzas naturales son fundamentales. Los ejemplos incluyen la gravedad y el electromagnetismo como se describe en la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb , respectivamente. El problema también es importante porque algunos problemas más complicados de la física clásica (como el problema de los dos cuerpos con fuerzas a lo largo de la línea que conecta los dos cuerpos) pueden reducirse a un problema de fuerza central. Finalmente, la solución al problema de la fuerza central a menudo hace una buena aproximación inicial del movimiento verdadero, como al calcular el movimiento de los planetas en el Sistema Solar .

Lo esencial

La esencia del problema de la fuerza central es resolver la posición r ^{[nota 1]} de una partícula que se mueve bajo la influencia de una fuerza central F , ya sea en función del tiempo t o en función del ángulo φ relativo a la centro de fuerza y ​​un eje arbitrario.

Definición de una fuerza central

Una fuerza central atractiva que actúa sobre un cuerpo en la posición P (se muestra en rojo). Por definición, una fuerza central debe apuntar hacia un punto fijo O (si es atractivo) o lejos de él (si es repulsivo).

Una fuerza central conservadora F tiene dos propiedades definitorias. ^[1] En primer lugar, debe conducir partículas ya sea directamente hacia o en dirección opuesta a un punto fijo en el espacio, el centro de la fuerza, que a menudo se etiqueta O . En otras palabras, una fuerza central debe actuar a lo largo de la línea que une O con la posición actual de la partícula. En segundo lugar, una fuerza central conservadora depende sólo de la distancia r entre O y la partícula en movimiento; no depende explícitamente del tiempo u otros descriptores de posición.

Esta doble definición puede expresarse matemáticamente como sigue. El centro de fuerza O se puede elegir como origen de un sistema de coordenadas. El vector r que une O a la posición actual de la partícula se conoce como vector de posición . Por tanto, una fuerza central debe tener la forma matemática ^[2]

${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$

donde r es la magnitud del vector | r | (la distancia al centro de fuerza) y r̂ = r / r es el vector unitario correspondiente . Según la segunda ley del movimiento de Newton , la fuerza central F genera una aceleración paralela a escalada por la masa m de la partícula ^{[nota 2]}

${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$

Para las fuerzas de atracción, F (r) es negativo, porque trabaja para reducir la distancia r al centro. Por el contrario, para las fuerzas repulsivas, F (r) es positivo.

Energía potencial

Si la fuerza central es una fuerza conservadora , entonces la magnitud F ( r ) de una fuerza central siempre se puede expresar como la derivada de una función de energía potencial independiente del tiempo U ( r ) ^[3]

${\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}$

Por tanto, la energía total de la partícula, la suma de su energía cinética y su energía potencial U, es una constante; se dice que la energía se conserva . Para demostrarlo, basta con que el trabajo W realizado por la fuerza dependa únicamente de las posiciones inicial y final, no del camino recorrido entre ellas.

${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})}$

De manera equivalente, es suficiente que el rizo del campo de fuerza F sea ​​cero; usando la fórmula para el rizo en coordenadas esféricas ,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}$

porque las derivadas parciales son cero para una fuerza central; la magnitud F no depende de las coordenadas esféricas angulares θ y φ.

Dado que el potencial escalar V ( r ) depende solo de la distancia r al origen, tiene simetría esférica . A este respecto, el problema de la fuerza central es análogo a las geodésicas de Schwarzschild en relatividad general y a los tratamientos mecánicos cuánticos de partículas en potenciales de simetría esférica .

Problema unidimensional

Si la velocidad inicial v de la partícula está alineada con el vector de posición r , entonces el movimiento permanece para siempre en la línea definida por r . Esto se deduce porque la fuerza y por la segunda ley de Newton, la aceleración también un -está también alineado con r . Para determinar este movimiento, basta con resolver la ecuación

${\displaystyle m{\ddot {r}}=F(r)}$

Un método de solución es utilizar la conservación de la energía total.

