En el campo de la teoría de la representación en matemáticas , una representación proyectiva de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un campo F es un homomorfismo de grupo de G al grupo lineal proyectivo
- PGL ( V ) = GL ( V ) / F ∗ ,
donde GL ( V ) es el grupo lineal general de transformaciones lineales invertibles de V sobre F , y F ∗ es el subgrupo normal que consta de múltiplos escalares distintos de cero de la transformación de identidad (ver Transformación escalar ). [1]
En términos más concretos, una representación proyectiva es una colección de operadores , donde se entiende que cada solo se define hasta la multiplicación por una constante. Estos deben satisfacer la propiedad de homomorfismo hasta una constante:
para algunas constantes .
Desde cada uno sólo se define hasta una constante de todos modos, estrictamente hablando no tiene sentido preguntar si las constantes son iguales a 1. No obstante, cabe preguntarse si es posible elegir un representante particular de cada familia de operadores de tal manera que el Satisface la propiedad de homomorfismo en la nariz, no solo hasta una constante. Si tal elección es posible, decimos que puede ser "desproyectivizado", o que se puede "elevar a una representación ordinaria". Esta posibilidad se analiza más adelante.
Representaciones lineales y representaciones proyectivas
Una forma en que puede surgir una representación proyectiva es tomando una representación de grupo lineal de G en V y aplicando el mapa de cocientes
que es el cociente por el subgrupo F ∗ de transformaciones escalares ( matrices diagonales con todas las entradas diagonales iguales). El interés del álgebra está en el proceso en la otra dirección: dada una representación proyectiva , intente "elevarla" a una representación lineal ordinaria . Una representación proyectiva general ρ : G → PGL ( V ) no se puede elevar a una representación lineal G → GL ( V ) , y la obstrucción a esta elevación se puede entender a través de la cohomología de grupo, como se describe a continuación.
Sin embargo, se puede levantar una representación proyectivade G a una representación lineal de un grupo diferente de H , que será una extensión central de G . El grupo es el subgrupo de definido como sigue:
- ,
dónde es el mapa de cocientes de sobre . Desde es un homomorfismo, es fácil comprobar que es, de hecho, un subgrupo de . Si la representación proyectiva original es fiel, entonces es isomorfo a la preimagen en de .
Podemos definir un homomorfismo configurando . El núcleo de es:
- ,
que está contenido en el centro de . También está claro que es sobreyectiva, de modo que es una extensión central de . También podemos definir una representación ordinaria de configurando . La representación ordinaria de es un impulso de la representación proyectiva de en el sentido de que:
- .
Si G es un grupo perfecto, hay una única extensión central perfecta universal de G que se puede utilizar.
Cohomología grupal
El análisis de la pregunta de levantamiento involucra la cohomología de grupo . De hecho, si se fija para cada g en G un elemento elevado L ( g ) al elevarse de PGL ( V ) de nuevo a GL ( V ) , entonces los ascensores satisfacen
para algún escalar c ( g , h ) en F ∗ . De ello se deduce que el multiplicador c de 2 ciclos o de Schur satisface la ecuación del ciclo
para todos g , h , k en G . Este c depende de la elección del ascensor L ; una elección diferente de elevación L ′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) dará como resultado un ciclo diferente
cohomólogo a c . Por tanto, L define una clase única en H 2 ( G , F ∗ ) . Es posible que esta clase no sea trivial. Por ejemplo, en el caso del grupo simétrico y el grupo alterno , Schur estableció que hay exactamente una clase no trivial de multiplicador de Schur, y determinó completamente todas las representaciones irreductibles correspondientes. [2]
En general, un no triviales cables de clase a un problema de extensión para G . Si G se extiende correctamente obtenemos una representación lineal del grupo extendida, que induce la representación proyectiva original cuando empujado de vuelta a G . La solución es siempre una extensión central . Del lema de Schur se deduce que las representaciones irreductibles de las extensiones centrales de G y las representaciones proyectivas irreductibles de G son esencialmente los mismos objetos.
Primer ejemplo: transformada discreta de Fourier
Considere el campo de enteros mod , dónde es primo, y deja ser el -espacio dimensional de funciones en con valores en . Para cada en , define dos operadores, y en como sigue:
Escribimos la fórmula para como si y eran enteros, pero se ve fácilmente que el resultado solo depende del valor de y modificación . El operador es una traducción, mientras que es un cambio en el espacio de frecuencia (es decir, tiene el efecto de traducir la transformada discreta de Fourier de).
