Degradado
Para una función en variables de coordenadas cartesianas tridimensionales , el gradiente es el campo vectorial:
donde i , j , k son los vectores unitarios estándar para los ejes x , y , z . De manera más general, para una función de n variables, también llamado campo escalar , el gradiente es el campo vectorial :
dónde son vectores unitarios ortogonales en direcciones arbitrarias.
Para un campo vectorial escrito como un vector de fila 1 × n , también llamado campo tensorial de orden 1, el gradiente o derivada covariante es la matriz jacobiana n × n :
Para un campo tensorial de cualquier orden k , el gradientees un campo tensorial de orden k + 1.
Divergencia
En coordenadas cartesianas, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable es la función con valores escalares:
La divergencia de un campo tensorial de orden distinto de cero k se escribe como, una contracción de un campo tensorial de orden k - 1. Específicamente, la divergencia de un vector es un escalar. La divergencia de un campo tensorial de orden superior se puede encontrar descomponiendo el campo tensorial en una suma de productos externos y usando la identidad,
dónde es la derivada direccional en la dirección demultiplicado por su magnitud. Específicamente, para el producto externo de dos vectores,
Rizo
En coordenadas cartesianas, para el rizo es el campo vectorial:
donde i , j y k son los vectores unitarios para los ejes x , y y z , respectivamente. En notación de Einstein , el campo vectorial tiene rizo dado por:
dónde = ± 1 o 0 es el símbolo de paridad de Levi-Civita .
Laplaciano
En coordenadas cartesianas , el laplaciano de una función es
Para un campo tensorial ,, el laplaciano generalmente se escribe como:
y es un campo tensorial del mismo orden.
Cuando el Laplaciano es igual a 0, la función se llama Función Armónica . Es decir,
Notaciones especiales
En notación de subíndice de Feynman ,
donde la notación ∇ B mediante el gradiente subindicada opera sólo en el factor B . [1] [2]
Menos general, pero similar, es la notación sobrepunto de Hestenes en álgebra geométrica . [3] La identidad anterior se expresa entonces como:
donde los sobrepuntos definen el alcance de la derivada del vector. El vector de puntos, en este caso B , se diferencia, mientras que el (undotted) A es constante en espera.
En el resto de este artículo, se utilizará la notación de subíndice de Feynman cuando corresponda.
Para campos escalares , y campos vectoriales , , tenemos las siguientes identidades derivadas.
Propiedades distributivas
Regla del producto para la multiplicación por un escalar
Tenemos las siguientes generalizaciones de la regla del producto en el cálculo de una sola variable .
En la segunda fórmula, el gradiente transpuesto es un vector de columna de n × 1,es un vector de fila de 1 × n , y su producto es una matriz de n × n (o más precisamente, una díada ); Esto también se puede considerar como el producto tensorial. de dos vectores, o de un covector y un vector .
Regla del cociente para la división por un escalar
Cadena de reglas
Dejar ser una función de una variable de escalares a escalares, una curva parametrizada , yuna función de vectores a escalares. Tenemos los siguientes casos especiales de la regla de la cadena multivariable .
Para una parametrización de coordenadas tenemos:
Aquí tomamos la traza del producto de dos n × n matrices: el gradiente de A y el jacobiano de.
Regla de producto escalar
dónde denota la matriz jacobiana del campo vectorial, y en la última expresión el Se entiende que las operaciones no actúan sobre el direcciones (que algunos autores indicarían con paréntesis apropiados o transposiciones).
Alternativamente, usando la notación de subíndice de Feynman,
Vea estas notas. [4]
Como caso especial, cuando A = B ,
La generalización de la fórmula del producto escalar a las variedades de Riemann es una propiedad definitoria de una conexión de Riemann , que diferencia un campo vectorial para dar una forma 1 con valores vectoriales .
Regla de productos cruzados
Note la diferencia entre
y
También tenga en cuenta que la matriz es antisimétrico.
La divergencia del rizo es cero
La divergencia de la curva de cualquier campo vectorial A es siempre cero:
Este es un caso especial de la desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadenas de De Rham .
La divergencia de gradiente es laplaciana
El laplaciano de un campo escalar es la divergencia de su gradiente:
El resultado es una cantidad escalar.
La divergencia de divergencia NO está definida
La divergencia de un campo vectorial A es un escalar y no se puede tomar la divergencia de una cantidad escalar. Por lo tanto:
El rizo del gradiente es cero
El rizo del gradiente de cualquier campo escalar continuamente dos veces diferenciable es siempre el vector cero :
Este es un caso especial de la desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadenas de De Rham .
Rizo de rizo
Aquí ∇ 2 es el vector de Laplace operativo en el campo vectorial A .
El rizo de divergencia no está definido
La divergencia de un campo vectorial A es un escalar y no se puede tomar el rizo de una cantidad escalar. Por lo tanto
Gráfico DCG: algunas reglas para segundas derivadas.
Un mnemotécnico
La figura de la derecha es un mnemotécnico para algunas de estas identidades. Las abreviaturas utilizadas son:
- D: divergencia,
- C: rizo,
- G: gradiente,
- L: laplaciano,
- CC: rizo de rizo.
Cada flecha está etiquetada con el resultado de una identidad, específicamente, el resultado de aplicar el operador en la cola de la flecha al operador en su cabeza. El círculo azul en el medio significa que existe un rizo de rizo, mientras que los otros dos círculos rojos (punteados) significan que DD y GG no existen.
Diferenciación
Degradado
Divergencia
Rizo
Vector dot Del Operator
- [5]
Segundas derivadas
- ( laplaciano escalar )
- ( vector laplaciano )
- ( Identidad vectorial de Green )
Terceras derivadas
Integración
A continuación, el símbolo rizado ∂ significa " límite de " una superficie o un sólido.
Integrales superficie-volumen
En los siguientes teoremas integrales superficie-volumen, V denota un volumen tridimensional con un límite bidimensional correspondiente S = ∂ V (una superficie cerrada ):
- ( teorema de divergencia )
-
-
- ( Primera identidad de Green )
- ( Segunda identidad de Green )
- ( integración por partes )
- ( integración por partes )
Integrales curva-superficie
En los siguientes teoremas de la integral curva-superficie, S denota una superficie abierta 2d con un límite 1d correspondiente C = ∂ S (una curva cerrada ):
- ( Teorema de Stokes )
La integración alrededor de una curva cerrada en el sentido de las agujas del reloj es el negativo de la misma integral de línea en el sentido contrario a las agujas del reloj (análogo a intercambiar los límites en una integral definida ):
-