${\displaystyle |{\dot {r}}|={\Big |}{\frac {dr}{dt}}{\Big |}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)}}}$

Tomando lo recíproco e integrador obtenemos:

${\displaystyle |t-t_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)}}}}$

Para el resto del artículo, se supone que la velocidad inicial v de la partícula no está alineada con el vector de posición r , es decir, que el vector de momento angular L = r × m v no es cero.

Movimiento circular uniforme

Toda fuerza central puede producir un movimiento circular uniforme, siempre que el radio inicial ry la velocidad v satisfagan la ecuación de la fuerza centrípeta

${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}$

Si esta ecuación se satisface en los momentos iniciales, se cumplirá en todos los momentos posteriores; la partícula continuará moviéndose en un círculo de radio r a velocidad v para siempre.

Relación con el problema clásico de los dos cuerpos

Las posiciones x ₁ y x ₂ de dos cuerpos se pueden expresar en términos de su separación relativa ry la posición de su centro de masa R _cm .

El problema de la fuerza central se refiere a una situación ideal (un "problema de un cuerpo") en la que una sola partícula es atraída o repelida desde un punto inamovible O , el centro de fuerza. ^[4] Sin embargo, las fuerzas físicas se encuentran generalmente entre dos cuerpos; y según la tercera ley de Newton, si el primer cuerpo aplica una fuerza al segundo, el segundo aplica una fuerza igual y opuesta al primero. Por tanto, ambos cuerpos se aceleran si existe una fuerza entre ellos; no hay un centro de fuerza perfectamente inamovible. Sin embargo, si un cuerpo es abrumadoramente más masivo que el otro, se puede descuidar su aceleración en relación con el otro; el centro del cuerpo más masivo puede tratarse como aproximadamente fijo. ^[5] Por ejemplo, el Sol es abrumadoramente más masivo que el planeta Mercurio; por lo tanto, el Sol puede aproximarse como un centro de fuerza inamovible, reduciendo el problema al movimiento de Mercurio en respuesta a la fuerza aplicada por el Sol. En realidad, sin embargo, el Sol también se mueve (aunque solo ligeramente) en respuesta a la fuerza aplicada por el planeta Mercurio.

Cualquier problema clásico de dos cuerpos se convertirá en un problema equivalente de un cuerpo. La masa μ del cuerpo equivalente es igual a la masa reducida de los dos cuerpos originales, y su posición r es igual a la diferencia de sus posiciones.

Sin embargo, tales aproximaciones son innecesarias. Las leyes del movimiento de Newton permiten que cualquier problema clásico de dos cuerpos se convierta en un problema de un cuerpo exacto correspondiente. ^[6] Para demostrar esto, sean x ₁ y x ₂ las posiciones de las dos partículas, y sea r = x ₁ - x ₂ su posición relativa. Entonces, por la segunda ley de Newton,

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}}$

La ecuación final se deriva de la tercera ley de Newton ; la fuerza del segundo cuerpo sobre el primer cuerpo ( F ₂₁ ) es igual y opuesta a la fuerza del primer cuerpo sobre el segundo ( F ₁₂ ). Por lo tanto, la ecuación de movimiento para r se puede escribir en la forma

${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$

dónde ${\displaystyle \mu }$es la masa reducida

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Como caso especial, el problema de dos cuerpos que interactúan mediante una fuerza central puede reducirse a un problema de fuerza central de un cuerpo.

Propiedades cualitativas

Movimiento plano

Ilustración de movimiento plano. El vector de momento angular L es constante; Por lo tanto, el vector de posición r y vector de velocidad v debe estar en el plano de color amarillo perpendicular a L .

El movimiento de una partícula bajo una fuerza central F siempre permanece en el plano definido por su posición y velocidad iniciales. ^[7] Esto puede verse por simetría. Dado que la posición r , la velocidad v y la fuerza F están todas en el mismo plano, nunca hay una aceleración perpendicular a ese plano, porque eso rompería la simetría entre "arriba" y "debajo" del plano.