Uno puede verificar fácilmente que para cualquier y en , los operadores y conmutar hasta multiplicar por una constante:
- .
Por tanto, podemos definir una representación proyectiva de como sigue:
- ,
dónde denota la imagen de un operador en el grupo del cociente . Desde y conmutar a una constante, se ve fácilmente como una representación proyectiva. Por otro lado, desde y en realidad no se desplazan, y ningún múltiplo distinto de cero se desplazará no se puede elevar a una representación ordinaria (lineal) de .
Dado que la representación proyectiva es fiel, la extensión central de obtenida por la construcción en la sección anterior es solo la preimagen en de la imagen de . Explícitamente, esto significa que es el grupo de todos los operadores del formulario
por . Este grupo es una versión discreta del grupo de Heisenberg y es isomorfo al grupo de matrices de la forma
con .
Representaciones proyectivas de grupos de Lie
El estudio de las representaciones proyectivas de los grupos de Lie nos lleva a considerar representaciones verdaderas de sus extensiones centrales (ver Extensión de grupo § Grupos de Lie ). En muchos casos de interés, basta con considerar representaciones de grupos de cobertura . Específicamente, suponga es una cubierta conectada de un grupo de Lie conectado , así que eso para un subgrupo central discreto de . (Tenga en cuenta que es un tipo especial de extensión central de .) Supongamos también que es una representación unitaria irreductible de (posiblemente de dimensión infinita). Luego, por el lema de Schur , el subgrupo centralactuará por múltiplos escalares de la identidad. Así, a nivel proyectivo, descenderá a . Es decir, para cada, podemos elegir una preimagen de en y definir una representación proyectiva de configurando
- ,
dónde denota la imagen en de un operador . Desde está contenido en el centro de y el centro de actúa como escalares , el valor de no depende de la elección de .
La construcción anterior es una fuente importante de ejemplos de representaciones proyectivas. El teorema de Bargmann (discutido más adelante) da un criterio bajo el cual toda representación unitaria proyectiva irreducible de surge de esta manera.
Representaciones proyectivas de SO (3)
Un ejemplo físicamente importante de la construcción anterior proviene del caso del grupo de rotación SO (3) , cuya cubierta universal es SU (2) . Según la teoría de la representación de SU (2) , hay exactamente una representación irreductible de SU (2) en cada dimensión. Cuando la dimensión es impar (el caso de "espín entero"), la representación desciende a una representación ordinaria de SO (3). [3] Cuando la dimensión es par (el caso del "giro fraccional"), la representación no desciende a una representación ordinaria de SO (3) pero sí (por el resultado discutido anteriormente) desciende a una representación proyectiva de SO (3) . Tales representaciones proyectivas de SO (3) (las que no provienen de representaciones ordinarias) se denominan "representaciones espinoriales".
Según un argumento que se analiza a continuación, toda representación proyectiva irreducible y de dimensión finita de SO (3) proviene de una representación ordinaria irreducible y de dimensión finita de SU (2).
Ejemplos de portadas que conducen a representaciones proyectivas.
Casos notables de grupos de cobertura que dan representaciones proyectivas interesantes:
- El grupo ortogonal especial SO ( n , F ) está doblemente cubierto por el grupo Spin Spin ( n , F ).
- En particular, el grupo SO (3) (el grupo de rotación en 3 dimensiones) está doblemente cubierto por SU (2) . Esto tiene aplicaciones importantes en la mecánica cuántica, ya que el estudio de las representaciones de SU (2) conduce a una teoría del espín no relativista (de baja velocidad) .
- El grupo SO + (3; 1) , isomorfo al grupo de Möbius , también está doblemente cubierto por SL 2 ( C ). Ambos son supergrupos de los mencionados SO (3) y SU (2) respectivamente y forman una teoría de espín relativista .
- La cubierta universal del grupo Poincaré es una doble cubierta (el producto semidirecto de SL 2 ( C ) con R 4 ). Las irreductibles representaciones unitarias de esta portada dan lugar a representaciones proyectivas del grupo de Poincaré, como en la clasificación de Wigner . Pasar a la tapa es fundamental, para poder incluir el caso de centrifugado fraccionado.
