En relatividad general , las geodésicas de Schwarzschild describen el movimiento de las partículas de prueba en el campo gravitacional de una masa central fija.es decir, movimiento en la métrica de Schwarzschild. Las geodésicas de Schwarzschild han sido fundamentales en la validación de la teoría de la relatividad general de Einstein . Por ejemplo, proporcionan predicciones precisas de la precesión anómala de los planetas del Sistema Solar y de la desviación de la luz por gravedad.
Las geodésicas de Schwarzschild pertenecen solo al movimiento de partículas de masas tan pequeñas que contribuyen poco al campo gravitacional. Sin embargo, son muy precisos en muchos escenarios astrofísicos siempre que es muchas veces más pequeño que la masa central , por ejemplo, para planetas que orbitan alrededor de su sol. Las geodésicas de Schwarzschild también son una buena aproximación al movimiento relativo de dos cuerpos de masa arbitraria, siempre que la masa de Schwarzschild se establece igual a la suma de las dos masas individuales y . Esto es importante para predecir el movimiento de estrellas binarias en relatividad general.
Contexto histórico
La métrica de Schwarzschild recibe su nombre en honor a su descubridor Karl Schwarzschild , quien encontró la solución en 1915, solo un mes después de la publicación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Fue la primera solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein además de la solución trivial del espacio plano .
Una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein es la métrica de Schwarzschild , que corresponde al campo gravitacional externo de un cuerpo de masa sin carga, no giratorio y esféricamente simétrico.. La solución de Schwarzschild se puede escribir como [2]
dónde
es el tiempo adecuado (tiempo medido por un reloj que se mueve con la partícula) en segundos,
es el radio de Schwarzschild del cuerpo masivo (en metros), que está relacionado con su masa por
dónde es la constante gravitacional . La teoría clásica newtoniana de la gravedad se recupera en el límite como la relación va a cero. En ese límite, la métrica vuelve a la definida por la relatividad especial .
En la práctica, esta relación es casi siempre extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschildde la Tierra mide aproximadamente 9 mm ( 3 ⁄ 8 pulgadas); en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo una parte en mil millones. El radio de Schwarzschild del Sol es mucho mayor, aproximadamente 2953 metros, pero en su superficie, la relaciónes aproximadamente 4 partes en un millón. Una estrella enana blanca es mucho más densa, pero incluso aquí la proporción en su superficie es de aproximadamente 250 partes en un millón. La proporción solo se vuelve grande cerca de los objetos ultra densos como las estrellas de neutrones (donde la proporción es aproximadamente del 50%) y los agujeros negros .
Órbitas de partículas de prueba
Comparación entre la órbita de una partícula de prueba en el espacio-tiempo newtoniano (izquierda) y de Schwarzschild (derecha); nótese la precesión absidal a la derecha.
Podemos simplificar el problema utilizando la simetría para eliminar una variable de la consideración. Dado que la métrica de Schwarzschild es simétrica sobre, cualquier geodésica que comience a moverse en ese plano permanecerá en ese plano indefinidamente (el plano es totalmente geodésico ). Por lo tanto, orientamos el sistema de coordenadas de modo que la órbita de la partícula se encuentre en ese plano y fijamos la coordinar para ser de modo que la métrica (de este plano) se simplifica a
Dos constantes de movimiento (valores que no cambian durante el tiempo adecuado) se puede identificar (cf. la derivación que se proporciona a continuación ). Uno es la energía total:
donde L es el momento angular total de los dos cuerpos, y es la masa reducida . Cuándo, la masa reducida es aproximadamente igual a . A veces se asume que. En el caso del planeta Mercurio esta simplificación introduce un error más del doble del efecto relativista. Cuando se habla de geodésicas, puede considerarse ficticio, y lo que importa son las constantes y . Para cubrir todas las posibles geodésicas, debemos considerar casos en los quees infinito (dando trayectorias de fotones ) o imaginario (para geodésicas taquiónicas ). Para el caso fotónico, también necesitamos especificar un número correspondiente a la relación de las dos constantes, a saber, que puede ser cero o un número real distinto de cero.
