Paquete de Clifford

En matemáticas , un paquete de Clifford es un paquete de álgebra cuyas fibras tienen la estructura de un álgebra de Clifford y cuyas trivializaciones locales respetan la estructura del álgebra. Hay un paquete Clifford natural asociado a cualquier ( seudo ) de Riemann colector M que se llama el haz Clifford de M .

Construcción general

Sea V un espacio vectorial ( real o complejo ) junto con una forma bilineal simétrica <·, ·>. El álgebra de Clifford Cℓ ( V ) es un (naturales unital asociativo ) álgebra generada por V sujeto solamente a la relación

${\displaystyle v^{2}=-\langle v,v\rangle }$

para todos v en V . ^[1] Se puede construir Cℓ ( V ) como un cociente del álgebra tensorial de V por el ideal generado por la relación anterior.

Al igual que otras operaciones de tensor, esta construcción se puede llevar a cabo en forma de fibra en un haz de vectores lisos . Deje que E sea un haz vector suave sobre un múltiple liso M , y dejar g ser una forma bilineal simétrica lisa en E . El haz de Clifford de E es el haz de fibras cuyas fibras son las álgebras de Clifford generadas por las fibras de E :

${\displaystyle C\ell (E)=\coprod _{x\in M}C\ell (E_{x},g_{x})}$

La topología de Cℓ ( E ) está determinada por la de E a través de una construcción de paquete asociada .

Uno está más a menudo interesado en el caso en el que g es positivo-definido o al menos no degenerado ; es decir, cuando ( E , g ) es un conjunto de vectores de Riemann o pseudo-Riemann. Para ser más concreto, suponga que ( E , g ) es un conjunto de vectores de Riemann. El haz de Clifford de E se puede construir de la siguiente manera. Sea Cℓ _n R el álgebra de Clifford generada por R ⁿ con la métrica euclidiana . La acción estándar del grupo ortogonal O ( n ) sobre R ⁿinduce una graduada de automorfismos de Cℓ _n R . El homomorfismo

${\displaystyle \rho :\mathrm {O} (n)\to \mathrm {Aut} (C\ell _{n}\mathbb {R} )}$

Esta determinado por

${\displaystyle \rho (A)(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=(Av_{1})(Av_{2})\cdots (Av_{k})}$

donde v _i son todos los vectores en R ⁿ . El paquete de Clifford de E viene dado por

${\displaystyle C\ell (E)=F(E)\times _{\rho }C\ell _{n}\mathbb {R} }$

donde F ( E ) es el haz de marco ortonormal de E . De esta construcción se desprende claramente que el grupo de estructuras de Cℓ ( E ) es O ( n ). Desde O ( n ) actúa por automorfismos clasifica en Cℓ _n R se deduce que Cℓ ( E ) es un haz de Z ₂ álgebras -graded más de M . El paquete de Clifford Cℓ ( E ) se puede descomponer en subconjuntos pares e impares:

${\displaystyle C\ell (E)=C\ell ^{0}(E)\oplus C\ell ^{1}(E).}$

Si el paquete de vectores E es orientable, entonces se puede reducir el grupo de estructura de Cℓ ( E ) de O ( n ) a SO ( n ) de manera natural.

Paquete de Clifford de una variedad de Riemann

Si M es una variedad de Riemann con métrica g , entonces el paquete de Clifford de M es el paquete de Clifford generado por el paquete tangente TM . También se puede construir una Clifford bundle fuera del fibrado cotangente T * M . La métrica induce un isomorfismo natural TM = T * M y por lo tanto un isomorfismo Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T * M ).

Existe un isomorfismo de paquete vectorial natural entre el paquete de Clifford de M y el paquete exterior de M :

${\displaystyle C\ell (T^{*}M)\cong \Lambda (T^{*}M).}$

Este es un isomorfismo de paquetes de vectores, no de paquetes de álgebra. El isomorfismo se induce a partir del correspondiente isomorfismo en cada fibra. De esta manera, uno puede pensar en las secciones del paquete de Clifford como formas diferenciales en M equipadas con la multiplicación de Clifford en lugar del producto de la cuña (que es independiente de la métrica).

El isomorfismo anterior respeta la clasificación en el sentido de que

${\displaystyle {\begin{aligned}C\ell ^{0}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {even} }(T^{*}M)\\C\ell ^{1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {odd} }(T^{*}M).\end{aligned}}}$

Ver también

• Paquete de armazón ortonormal
• Spinor
• Colector de centrifugado
• Representación de spinor
• Geometría de giro
• Estructura de giro
• Paquete de módulos Clifford

Notas

1. Hay una elección arbitraria de signo en la definición de un álgebra de Clifford. En general, se puede tomar v ² = ± < v , v >. En geometría diferencial, es común utilizar la convención de signos (-).

Referencias

• Berline, Nicole ; Getzler, Ezra ; Vergne, Michèle (2004). Calienta granos y operadores de Dirac . Grundlehren Text Editions (edición de bolsillo). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-20062-2. Zbl  1037.58015 .
• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Gire la geometría . Serie matemática de Princeton. 38 . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08542-5. Zbl  0688.57001 .