Para demostrar esto matemáticamente, basta con mostrar que el momento angular de la partícula es constante. Este momento angular L está definido por la ecuación

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

donde m es la masa de la partícula yp es su momento lineal . ^{[nota 3]} Por lo tanto, el vector de momento angular L es siempre perpendicular al plano definido por el vector de posición r de la partícula y el vector de velocidad v . ^{[nota 4]}

En general, la tasa de cambio del momento angular L es igual al par neto r × F ^[8]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$

El primer término m v × v es siempre cero, porque el producto cruzado de vectores es siempre cero para dos vectores que apuntan en la misma dirección o en direcciones opuestas. Sin embargo, cuando F es una fuerza central, el término restante r × F también es cero porque los vectores r y F apuntan en la misma dirección o en direcciones opuestas. Por lo tanto, el vector de momento angular L es constante. Luego

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}$

En consecuencia, la posición de la partícula r (y por tanto la velocidad v ) siempre se encuentra en un plano perpendicular a L . ^[9]

Coordenadas polares

El vector de posición r de un punto P en el plano se puede especificar por su distancia r desde el centro (el origen O ) y su ángulo azimutal φ. Las x y Y componentes cartesianas del vector son r  cos φ y r  pecado φ, respectivamente.

Dado que el movimiento es plano y la fuerza radial, es habitual cambiar a coordenadas polares . ^[9] En estas coordenadas, el vector de posición r se representa en términos de la distancia radial r y el ángulo azimutal φ.

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$

Tomando la primera derivada con respecto al tiempo se obtiene el vector de velocidad de la partícula v

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}$

De manera similar, la segunda derivada de la posición r de la partícula es igual a su aceleración a

${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$

La velocidad v y la aceleración a se pueden expresar en términos de los vectores unitarios radial y azimutal. El vector unitario radial se obtiene dividiendo el vector de posición r por su magnitud r , como se describió anteriormente

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$

El vector unitario azimutal viene dado por ^{[nota 5]}

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}$

Por tanto, la velocidad se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat {r}} +v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$

mientras que la aceleración es igual a

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})\mathbf {\hat {r}} +(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$

Momento angular específico

El momento angular específico h es igual a la rapidez v multiplicada por r _⊥ , la componente del vector de posición r perpendicular al vector de velocidad v . h también es igual a la distancia radial r multiplicada por el componente azimutal v _φ de la velocidad. Ambas fórmulas son iguales a rv cos β.

Desde F = M una por la segunda ley de Newton del movimiento, y desde F es una fuerza central, entonces solamente la componente radial de la aceleración una puede ser distinto de cero; la componente angular a _φ debe ser cero

${\displaystyle a_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)=r(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }})=ra_{\varphi }=0}$

Esta expresión entre paréntesis generalmente se denota h

${\displaystyle h=r^{2}{\dot {\varphi }}=rv_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|=vr_{\perp }={\frac {L}{m}}}$

que es igual a la velocidad V veces r _⊥ , el componente del radio vector perpendicular a la velocidad. h es la magnitud del momento angular específico porque es igual a la magnitud L del momento angular dividido por la masa m de la partícula.

Por brevedad, la velocidad angular a veces se escribe ω

${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}$

Sin embargo, no se debe suponer que ω sea constante. Como h es constante, ω varía con el radio r según la fórmula ^[10]

${\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}$

Dado que h es constante y r ² es positivo, el ángulo φ cambia monótonamente en cualquier problema de fuerza central, ya sea aumentando continuamente ( h positivo) o disminuyendo continuamente ( h negativo). ^[11]

Velocidad de área constante

Dado que el área A es igual a 1 ⁄ 2  r _⊥ vt , la velocidad de área dA / dt (la tasa a la que A es barrida por la partícula) es igual a 1 ⁄ 2  r _⊥ v  =  1 ⁄ 2 h .

La magnitud de h también es igual al doble de la velocidad del área , que es la tasa a la que la partícula barre el área en relación con el centro. ^[12] Por lo tanto, la velocidad de área es constante para una partícula sobre la que actúa cualquier tipo de fuerza central; esta es la segunda ley de Kepler . ^[13] A la inversa, si el movimiento bajo una fuerza conservadora F es plano y tiene una velocidad de área constante para todas las condiciones iniciales del radio r y la velocidad v , entonces la aceleración azimutal a _φ es siempre cero. Por lo tanto, por la segunda ley de Newton, F = m a , la fuerza es una fuerza central.