Sustituyendo estas constantes en la definición de la métrica de Schwarzschild
produce una ecuación de movimiento para el radio en función del tiempo adecuado :
La solución formal a esto es
Tenga en cuenta que la raíz cuadrada será imaginaria para las geodésicas taquiónicas.
Usando la relación más arriba entre y , también podemos escribir
Dado que asintóticamente el integrando es inversamente proporcional a, esto muestra que en el marco de referencia si enfoques lo hace exponencialmente sin llegar a alcanzarlo. Sin embargo, en función de, alcanza .
Las soluciones anteriores son válidas mientras el integrando sea finito, pero una solución total puede involucrar dos o una infinidad de piezas, cada una descrita por la integral pero con signos alternos para la raíz cuadrada.
Cuándo y , podemos resolver y explícitamente:
y para geodésicas fotónicas () con momento angular cero
(Aunque el momento adecuado es trivial en el caso fotónico, se puede definir un parámetro afín , y luego la solución a la ecuación geodésica es .)
Otro caso solucionable es aquel en el que y y son constantes. En el volumen donde esto da por el momento adecuado
Esto está cerca de soluciones con pequeño y positivo. Fuera de la La solución es taquiónica y el "tiempo adecuado" es similar al espacio:
Esto está cerca de otras soluciones taquiónicas con pequeño y negativo. El constante exterior geodésico taquiónico no es continuado por una constante geodésico en el interior , sino que continúa hacia una "región exterior paralela" (véanse las coordenadas de Kruskal-Szekeres ). Otras soluciones taquiónicas pueden entrar en un agujero negro y volver a salir a la región exterior paralela. La solución t constante dentro del horizonte de eventos () se continúa con una solución t constante en un agujero blanco .
Cuando el momento angular no es cero, podemos reemplazar la dependencia del tiempo adecuado por una dependencia del ángulo usando la definición de
que produce la ecuación para la órbita
donde, por brevedad, dos escalas de longitud, y , han sido definidos por
Tenga en cuenta que en el caso taquiónico, será imaginario y real o infinito.
A diferencia de la mecánica clásica, en las coordenadas de Schwarzschild y no son el radial y transversal componentes de la velocidad local(relativo a un observador estacionario), en cambio, dan los componentes de la celeridad que están relacionados con por
para el radial y
para la componente transversal del movimiento, con . El contador de coordenadas lejos de la escena observa la velocidad retardada por shapiro, que viene dada por la relación
y .
El factor de dilatación del tiempo entre el contador y la partícula de prueba en movimiento también se puede poner en la forma
donde el numerador es el gravitacional y el denominador es el componente cinemático de la dilatación del tiempo. Para una partícula que cae desde el infinito, el factor de la izquierda es igual al factor de la derecha, ya que la velocidad de caída coincide con la velocidad de escape en este caso.
Las dos constantes momento angular y energía total de una partícula de prueba con masa están en términos de
y
dónde
y
Para partículas de test masivas es el factor de Lorentz y es el momento adecuado, mientras que para las partículas sin masa como los fotones se establece en y asume el papel de un parámetro afín. Si la partícula no tiene masa es reemplazado por y con , dónde es la constante de Planck y la frecuencia localmente observada.
Solución exacta usando funciones elípticas
La ecuación fundamental de la órbita es más fácil de resolver [nota 1] si se expresa en términos del radio inverso
El lado derecho de esta ecuación es un polinomio cúbico , que tiene tres raíces , denotadas aquí como u 1 , u 2 y u 3
La suma de las tres raíces es igual al coeficiente del término u 2
Un polinomio cúbico con coeficientes reales puede tener tres raíces reales o una raíz real y dos raíces conjugadas complejas . Si las tres raíces son números reales , las raíces se etiquetan de manera que u 1 < u 2 < u 3 . Si, en cambio, solo hay una raíz real, entonces se denota como u 3 ; las raíces conjugadas complejas se denominan u 1 y u 2 . Usando la regla de los signos de Descartes , puede haber como máximo una raíz negativa; u 1 es negativo si y solo si b < a . Como se analiza a continuación, las raíces son útiles para determinar los tipos de posibles órbitas.
