En matemáticas, la teoría de Clifford , introducida por Alfred H. Clifford (1937) , describe la relación entre las representaciones de un grupo y las de un subgrupo normal.
Alfred H. Clifford
Alfred H. Clifford demostró el siguiente resultado sobre la restricción de representaciones irreductibles de dimensión finita de un grupo G a un subgrupo normal N de índice finito :
Teorema de clifford
Teorema . Sea π: G → GL ( n , K ) una representación irreducible con K un campo . Entonces, la restricción de π a N se rompe en una suma directa de representaciones irreductibles de N de iguales dimensiones. Estas representaciones irreducibles de N se encuentran en una órbita para la acción de G por conjugación en las clases de equivalencia de representaciones irreducibles de N . En particular, el número de sumandos no isomorfos pairwise no es mayor que el índice de N en G .
El teorema de Clifford proporciona información sobre la restricción de un carácter complejo irreducible de un grupo finito G a un subgrupo normal N. Si μ es un carácter complejo de N , entonces para un elemento fijo g de G , otro carácter, μ (g) , de N puede construirse estableciendo
para todos los n en N . El carácter μ (g) es irreducible si y solo si μ lo es. El teorema de Clifford establece que si χ es un carácter irreducible complejo de G, y μ es un carácter irreducible de N con
- luego
donde e y t son números enteros positivos, y cada g i es un elemento de G. Los números enteros e y t dividen el índice [ G : N ]. El número entero t es el índice de un subgrupo de G , que contiene N , conocido como el subgrupo inercial de μ. Esto es
y a menudo se denota por
Los elementos de g i se pueden tomar para ser representantes de todas las clases laterales derecho del subgrupo I G (μ) en G .
De hecho, el entero e divide el índice
aunque la prueba de este hecho requiere algún uso de la teoría de las representaciones proyectivas de Schur .
Prueba del teorema de Clifford
La prueba del teorema de Clifford se explica mejor en términos de módulos (y la versión teórica de módulos funciona para representaciones modulares irreducibles ). Deje que F sea un campo, V sea un irreducible F [ G ] -module, V N sea su restricción a N y U sea un irreducible F [N] -submodule de V N . Para cada g en G , U . g es un submódulo F [ N ] irreducible de V N , yes un submódulo F [ G ] de V , por lo que debe ser todo V por irreductibilidad. Ahora, V N se expresa como una suma de submódulos irreducibles, y esta expresión se puede refinar a una suma directa. La prueba de la declaración carácter teórico del teorema puede ahora ser completado en el caso C = C . Deje χ sea el carácter de G proporcionada por V y Mu sea el carácter de N proporcionada por U . Para cada g en G , la C [ N ] -submodule U . g da el carácter μ (g) y. Las respectivas igualdades siguen porque χ es una función de clase de G y N es un subgrupo normal. El entero e que aparece en el enunciado del teorema es esta multiplicidad común.
Corolario del teorema de Clifford
Un corolario del teorema de Clifford, que a menudo se explota, es que el carácter irreducible χ que aparece en el teorema se induce a partir de un carácter irreducible del subgrupo inercial I G (μ). Si, por ejemplo, el carácter irreducible χ es primitivo (es decir, χ no se induce a partir de ningún subgrupo propio de G ), entonces G = I G (μ) y χ N = e μ. Un caso en el que esta propiedad de los caracteres primitivos se usa con especial frecuencia es cuando N es abeliano y χ es fiel (es decir, su núcleo contiene solo el elemento de identidad). En ese caso, μ es lineal, N es representado por matrices escalares en cualquier representación que ofrezcan χ carácter y N es por lo tanto contenidas en el centro de G . Por ejemplo, si G es el grupo simétrico S 4 , entonces G tiene un fiel carácter complejo irreducible χ de grado 3. Hay un subgrupo normal abeliano N de orden 4 (un subgrupo de Klein 4 ) que no está contenido en el centro de G . Por lo tanto χ se induce a partir de un personaje de un subgrupo apropiado de G que contiene N. La única posibilidad es que χ se induce a partir de un carácter lineal de un Sylow 2 -subgroup de G .
Nuevos desarrollos
El teorema de Clifford ha llevado a una rama de la teoría de la representación por derecho propio, ahora conocida como teoría de Clifford . Esto es particularmente relevante para la teoría de la representación de grupos finitos solubles, donde generalmente abundan los subgrupos normales. Para grupos finitos más generales, la teoría de Clifford a menudo permite que las preguntas de la teoría de la representación se reduzcan a preguntas sobre grupos que están cerca (en un sentido que puede precisarse) de ser simples.
George Mackey (1976) encontró una versión más precisa de este resultado para la restricción de representaciones unitarias irreductibles de grupos localmente compactos a subgrupos normales cerrados en lo que se conoce como la "máquina Mackey" o "análisis de subgrupos normales Mackey".
Referencias
- Clifford, AH (1937), "Representaciones inducidas en un subgrupo invariante", Annals of Mathematics , Second Series, 38 (3): 533–550, doi : 10.2307 / 1968599 , JSTOR 1968599 , PMC 1076873 , PMID 16588132
- Mackey, George W. (1976), La teoría de las representaciones de grupos unitarios , Chicago Lectures in Mathematics, ISBN 0-226-50051-9