- El grupo ortogonal O ( n ) está doblemente cubierto por el grupo Pin Pin ± ( n ).
- El grupo simpléctico Sp (2 n ) = Sp (2 n , R ) (que no debe confundirse con la forma real compacta del grupo simpléctico, a veces también denotado por Sp ( m )) está doblemente cubierto por el grupo metapléctico Mp (2 n ). Una representación proyectiva importante de Sp (2 n ) proviene de la representación metapléctica de Mp (2 n ).
Representaciones unitarias proyectivas de dimensión finita
En física cuántica, la simetría de un sistema físico se implementa típicamente mediante una representación unitaria proyectiva. de un grupo de mentiras en el espacio cuántico de Hilbert, es decir, un homomorfismo continuo
dónde es el cociente del grupo unitario por los operadores del formulario . La razón para tomar el cociente es que físicamente, dos vectores en el espacio de Hilbert que son proporcionales representan el mismo estado físico. [Es decir, el espacio de estados (puros) es el conjunto de clases de equivalencia de vectores unitarios , donde dos vectores unitarios se consideran equivalentes si son proporcionales]. como la identidad en el nivel de los estados físicos.
Una representación proyectiva de dimensión finita de luego da lugar a una representación unitaria proyectiva del álgebra de mentira de . En el caso de dimensión finita, siempre es posible "desproyectivar" la representación del álgebra de Lie. simplemente eligiendo un representante para cada tener rastro cero. [4] A la luz del teorema de homomorfismos , es posible desproyectivar sí mismo, pero a costa de pasar a la cobertura universal de . [5] Es decir, toda representación unitaria proyectiva de dimensión finita de surge de una representación unitaria ordinaria de por el procedimiento mencionado al principio de esta sección.
Específicamente, dado que la representación del álgebra de Lie se desproyectivó eligiendo un representante de traza cero, toda representación unitaria proyectiva de dimensión finita de surge de una representación unitaria ordinaria determinante-uno de (es decir, uno en el que cada elemento de actúa como operador con determinante). Si es semisimple, entonces cada elemento de es una combinación lineal de conmutadores, en cuyo caso cada representación dees por operadores con traza cero. En el caso semisimple, entonces, la representación lineal asociada de es único.
Por el contrario, si es una representación unitaria irreductible de la cubierta universal de , luego por el lema de Schur , el centro deactúa como múltiplos escalares de la identidad. Así, a nivel proyectivo, desciende a una representación proyectiva del grupo original . Por tanto, existe una correspondencia biunívoca natural entre las representaciones proyectivas irreductibles de y las representaciones ordinarias irreductibles y determinantes de . (En el caso semisimple, el calificativo "determinante-uno" puede omitirse, porque en ese caso, toda representación de es automáticamente determinante.)
Un ejemplo importante es el caso de SO (3) , cuya cobertura universal es SU (2) . Ahora, el álgebra de Liees semisimple. Además, dado que SU (2) es un grupo compacto , toda representación de dimensión finita del mismo admite un producto interno con respecto al cual la representación es unitaria. [6] Así, las representaciones proyectivas irreductibles de SO (3) están en correspondencia biunívoca con las representaciones ordinarias irreductibles de SU (2).
Representaciones unitarias proyectivas de dimensión infinita: el caso de Heisenberg
Los resultados de la subsección anterior no se sostienen en el caso de dimensión infinita, simplemente porque el rastro de normalmente no está bien definido. De hecho, el resultado falla: considere, por ejemplo, las traslaciones en el espacio de posición y en el espacio de momento para una partícula cuántica que se mueve en, actuando en el espacio de Hilbert . [7] Estos operadores se definen como sigue:
para todos . Estos operadores son simplemente versiones continuas de los operadores. y descrito en la sección "Primer ejemplo" anterior. Como en esa sección, podemos definir una representación unitaria proyectiva de :
porque los operadores conmutan hasta un factor de fase. Pero ninguna elección de los factores de fase conducirá a una representación unitaria ordinaria, ya que las traducciones en posición no conmutan con las traducciones en el momento (y multiplicar por una constante distinta de cero no cambiará esto). Estos operadores, sin embargo, provienen de una representación unitaria ordinaria del grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional de. [8] (Véase también el teorema de Stone-von Neumann ).