La constancia de la velocidad de un área se puede ilustrar mediante un movimiento circular y lineal uniforme. En un movimiento circular uniforme, la partícula se mueve con rapidez constante v alrededor de la circunferencia de un círculo de radio r . Dado que la velocidad angular ω = v / r es constante, el área barrida en un tiempo Δ t es igual a ω r ² Δ t ; por lo tanto, áreas iguales se barren en tiempos iguales Δ t . En movimiento lineal uniforme (es decir, movimiento en ausencia de una fuerza, según la primera ley de movimiento de Newton), la partícula se mueve con velocidad constante, es decir, con velocidad constante v a lo largo de una línea. En un tiempo Δ t , la partícula barre un área 1 ⁄ 2 v Δ tr _⊥ (el parámetro de impacto ). ^{[nota 6]} La distancia r _⊥ no cambia cuando la partícula se mueve a lo largo de la línea; representa la distancia de aproximación más cercana de la línea al centro O (el parámetro de impacto ). Dado que la rapidez v es igualmente invariable, la velocidad de área 1 ⁄ 2 vr _⊥ es una constante de movimiento; la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.

El área A de un sector circular es igual a 1 ⁄ 2  r ² φ =  1 ⁄ 2  r ² ω t  =  1 ⁄ 2  r   v _φ t . Por tanto, la velocidad de área dA / dt es igual a 1 ⁄ 2  r   v _φ  =  1 ⁄ 2  h . Para un movimiento circular uniforme, r y v _φ son constantes; por tanto, dA / dt también es constante.

Campo de fuerza paralelo equivalente

Mediante una transformación de variables, ^[14] cualquier problema de fuerza central puede convertirse en un problema de fuerzas paralelas equivalente. ^{[nota 7]} En lugar de los ordinarios x y Y coordenadas cartesianas, dos nuevas variables de posición ξ = x / y y η = 1 / y se definen, como es la coordenada τ un nuevo tiempo

${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}$

Las ecuaciones de movimiento correspondientes para ξ y η están dadas por

${\displaystyle {\frac {d\xi }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h}$

${\displaystyle {\frac {d\eta }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}}$

Dado que la tasa de cambio de ξ es constante, su segunda derivada es cero

${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}$

Dado que esta es la aceleración en la dirección ξ y dado que F = ma según la segunda ley de Newton, se deduce que la fuerza en la dirección ξ es cero. Por lo tanto, la fuerza está solo en la dirección η, que es el criterio para un problema de fuerzas paralelas. Explícitamente, la aceleración en la dirección η es igual a

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)}$

porque la aceleración en la dirección y es igual a

${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}$

Aquí, F _y indica la y componente z de la fuerza central, y y / r es igual al coseno del ángulo entre el y eje x y el vector radial r .

Solución general

Ecuación de Binet

Dado que una fuerza central F actúa solo a lo largo del radio, solo la componente radial de la aceleración es distinta de cero. Según la segunda ley del movimiento de Newton, la magnitud de F es igual a la masa m de la partícula multiplicada por la magnitud de su aceleración radial ^[15]

${\displaystyle F(r)=m{\ddot {r}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {mh^{2}}{r^{3}}}}$

Esta ecuación tiene factor de integración ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\frac {dr}{dt}}\,dt\\&=m\left({\frac {dr}{dt}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\right)\,dt\\&={\frac {m}{2}}\,d\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

Integrando rendimientos

${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]}$

Si h no es cero, la variable independiente se puede cambiar de t a ϕ ^[16]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}=\omega {\frac {d}{d\varphi }}={\frac {h}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}}$

dando la nueva ecuación de movimiento ^[17]

${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]}$

Al hacer el cambio de variables al radio inverso u = 1 / r ^{[17] se} obtiene

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=C-u^{2}-G\left(u\right)}$

( 1 )

donde C es una constante de integración y la función G ( u ) está definida por

${\displaystyle G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}}\int ^{\frac {1}{u}}F(r)\,dr}$

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al diferenciar por ϕ

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}}F(1/u)}$

Esto se conoce como ecuación de Binet . Al integrar ( 1 ) se obtiene la solución para ϕ ^[18]

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{r}}{\frac {du}{\sqrt {C-u^{2}-G(u)}}}}$

donde ϕ ₀ es otra constante de integración. Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración final puede resolverse en términos de funciones conocidas.