Dado este etiquetado de las raíces, la solución de la ecuación orbital fundamental es
donde sn representa la función sinus amplitudinus (una de las funciones elípticas de Jacobi ) y δ es una constante de integración que refleja la posición inicial. El módulo elíptico k de esta función elíptica viene dado por la fórmula
Límite newtoniano
Para recuperar la solución newtoniana de las órbitas planetarias, se toma el límite cuando el radio de Schwarzschild r s llega a cero. En este caso, la tercera raíz u 3 se convierte aproximadamente, y mucho más grande que u 1 o u 2 . Por tanto, el módulo k tiende a cero; en ese límite, sn se convierte en la función seno trigonométrica
De acuerdo con las soluciones de Newton para los movimientos planetarios, esta fórmula describe una cónica focal de excentricidad e
Si u 1 es un número real positivo, entonces la órbita es una elipse donde u 1 y u 2 representan las distancias de aproximación más lejana y más cercana, respectivamente. Si u 1 es cero o un número real negativo, la órbita es una parábola o una hipérbola , respectivamente. En estos dos últimos casos, u 2 representa la distancia de aproximación más cercana; dado que la órbita llega al infinito ( u = 0), no hay distancia de aproximación más lejana.
Raíces y descripción general de posibles órbitas.
Una raíz representa un punto de la órbita donde la derivada desaparece, es decir, donde . En tal punto de inflexión, u alcanza un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, dependiendo del valor de la segunda derivada, que viene dada por la fórmula
Si las tres raíces son números reales distintos, la segunda derivada es positiva, negativa y positiva en u 1 , u 2 y u 3 , respectivamente. De ello se deduce que una gráfica de u contra φ puede oscilar entre u 1 y u 2 , o puede alejarse de u 3 hacia el infinito (que corresponde a r yendo a cero). Si u 1 es negativo, sólo se producirá una parte de una "oscilación". Esto corresponde a la partícula que viene del infinito, se acerca a la masa central y luego se aleja nuevamente hacia el infinito, como la trayectoria hiperbólica en la solución clásica.
Si la partícula tiene la cantidad justa de energía para su momento angular, u 2 y u 3 se fusionarán. Hay tres soluciones en este caso. La órbita puede girar en espiral, acercándose a ese radio como (asintóticamente) una exponencial decreciente en φ, τ o t . O uno puede tener una órbita circular en ese radio. O uno puede tener una órbita que descienda en espiral desde ese radio hasta el punto central. El radio en cuestión se llama radio interior y está entrey 3 veces r s . También se produce una órbita circular cuando u 2 es igual a u 1 , y esto se llama radio exterior. Estos diferentes tipos de órbitas se analizan a continuación.
Si la partícula llega a la masa central con suficiente energía y un momento angular suficientemente bajo, entonces solo u 1 será real. Esto corresponde a la partícula que cae en un agujero negro. La órbita entra en espiral con un cambio finito en φ.