Representaciones unitarias proyectivas de dimensión infinita: teorema de Bargmann
Por otro lado, el teorema de Bargmann establece que si la cohomología bidimensional del álgebra de Lie de es trivial, entonces toda representación unitaria proyectiva de se puede desproyectivizar después de pasar a la cubierta universal. [9] [10] Más precisamente, supongamos que comenzamos con una representación unitaria proyectiva de un grupo de mentiras . Entonces el teorema establece que se puede elevar a una representación unitaria ordinaria de la cubierta universal de . Esto significa que asigna cada elemento del núcleo del mapa de cobertura a un múltiplo escalar de la identidad, de modo que a nivel proyectivo, desciende a —Y que la representación proyectiva asociada de es igual a .
El teorema no se aplica al grupo —Como muestra el ejemplo anterior— porque la cohomología bidimensional del álgebra de Lie conmutativa asociada no es trivial. Los ejemplos en los que el resultado se aplica incluyen grupos semisimple (p. Ej., SL (2, R) ) y el grupo de Poincaré . Este último resultado es importante para la clasificación de Wigner de las representaciones unitarias proyectivas del grupo de Poincaré.
La demostración del teorema de Bargmann pasa por considerar una extensión central de , construido de manera similar a la sección anterior sobre representaciones lineales y representaciones proyectivas, como un subgrupo del grupo de productos directos , dónde es el espacio de Hilbert en el que actos y es el grupo de operadores unitarios en . El grupo Se define como
Como en la sección anterior, el mapa dada por es un homomorfismo sobreyectivo cuyo núcleo es así que eso es una extensión central de . De nuevo, como en la sección anterior, podemos definir una representación lineal de configurando . Luego es un ascensor de en el sentido de que , dónde es el mapa de cocientes de a .
Un punto técnico clave es demostrar que es un grupo de mentiras . (Esta afirmación no es tan obvia, porque si es de dimensión infinita, el grupo es un grupo topológico de dimensión infinita.) Una vez que se establece este resultado, vemos que es una extensión central unidimensional del grupo de Lie de , de modo que el álgebra de Lie de es también una extensión central unidimensional de (nótese aquí que el adjetivo "unidimensional" no se refiere a y , sino al núcleo del mapa de proyección de esos objetos a y respectivamente). Pero el grupo de cohomología puede identificarse con el espacio de extensiones centrales unidimensionales (de nuevo, en el sentido antes mencionado) de; Si es trivial, entonces toda extensión central unidimensional de es trivial. En ese caso, es solo la suma directa de con copia de la línea real. De ello se deduce que la cubierta universal de debe ser solo un producto directo de la cubierta universal de con copia de la línea real. Entonces podemos levantar de a (componiendo con el mapa de cobertura) y finalmente restringir este ascensor a la cubierta universal de .
Notas
- ^ Gannon , 2006 , págs. 176-179.
- ↑ Schur, 1911
- ^ Salón 2015 Sección 4.7
- ↑ Hall 2013 Proposición 16.46
- ^ Teorema de Hall 2013 16.47
- ^ Salón 2015 prueba del teorema 4.28
- ^ Ejemplo de Hall 2013 16.56
- ^ Hall 2013 Ejercicio 6 en el capítulo 14
- ^ Bargmann 1954
- ^ Simms 1971
Referencias
- Bargmann, Valentine (1954), "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos", Annals of Mathematics , 59 (1): 1-46, doi : 10.2307 / 1969831 , JSTOR 1969831
- Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: El puente que conecta el álgebra, las formas modulares y la física , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
- Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Schur, I. (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen" , Crelle's Journal , 139 : 155-250
- Simms, DJ (1971), "Una breve prueba del criterio de Bargmann para el levantamiento de representaciones proyectivas de grupos de Lie", Reports on Mathematical Physics , 2 (4): 283-287, doi : 10.1016 / 0034-4877 (71) 90011 -5
Ver también
- Representación afín
- Acción de grupo
- Extensión central
- Física de partículas y teoría de la representación.
- Spin-½
- Spinor
- Simetría en mecánica cuántica
- Grupo Heisenberg