En física y matemáticas , la representación de Clebsch de un campo vectorial tridimensional arbitrario es: [1] [2]
donde los campos escalares y se conocen como potenciales de Clebsch [3] o potenciales de Monge , [4] nombrados en honor a Alfred Clebsch (1833-1872) y Gaspard Monge (1746-1818), yes el operador de gradiente .
Fondo
En dinámica de fluidos y física del plasma , la representación de Clebsch proporciona un medio para superar las dificultades para describir un flujo no viscoso con vorticidad distinta de cero , en el marco de referencia euleriano , utilizando la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana . [5] [6] [7] En el punto crítico de tales funcionales, el resultado son las ecuaciones de Euler , un conjunto de ecuaciones que describen el flujo de fluido. Nótese que las dificultades mencionadas no surgen al describir el flujo a través de un principio variacional en el marco de referencia lagrangiano . En el caso de ondas de gravedad superficiales , la representación de Clebsch conduce a una forma de flujo rotacional del principio variacional de Luke . [8]
Para que la representación de Clebsch sea posible, el campo vectorial tiene (localmente) que ser acotado , continuo y suficientemente suave . Para aplicabilidad globaltiene que decaer lo suficientemente rápido hacia el infinito . [9] La descomposición de Clebsch no es única, y se necesitan (dos) restricciones adicionales para definir de forma única los potenciales de Clebsch. [1] Desdeen general no es solenoidal , la representación de Clebsch no satisface en general la descomposición de Helmholtz . [10]
Vorticidad
La vorticidad es igual a [2]
con el último paso debido a la identidad del cálculo vectorial Entonces la vorticidad es perpendicular a ambos y mientras que además la vorticidad no depende de
Notas
- ↑ a b Lamb (1993 , págs. 248–249)
- ↑ a b Serrin (1959 , págs. 169-171)
- ↑ Benjamin (1984)
- ^ Aris (1962 , págs. 70-72)
- ↑ Clebsch (1859)
- ↑ Bateman (1929)
- ^ Seliger y Whitham (1968)
- ↑ Luke (1967)
- ^ Wesseling (2001 , p. 7)
- ^ Wu, Ma y Zhou (2007 , p. 43)
Referencias
- Aris, R. (1962), Vectores, tensores y ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos , Prentice-Hall, OCLC 299650765
- Bateman, H. (1929), "Notas sobre una ecuación diferencial que ocurre en el movimiento bidimensional de un fluido compresible y los problemas de variación asociados", Proceedings of the Royal Society of London A , 125 (799): 598–618 , Código bibliográfico : 1929RSPSA.125..598B , doi : 10.1098 / rspa.1929.0189
- Benjamin, T. Brooke (1984), "Impulso, fuerza de flujo y principios variacionales", IMA Journal of Applied Mathematics , 32 (1-3): 3-68, Bibcode : 1984JApMa..32 .... 3B , doi : 10.1093 / imamat / 32.1-3.3
- Clebsch, A. (1859), "Ueber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1859 (56): 1–10, doi : 10.1515 / crll.1859.56.1 , S2CID 122730522
- Lamb, H. (1993), Hydrodynamics (6.a ed.), Dover, ISBN 978-0-486-60256-1
- Luke, JC (1967), "Un principio variacional para un fluido con una superficie libre", Journal of Fluid Mechanics , 27 (2): 395–397, Bibcode : 1967JFM .... 27..395L , doi : 10.1017 / S0022112067000412
- Morrison, PJ (2006). "Dinámica de fluidos de Hamilton" (PDF) . Mecánica de fluidos hamiltoniana . Enciclopedia de Física Matemática . 2 . Elsevier. págs. 593–600. doi : 10.1016 / B0-12-512666-2 / 00246-7 . ISBN 9780125126663.
- Rund, H. (1976), "Representaciones de Clebsch generalizadas sobre variedades", Temas de geometría diferencial , Academic Press, págs. 111-133, ISBN 978-0-12-602850-8
- Salmon, R. (1988), "Mecánica de fluidos de Hamilton" , Revisión anual de mecánica de fluidos , 20 : 225–256, Código bibliográfico : 1988AnRFM..20..225S , doi : 10.1146 / annurev.fl.20.010188.001301
- Seliger, RL; Whitham, GB (1968), "Principios de variación en la mecánica del continuo", Actas de la Royal Society of London A , 305 (1440): 1–25, Bibcode : 1968RSPSA.305 .... 1S , doi : 10.1098 / rspa. 1968.0103 , S2CID 119565234
- Serrin, J. (1959), "Principios matemáticos de la mecánica de fluidos clásica", en Flügge, S .; Truesdell, C. (eds.), Strömungsmechanik I [ Fluid Dynamics I ], Encyclopedia of Physics / Handbuch der Physik, VIII / 1, pp. 125–263, Bibcode : 1959HDP ..... 8..125S , doi : 10.1007 / 978-3-642-45914-6_2 , ISBN 978-3-642-45916-0, MR 0108116 , Zbl 0.102,40503
- Wesseling, P. (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
- Wu, J.-Z .; Ma, H.-Y .; Zhou, M.-D. (2007), Vorticidad y dinámica de vórtices , Springer, ISBN 978-3-540-29027-8