Órbita de la partícula

La energía total del sistema E _tot es igual a la suma de la energía potencial y la energía cinética ^[19]

${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {mh^{2}}{2r^{2}}}+U(r)}$

Dado que la energía total es constante, se puede calcular la tasa de cambio de r ^[20]

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {mh^{2}}{2r^{2}}}}}}$

que puede convertirse (como antes) a la derivada de r con respecto al ángulo azimutal φ ^[17]

${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {r^{2}}{h}}{\frac {dr}{dt}}}$

La integración y el uso de la fórmula del momento angular L = mh da como resultado la fórmula ^[21]

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$

lo que indica que el momento angular aporta una energía potencial efectiva ^[22]

${\displaystyle U_{\mathrm {eff} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$

Al cambiar la variable de integración al radio inverso se obtiene la integral ^[23]

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}}}$

que expresa las constantes anteriores C = 2 mE _tot / L ² y G ( u ) = 2 mU (1 / u ) / L ² anteriores en términos de la energía total E _tot y la energía potencial U ( r ).

Puntos de inflexión y órbitas cerradas

La tasa de cambio de r es cero siempre que la energía potencial efectiva sea igual a la energía total ^[24]

${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$

Los puntos donde se satisface esta ecuación se conocen como puntos de inflexión . ^[24] La órbita a cada lado de un punto de inflexión es simétrica; en otras palabras, si el ángulo azimutal se define de manera que φ = 0 en el punto de inflexión, entonces la órbita es la misma en direcciones opuestas, r (φ) = r (−φ). ^[25]

Si hay dos puntos de inflexión tales que el radio r está limitado entre r _min y r _max , entonces el movimiento está contenido dentro de un anillo de esos radios. ^[24] Como el radio varía de un punto de inflexión a otro, el cambio en el ángulo azimutal φ es igual a ^[24]

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int _{r_{\mathrm {min} }}^{r_{\mathrm {max} }}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$

La órbita se cerrará sobre sí misma ^{[nota 8]} siempre que Δφ sea igual a una fracción racional de 2π, es decir, ^[24]

${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}}$

donde m y n son números enteros. En ese caso, el radio oscila exactamente m veces mientras que el ángulo azimutal φ hace exactamente n revoluciones. En general, sin embargo, Δφ / 2π no será un número tan racional y, por lo tanto, la órbita no se cerrará. En ese caso, la partícula eventualmente pasará arbitrariamente cerca de cada punto dentro del anillo. Dos tipos de fuerza central siempre producen órbitas cerradas: F ( r ) = α r (una fuerza lineal) y F ( r ) = α / r ² (una ley del cuadrado inverso ). Como muestra Bertrand, estas dos fuerzas centrales son las únicas que garantizan órbitas cerradas. ^[26]

En general, si el momento angular L es distinto de cero, el término L ² / 2mr ² evita que la partícula caiga en el origen, a menos que la energía potencial efectiva vaya a infinito negativo en el límite de r yendo a cero. ^[27] Por lo tanto, si hay un solo punto de inflexión, la órbita generalmente se dirige al infinito; el punto de inflexión corresponde a un punto de radio mínimo.

Soluciones especificas

Problema de Kepler

La gravedad clásica es una fuerza central. Resolver ese problema de fuerza central muestra que una partícula ligada sigue una órbita elíptica en la que áreas iguales se barren en tiempos iguales, como se describe en la segunda ley de Kepler .

