En matemáticas , para un grupo de Lie , el método de la órbita de Kirillov proporciona un método heurístico en la teoría de la representación . Conecta las transformadas de Fourier de órbitas coadjuntas , que se encuentran en el espacio dual del álgebra de Lie de G , con los caracteres infinitesimales de las representaciones irreductibles . El método recibió su nombre del matemático ruso Alexandre Kirillov .
En su forma más simple, establece que un carácter de un grupo de Lie puede estar dado por la transformada de Fourier de la función delta de Dirac apoyada en las órbitas coadjuntas, ponderada por la raíz cuadrada del jacobiano del mapa exponencial , denotado por. No se aplica a todos los grupos de Lie, pero funciona para varias clases de grupos de Lie conectados , incluidos los nilpotentes , algunos grupos semisimple y los grupos compactos .
El método de la órbita de Kirillov ha llevado a una serie de desarrollos importantes en la teoría de Lie, incluido el isomorfismo de Duflo y el mapa envolvente .
Fórmula de caracteres para grupos de Lie compactos
Dejar ser el mayor peso de una representación irreductible , dónde es el dual del álgebra de Lie del toro máximo , y seaser la mitad de la suma de las raíces positivas .
Denotamos por la órbita coadjunta a través de y por la -invariant medida en con masa total , conocida como la medida de Liouville . Sies el carácter de la representación , la fórmula del carácter de Kirillov para grupos de Lie compactos viene dada por
- ,
dónde es el jacobiano del mapa exponencial.
Ejemplo: SU (2)
Para el caso de SU (2) , las ponderaciones más altas son las medias enteras positivas, y. Las órbitas coadjuntas son las esferas bidimensionales de radio, centrado en el origen en un espacio tridimensional.
Mediante la teoría de las funciones de Bessel , se puede demostrar que
y
produciendo así los caracteres de SU (2):
Referencias
- Kirillov, AA, Conferencias sobre el método de la órbita , Estudios de posgrado en matemáticas , 64, AMS, Rhode Island, 2004.