Precesión de órbitas
La función sn y su cuadrado sn 2 tienen períodos de 4 K y 2 K , respectivamente, donde K está definido por la ecuación [nota 2]
Por lo tanto, el cambio en φ sobre una oscilación de u (o, de manera equivalente, una oscilación de r ) es igual a [6]
En el límite clásico, u 3 se acercay es mucho mayor que u 1 o u 2 . Por tanto, k 2 es aproximadamente
Por las mismas razones, el denominador de Δφ es aproximadamente
Dado que el módulo k es cercano a cero, el período K se puede expandir en potencias de k ; al orden más bajo, esta expansión produce
Sustituyendo estas aproximaciones en la fórmula para Δφ se obtiene una fórmula para el avance angular por oscilación radial
Para una órbita elíptica, u 1 y u 2 representan las inversas de las distancias más larga y más corta, respectivamente. Estos pueden expresarse en términos del semieje mayor A de la elipse y su excentricidad orbital e ,
donación
Sustituyendo la definición de r s da la ecuación final
Flexión de la luz por gravedad
Diagrama de lentes gravitacionales por un cuerpo compacto
En el límite, cuando la masa de partículas m va a cero (o, de manera equivalente si la luz se dirige directamente hacia la masa central, como la longitud de escala de un tiende a infinito), la ecuación para la órbita se convierte
Ampliando los poderes de , el término de orden inicial en esta fórmula da la deflexión angular aproximada δ φ para una partícula sin masa que viene del infinito y vuelve al infinito:
Aquí, b es el parámetro de impacto, algo mayor que la distancia de aproximación más cercana, r 3 : [7]
Aunque esta fórmula es aproximada, es precisa para la mayoría de las mediciones de lentes gravitacionales , debido a la pequeñez de la relación. Para la luz que roza la superficie del sol, la desviación angular aproximada es de aproximadamente 1,75 segundos de arco , aproximadamente una millonésima parte de un círculo.
Relación con la física newtoniana
Energía potencial radial efectiva
La ecuación de movimiento para la partícula derivada arriba
se puede reescribir usando la definición del radio de Schwarzschild r s como
que es equivalente a una partícula que se mueve en un potencial efectivo unidimensional
Los dos primeros términos son energías clásicas bien conocidas, siendo el primero la energía potencial gravitacional atractiva newtoniana y el segundo correspondiente a la energía potencial "centrífuga" repulsiva ; sin embargo, el tercer término es una energía atractiva exclusiva de la relatividad general . Como se muestra a continuación y en otros lugares , esta energía cúbica inversa hace que las órbitas elípticas precesen gradualmente en un ángulo δφ por revolución
donde A es el semieje mayor ye es la excentricidad.
El tercer término es atractivo y domina a valores pequeños de r , lo que da un radio interno crítico r interno en el que una partícula es arrastrada inexorablemente hacia adentro para r = 0; este radio interior es una función del momento angular de la partícula por unidad de masa o, equivalentemente, la una escala de longitud se ha definido anteriormente.
Órbitas circulares y su estabilidad.
Potencial radial efectivo para varios momentos angulares. En radios pequeños, la energía cae precipitadamente, lo que hace que la partícula sea empujada inexorablemente hacia adentro hasta r = 0. Sin embargo, cuando el momento angular normalizado es igual a la raíz cuadrada de tres, es posible una órbita circular metaestable en el radio resaltado con un círculo verde. En momentos angulares más altos, hay una barrera centrífuga significativa (curva naranja) y un radio interior inestable, resaltado en rojo.
El potencial efectivo V se puede reescribir en términos de la longitud.
Las órbitas circulares son posibles cuando la fuerza efectiva es cero.
es decir, cuando las dos fuerzas atractivas, la gravedad newtoniana (primer término) y la atracción única de la relatividad general (tercer término), están exactamente equilibradas por la fuerza centrífuga repulsiva (segundo término). Hay dos radios en los que puede ocurrir este equilibrio, denotados aquí como r interior y r exterior
que se obtienen utilizando la fórmula cuadrática . El radio interior r interior es inestable, porque la tercera fuerza de atracción se fortalece mucho más rápido que las otras dos fuerzas cuando r se vuelve pequeño; si la partícula se desliza ligeramente hacia adentro desde r interno (donde las tres fuerzas están en equilibrio), la tercera fuerza domina a las otras dos y atrae la partícula inexorablemente hacia adentro r = 0. En el radio externo, sin embargo, las órbitas circulares son estables; el tercer término es menos importante y el sistema se comporta más como el problema de Kepler no relativista .
