En matemáticas , específicamente álgebra lineal , una forma bilineal degenerada f ( x , y ) en un espacio vectorial V es una forma bilineal tal que el mapa de V a V ∗ (el espacio dual de V ) dado por v ↦ ( x ↦ f ( x , v )) no es un isomorfismo . Una definición equivalente cuando V es de dimensión finita es que tiene un valor no trivial.kernel : existen algunas x distintas de cero en V tal que
- para todos
Formas no generadas
Una forma no degenerada o no singular es una forma bilineal que no es degenerada, lo que significa quees un isomorfismo , o equivalentemente en dimensiones finitas, si y solo si
- para todos implica que .
Los ejemplos más importantes de formas no degeneradas son los productos internos y las formas simplécticas . Las formas simétricas no degeneradas son generalizaciones importantes de productos internos, ya que a menudo todo lo que se requiere es que el mapasea un isomorfismo, no una positividad. Por ejemplo, una variedad con una estructura de producto interno en sus espacios tangentes es una variedad Riemanniana , mientras que al relajarla a una forma simétrica no degenerada se obtiene una variedad pseudo-Riemanniana .
Usando el determinante
Si V es de dimensión finita, entonces, en relación con alguna base para V , una forma bilineal es degenerada si y solo si el determinante de la matriz asociada es cero, si y solo si la matriz es singular y , en consecuencia, las formas degeneradas también se llaman singulares. formas . Asimismo, una forma no degenerada es aquella para la que la matriz asociada no es singular y, en consecuencia, las formas no degeneradas también se denominan formas no singulares . Estas declaraciones son independientes de la base elegida.
Nociones relacionadas
Si para una forma cuadrática Q hay un vector v ∈ V tal que Q ( v ) = 0, entonces Q es una forma cuadrática isotrópica . Si Q tiene el mismo signo para todos los vectores, es una forma cuadrática definida o una forma cuadrática anisotrópica .
Existe la noción estrechamente relacionada de una forma unimodular y un emparejamiento perfecto ; estos coinciden en los campos, pero no en los anillos generales.
Ejemplos de
Los ejemplos más importantes de formas no degeneradas son los productos internos y las formas simplécticas . Las formas simétricas no degeneradas son generalizaciones importantes de productos internos, ya que a menudo todo lo que se requiere es que el mapasea un isomorfismo, no una positividad. Por ejemplo, una variedad con una estructura de producto interno en sus espacios tangentes es una variedad Riemanniana , mientras que al relajarla a una forma simétrica no degenerada se obtiene una variedad pseudo-Riemanniana .
Dimensiones infinitas
Tenga en cuenta que en un espacio de dimensión infinita, podemos tener una forma bilineal ƒ para la cual es inyectiva pero no sobreyectiva . Por ejemplo, en el espacio de funciones continuas en un intervalo acotado cerrado, la forma
no es sobreyectiva: por ejemplo, el delta de Dirac funcional está en el espacio dual pero no de la forma requerida. Por otro lado, esta forma bilineal satisface
- para todos implica que
En tal caso en el que f satisface la inyectividad (pero no necesariamente la sobrejetividad), se dice que f es débilmente no degenerado .
Terminología
Si f desaparece de forma idéntica en todos los vectores, se dice que está totalmente degenerado . Dada cualquier forma bilineal ƒ en V el conjunto de vectores
forma un totalmente degenerada subespacio de V . El mapa f no es degenerado si y solo si este subespacio es trivial.
Geométricamente, una línea isotrópica de la forma cuadrática corresponde a un punto de la hipersuperficie cuádrica asociada en el espacio proyectivo . Dicha línea es además isotrópica para la forma bilineal si y solo si el punto correspondiente es una singularidad . Por lo tanto, sobre un campo algebraicamente cerrado , el nullstellensatz de Hilbert garantiza que la forma cuadrática siempre tiene líneas isotrópicas, mientras que la forma bilineal las tiene si y solo si la superficie es singular.
Ver también
- Sistema dual
- Forma lineal: mapa lineal desde un espacio vectorial hasta su campo de escalares