En la física clásica , muchas fuerzas importantes siguen una ley del cuadrado inverso, como la gravedad o la electrostática . La forma matemática general de tales fuerzas centrales de cuadrado inverso es

${\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}$

por una constante ${\displaystyle \alpha }$, que es negativo para una fuerza atractiva y positivo para una repulsiva.

Este caso especial del problema clásico de la fuerza central se denomina problema de Kepler . Para una fuerza de cuadrado inverso, la ecuación de Binet derivada anteriormente es lineal

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}.}$

La solución de esta ecuación es

${\displaystyle u(\varphi )=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}\left[1+e\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]}$

lo que muestra que la órbita es una sección cónica de excentricidad e ; aquí, φ ₀ es el ángulo inicial y el centro de fuerza está en el foco de la sección cónica. Usando la fórmula de medio ángulo para el seno , esta solución también se puede escribir como

${\displaystyle u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1})\sin ^{2}\left({\frac {\varphi -\varphi _{0}}{2}}\right)}$

Como para todas las fuerzas centrales, la partícula en el problema de Kepler barre áreas iguales en tiempos iguales, como lo ilustran los dos sectores elípticos azules. El centro de fuerza se encuentra en uno de los focos de la órbita elíptica.

donde u ₁ y u ₂ son constantes, con u ₂ mayor que u ₁ . Las dos versiones de la solución están relacionadas por las ecuaciones

${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {-2\alpha }{mh^{2}}}}$

y

${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$

Dado que la función sen ² es siempre mayor que cero, u ₂ es el valor más grande posible de u y el inverso del valor más pequeño posible de r , es decir, la distancia de aproximación más cercana ( periapsis ). Dado que la distancia radial r no puede ser un número negativo, tampoco su inverso u ; por lo tanto, u ₂ debe ser un número positivo. Si u ₁ también es positivo, es el valor más pequeño posible de u , que corresponde al valor más grande posible de r , la distancia de aproximación más lejana ( apoapsis ). Si u ₁ es cero o negativo, entonces el valor más pequeño posible de u es cero (la órbita va al infinito); en este caso, los únicos valores relevantes de φ son los que hacen que u sea positivo.

Para una fuerza de atracción (α <0), la órbita es una elipse , una hipérbola o una parábola , dependiendo de si u ₁ es positivo, negativo o cero, respectivamente; esto corresponde a una excentricidad e menor que uno, mayor que uno o igual a uno. Para una fuerza repulsiva (α> 0), u ₁ debe ser negativo, ya que u ₂ es positivo por definición y su suma es negativa; por tanto, la órbita es una hipérbola. Naturalmente, si no hay fuerza (α = 0), la órbita es una línea recta.

Fuerzas centrales con soluciones exactas

La ecuación de Binet para u (φ) se puede resolver numéricamente para casi cualquier fuerza central F (1 / u ). Sin embargo, solo unas pocas fuerzas dan como resultado fórmulas para u en términos de funciones conocidas. Como se derivó anteriormente, la solución para φ se puede expresar como una integral sobre u

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$

Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración puede resolverse en términos de funciones conocidas.

Si la fuerza es una ley de potencia, es decir, si F ( r ) = α r ⁿ , entonces u se puede expresar en términos de funciones circulares y / o funciones elípticas si n es igual a 1, -2, -3 (funciones circulares) y -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 y -7/3 (funciones elípticas). ^[28] De manera similar, solo seis posibles combinaciones lineales de leyes de potencia dan soluciones en términos de funciones circulares y elípticas ^{[29] [30]}

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7}}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}}$

Los siguientes casos especiales de los dos primeros tipos de fuerza siempre dan como resultado funciones circulares.

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}}$

El caso especial

${\displaystyle F(r)=Ar^{-5}}$

Newton mencionó, en el corolario 1 de la proposición VII de los principia, la fuerza que implican las órbitas circulares que pasan por el punto de atracción.

Órbitas giratorias

"> Reproducir medios

Ilustración del teorema de Newton de las órbitas giratorias. El planeta verde completa una órbita (subarmónica) por cada tres órbitas del planeta azul ( k = 1/3 ). Una versión GIF de esta animación se encuentra aquí .