Cuando a es mucho mayor que r s (el caso clásico), estas fórmulas se vuelven aproximadamente
Los radios estable e inestable se representan frente al momento angular normalizado. en azul y rojo, respectivamente. Estas curvas se encuentran en una órbita circular única (círculo verde) cuando el momento angular normalizado es igual a la raíz cuadrada de tres. A modo de comparación, el radio clásico predicho a partir de la aceleración centrípeta y la ley de gravedad de Newton se traza en negro.
Sustituyendo las definiciones de una y r s en r exteriores rendimientos la fórmula clásica para una partícula de masa m en órbita un cuerpo de masa M .
donde ω φ es la velocidad angular orbital de la partícula. Esta fórmula se obtiene en mecánica no relativista estableciendo la fuerza centrífuga igual a la fuerza gravitacional newtoniana:
Dónde es la masa reducida .
En nuestra notación, la velocidad angular orbital clásica es igual a
En el otro extremo, cuando a 2 se acerca a 3 r s 2 desde arriba, los dos radios convergen en un solo valor
Las soluciones cuadráticas anteriores aseguran que r exterior sea siempre mayor que 3 r s , mientras que r interior se encuentra entre 3 ⁄ 2 r s y 3 r s . Órbitas circulares más pequeñas que 3 ⁄ 2 r s no son posibles. Para partículas sin masa, a va al infinito, lo que implica que hay una órbita circular para fotones en r interno = 3 ⁄ 2 r s . La esfera de este radio a veces se conoce como esfera de fotones .
Precesión de órbitas elípticas
En el problema de Kepler no relativista , una partícula sigue eternamente la misma elipse perfecta (órbita roja). La relatividad general introduce una tercera fuerza que atrae a la partícula con un poco más de fuerza que la gravedad newtoniana, especialmente en radios pequeños. Esta tercera fuerza hace que la órbita elíptica de la partícula precese (órbita cian) en la dirección de su rotación; este efecto se ha medido en Mercurio , Venus y la Tierra. El punto amarillo dentro de las órbitas representa el centro de atracción, como el Sol .
La tasa de precesión orbital se puede derivar usando este radial potencial efectivo V . Una pequeña desviación radial de una órbita circular de radio r exterior oscilará de forma estable con una frecuencia angular
que es igual
Sacar la raíz cuadrada de ambos lados y realizar una expansión de la serie de Taylor produce
Multiplicar por el período T de una revolución da la precesión de la órbita por revolución
donde hemos utilizado ω φ T = 2 п y la definición de la escala de tallas a . Sustituyendo la definición del radio de Schwarzschild r s se obtiene
Esto puede simplificarse usando el semiaeje A de la órbita elíptica y la excentricidad e relacionada por la fórmula
para dar el ángulo de precesión
Derivaciones matemáticas de la ecuación orbital
Símbolos de Christoffel
Los símbolos de Christoffel que no desaparecen para la métrica de Schwarzschild son: [8]
Ecuación geodésica
Según la teoría de la relatividad general de Einstein, las partículas de masa insignificante viajan a lo largo de las geodésicas en el espacio-tiempo. En el espacio-tiempo plano, lejos de una fuente de gravedad, estas geodésicas corresponden a líneas rectas; sin embargo, pueden desviarse de las líneas rectas cuando el espacio-tiempo es curvo. La ecuación de las líneas geodésicas es [9]
donde Γ representa el símbolo de Christoffel y la variableparametriza el camino de la partícula a través del espacio-tiempo , su llamada línea del mundo . El símbolo de Christoffel depende solo del tensor métrico , o más bien sobre cómo cambia con la posición. La variablees un múltiplo constante del tiempo adecuado para órbitas temporales (que son viajadas por partículas masivas), y generalmente se considera que es igual a ella. Para órbitas similares a la luz (o nulas) (que viajan por partículas sin masa como el fotón ), el tiempo adecuado es cero y, estrictamente hablando, no se puede usar como variable.. Sin embargo, las órbitas parecidas a la luz pueden derivarse como el límite ultrarelativista de las órbitas temporales, es decir, el límite cuando la masa de partículas m llega a cero mientras mantiene fija su energía total .
