En matemáticas , una función coercitiva es una función que "crece rápidamente" en los extremos del espacio en el que se define. Dependiendo del contexto, se utilizan diferentes definiciones exactas de esta idea.
Campos de vectores coercitivos
Un campo vectorial f : R n → R n se llama coercitivo si
dónde ""denota el producto escalar habitual ydenota la norma euclidiana habitual del vector x .
Un campo vectorial coercitivo es, en particular, una norma coercitiva ya que por , por la desigualdad de Cauchy-Schwarz . Sin embargo, un mapeo coercitivo de normas f : R n → R n no es necesariamente un campo vectorial coercitivo. Por ejemplo, la rotación f : R 2 → R 2 , f (x) = (-x 2 , x 1 ) por 90 ° es un mapeo coercitivo normativo que no es un campo vectorial coercitivo ya que para cada .
Operadores y formas coercitivas
Un operador autoadjunto dónde es un espacio de Hilbert real , se llama coercitivo si existe una constante tal que
para todos en
Una forma bilineal se llama coercitivo si existe una constante tal que
para todos en
Se deduce del teorema de representación de Riesz que cualquier simétrico (definido como: para todos en ), continuo ( para todos en y algo constante ) y forma bilineal coercitiva tiene la representación
para algunos operadores autoadjuntos que luego resulta ser un operador coercitivo. Además, dado un operador coercitivo autoadjunto la forma bilineal definido como arriba es coercitivo.
Si es un operador coercitivo, entonces es un mapeo coercitivo (en el sentido de coercitividad de un campo vectorial, donde uno tiene que reemplazar el producto escalar con el producto interno más general). En efecto, para grande (Si está acotado, entonces sigue fácilmente); luego reemplazando por lo conseguimos es un operador coercitivo. También se puede demostrar que lo contrario es cierto sies autoadjunto. Las definiciones de coercitividad para campos vectoriales, operadores y formas bilineales están estrechamente relacionadas y son compatibles.
Asignaciones normativas coercitivas
Un mapeo entre dos espacios vectoriales normativos y se llama norma coercitiva iff
- .
De manera más general, una función entre dos espacios topológicos y se llama coercitivo si para cada subconjunto compacto de existe un subconjunto compacto de tal que
La composición de un mapa biyectivo propio seguido de un mapa coercitivo es coercitiva.
Funciones coercitivas (valoradas ampliadas)
Una función (valorada ampliada) se llama coercitivo si
Una función coercitiva de valor real es, en particular, norma-coercitiva. Sin embargo, una función coercitiva de la normano es necesariamente coercitivo. Por ejemplo, la función de identidad en es norma-coercitiva pero no coercitiva.
Ver también: funciones radialmente ilimitadas
Referencias
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag. págs. xiv + 434. ISBN 0-387-00444-0.
- Bashirov, Agamirza E (2003). Sistemas lineales parcialmente observables bajo ruidos dependientes . Basilea; Boston: Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-6999-X.
- Gilbarg, D .; Trudinger, N. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, 2ª ed . Berlina; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-41160-7.
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