Por lo tanto, para resolver el movimiento de una partícula, la forma más sencilla es resolver la ecuación geodésica, un enfoque adoptado por Einstein [10] y otros. [11] La métrica de Schwarzschild se puede escribir como
donde las dos funciones y su recíproco se definen por brevedad. A partir de esta métrica, los símbolos de Christoffelpueden calcularse, y los resultados sustituidos en las ecuaciones geodésicas
Puede comprobarse que es una solución válida por sustitución en la primera de estas cuatro ecuaciones. Por simetría, la órbita debe ser plana y somos libres de disponer el marco de coordenadas de modo que el plano ecuatorial sea el plano de la órbita. Esto La solución simplifica las ecuaciones segunda y cuarta.
Para resolver la segunda y tercera ecuaciones, basta con dividirlas por y , respectivamente.
que produce dos constantes de movimiento.
Enfoque lagrangiano
Debido a que las partículas de prueba siguen las geodésicas en una métrica fija, las órbitas de esas partículas se pueden determinar utilizando el cálculo de variaciones, también llamado enfoque lagrangiano. [12] Las geodésicas en el espacio-tiempo se definen como curvas para las cuales pequeñas variaciones locales en sus coordenadas (mientras mantienen fijos los eventos de sus puntos finales) no producen cambios significativos en su longitud total s . Esto puede expresarse matemáticamente utilizando el cálculo de variaciones.
donde τ es el tiempo adecuado , s = cτ es la longitud del arco en el espacio-tiempo y T se define como
en analogía con la energía cinética . Si la derivada con respecto al tiempo adecuado está representada por un punto por brevedad
T puede escribirse como
Los factores constantes (como c o la raíz cuadrada de dos) no afectan la respuesta al problema variacional; por lo tanto, tomando la variación dentro de la integral se obtiene el principio de Hamilton
La solución del problema variacional viene dada por las ecuaciones de Lagrange
Cuando se aplican a t y φ , estas ecuaciones revelan dos constantes de movimiento
que puede expresarse en términos de dos escalas de longitud constantes, y
Como se muestra arriba , la sustitución de estas ecuaciones en la definición de la métrica de Schwarzschild produce la ecuación de la órbita.
Enfoque hamiltoniano
Una solución lagrangiana se puede refundir en una forma hamiltoniana equivalente. [13] En este caso, el hamiltoniano es dado por
Una vez más, la órbita puede estar restringida a por simetría. Desde y no aparecen en el hamiltoniano, sus momentos conjugados son constantes; pueden expresarse en términos de la velocidad de la luz y dos escalas de longitud constante y
Las derivadas con respecto al tiempo adecuado están dadas por
Dividiendo la primera ecuación por la segunda se obtiene la ecuación orbital
El momento radial p r se puede expresar en términos de r usando la constancia del Hamiltoniano; esto produce la ecuación orbital fundamental
Enfoque de Hamilton-Jacobi
Flexión de ondas en un campo gravitacional. Debido a la gravedad, el tiempo pasa más lentamente en la parte inferior que en la parte superior, lo que hace que los frentes de onda (mostrados en negro) se doblen gradualmente hacia abajo. La flecha verde muestra la dirección de la aparente "atracción gravitacional".
La ecuación orbital se puede derivar de la ecuación de Hamilton-Jacobi . [14] La ventaja de este enfoque es que equipara el movimiento de la partícula con la propagación de una onda, y conduce claramente a la derivación de la desviación de la luz por gravedad en la relatividad general , a través del principio de Fermat . La idea básica es que, debido a la desaceleración gravitacional del tiempo, las partes de un frente de onda más cercanas a una masa gravitante se mueven más lentamente que las más alejadas, doblando así la dirección de propagación del frente de onda.
Usando la covarianza general, la ecuación de Hamilton-Jacobi para una sola partícula de unidad de masa se puede expresar en coordenadas arbitrarias como
Esto es equivalente a la formulación hamiltoniana anterior, con las derivadas parciales de la acción tomando el lugar de los momentos generalizados. Usando la métrica de Schwarzschild g μν , esta ecuación se convierte en
donde nuevamente orientamos el sistema de coordenadas esféricas con el plano de la órbita. El tiempo t y el ángulo azimutal φ son coordenadas cíclicas, por lo que la solución para la función principal S de Hamilton se puede escribir
donde p t y p φ son los momentos constantes generalizados. La ecuación de Hamilton-Jacobi da una solución integral para la parte radial S r (r)
Tomando la derivada de la función principal de Hamilton S con respecto a la cantidad de movimiento conservada p φ da como resultado
que es igual
Tomando una variación infinitesimal en φ y r se obtiene la ecuación orbital fundamental
Cuando la longitud escalas conservadas a y b se definen por las cantidades de movimiento conservada por las ecuaciones
Principio de Hamilton
La acción integral de una partícula afectada solo por la gravedad es
dónde es el momento adecuado yes cualquier parametrización suave de la línea del mundo de la partícula. Si se aplica el cálculo de variaciones a esto, se obtienen nuevamente las ecuaciones para una geodésica. Para simplificar los cálculos, primero se toma la variación del cuadrado del integrando. Para la métrica y las coordenadas de este caso y asumiendo que la partícula se mueve en el plano ecuatorial, ese cuadrado es
Tomando una variación de esto da
Movimiento en longitud
Variar con respecto a la longitud solo para conseguir
Dividido por para obtener la variación del propio integrando
Por lo tanto
La integración por partes da
Se supone que la variación de la longitud es cero en los puntos finales, por lo que el primer término desaparece. La integral puede hacerse distinta de cero mediante una elección perversa dea menos que el otro factor en el interior sea cero en todas partes. Entonces la ecuación de movimiento es
Movimiento en el tiempo
Variar con respecto al tiempo solo para conseguir
Dividido por para obtener la variación del propio integrando
Por lo tanto
La integración por partes da
Entonces la ecuación de movimiento es
Momentos conservados
Integre estas ecuaciones de movimiento para determinar las constantes de integración obteniendo
Estas dos ecuaciones para las constantes de movimiento (momento angular) y (energía) se puede combinar para formar una ecuación que sea cierta incluso para fotones y otras partículas sin masa para las que el tiempo adecuado a lo largo de una geodésica es cero.
Movimiento radial
Sustituyendo
y
en la ecuación métrica (y usando ) da
de donde se puede derivar
que es la ecuación de movimiento para . La dependencia de en se puede encontrar dividiendo esto por
Llegar
lo cual es cierto incluso para partículas sin masa. Si las escalas de longitud están definidas por
y
entonces la dependencia de en simplifica a
Ver también
Portal de astronomía
Portal de física
Problema de Kepler
Problema clásico de fuerza central
Problema de dos cuerpos en la relatividad general
Campos de marco en la relatividad general
Notas
^ Esta sustitución de r por u también es común en los problemas clásicos de fuerza central, ya que también hace que esas ecuaciones sean más fáciles de resolver. Para obtener más información, consulte el artículo sobre el problema clásico de la fuerza central .
^ En la literatura matemática, K se conoce como la integral elíptica completa del primer tipo ; para obtener más información, consulte el artículo sobre integrales elípticas .
Referencias
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escaneo del papel original
texto del artículo original, en Wikisource
traducción de Antoci y Loinger
un comentario sobre el papel, dando una derivación más simple
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enlaces externos
Extracto de Reflexiones sobre la relatividad de Kevin Brown.
Cálculo de una órbita de Schwarzschild en c ++ y visualización en python.