Álgebra exterior

Construcción algebraica utilizada en álgebra y geometría multilineales

La orientación invertida corresponde a negar el producto exterior.

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores puede visualizarse como cualquier forma n- dimensional (por ejemplo, n - paraleloide , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definida por la de su límite ( n - 1) dimensional y en qué lado está el interior. ^{[1] [2]}

En matemáticas , el producto exterior o el producto de cuña de los vectores es una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas , volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores. El producto exterior de dos vectores y  , denotado por , se llama bivector y vive en un espacio llamado cuadrado exterior , un espacio vectorial que es distinto del espacio original de vectores. La magnitud ^[3] de se puede interpretar como el área del paralelogramo con lados y ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u\wedge v}$${\displaystyle u\wedge v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$, que en tres dimensiones también se puede calcular utilizando el producto cruzado de los dos vectores. Más generalmente, todas las superficies planas paralelas con la misma orientación y área tienen el mismo bivector como medida de su área orientada . Al igual que el producto cruzado, el producto exterior es anticomutativo , lo que significa que para todos los vectores y  , pero, a diferencia del producto cruzado, el producto exterior es asociativo .${\displaystyle u\wedge v=-(v\wedge u)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

Cuando se considera de esta manera, el producto exterior de dos vectores se denomina 2 palas . De manera más general, el producto exterior de cualquier número k de vectores se puede definir y, a veces, se denomina k- cuchilla. Vive en un espacio conocido como el k- ésimo poder exterior. La magnitud de la k- cuchilla resultante es el volumen del paralelepípedo k -dimensional cuyas aristas son los vectores dados, así como la magnitud del producto triple escalar de vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepípedo generado por esos vectores.

El álgebra exterior , o álgebra de Grassmann después de Hermann Grassmann , ^[4] es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior. El álgebra exterior proporciona un entorno algebraico en el que responder preguntas geométricas. Por ejemplo, las hojas tienen una interpretación geométrica concreta y los objetos del álgebra exterior se pueden manipular de acuerdo con un conjunto de reglas inequívocas. El álgebra exterior contiene objetos que no son sólo k- hojas, sino sumas de k- hojas; tal suma se llama k -vector . ^[5] La k-Las hojas, debido a que son productos simples de vectores, se denominan elementos simples del álgebra. El rango de cualquier k- vector se define como el número más pequeño de elementos simples de los que es una suma. El producto exterior se extiende al álgebra exterior completa, por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del álgebra. Equipado con este producto, el álgebra exterior es un álgebra asociativa , lo que significa que para cualquier elemento . Los k -vectores tienen grado k , lo que significa que son sumas de productos de k vectores. Cuando se multiplican elementos de diferentes grados, los grados se suman como multiplicación de polinomios${\displaystyle \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma )=(\alpha \wedge \beta )\wedge \gamma }$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$. Esto significa que el álgebra exterior es un álgebra graduada .

La definición del álgebra exterior tiene sentido para espacios no solo de vectores geométricos, sino de otros objetos similares a vectores , como campos o funciones vectoriales . En general, el álgebra exterior se puede definir para módulos sobre un anillo conmutativo y para otras estructuras de interés en álgebra abstracta . Es una de estas construcciones más generales donde el álgebra exterior encuentra una de sus aplicaciones más importantes, donde aparece como el álgebra de formas diferenciales que es fundamental en áreas que utilizan geometría diferencial.. El álgebra exterior también tiene muchas propiedades algebraicas que la convierten en una herramienta conveniente en el álgebra misma. La asociación del álgebra exterior a un espacio vectorial es un tipo de funtor en espacios vectoriales, lo que significa que es compatible de cierta manera con transformaciones lineales de espacios vectoriales. El álgebra exterior es un ejemplo de bialgebra , lo que significa que su espacio dual también posee un producto, y este producto dual es compatible con el producto exterior. Este álgebra dual es precisamente el álgebra de formas multilineales alternas , y el emparejamiento entre el álgebra exterior y su dual viene dado por el producto interior .

Ejemplos motivadores

Áreas en el plano

El área de un paralelogramo en términos del determinante de la matriz de coordenadas de dos de sus vértices.

El plano cartesiano R ² es un espacio vectorial real equipado con una base que consta de un par de vectores unitarios

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Suponer que

${\displaystyle {\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2},\quad {\mathbf {w} }={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2}}$

son un par de vectores dados en R ² , escritos en componentes. Hay un paralelogramo único que tiene v y w como dos de sus lados. El área de este paralelogramo viene dada por la fórmula determinante estándar :

${\displaystyle {\text{Area}}={\Bigl |}\det {\begin{bmatrix}{\mathbf {v} }&{\mathbf {w} }\end{bmatrix}}{\Bigr |}={\Biggl |}\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\Biggr |}=\left|ad-bc\right|.}$

Considere ahora el producto exterior de v y w :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {v} }\wedge {\mathbf {w} }&=(a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2})\wedge (c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2})\\&=ac{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+ad{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}+bc{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+bd{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\\&=\left(ad-bc\right){\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\end{aligned}}}$

donde el primer paso usa la ley distributiva para el producto exterior , y el último usa el hecho de que el producto exterior es alterno, y en particular . (El hecho de que el producto exterior sea alterno también fuerza ). Nótese que el coeficiente en esta última expresión es precisamente el determinante de la matriz [ v w ] . El hecho de que esto pueda ser positivo o negativo tiene el significado intuitivo de que v y w pueden estar orientados en sentido antihorario o horario como los vértices del paralelogramo que definen. Tal área se llama área con signo del paralelogramo: el valor absoluto${\displaystyle \mathbf {e_{2}} \wedge \mathbf {e_{1}} =-(\mathbf {e_{1}} \wedge \mathbf {e_{2}} )}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0}$ del área firmada es el área ordinaria, y el signo determina su orientación.

El hecho de que este coeficiente sea el área con signo no es un accidente. De hecho, es relativamente fácil ver que el producto exterior debería estar relacionado con el área con signo si se intenta axiomatizar esta área como una construcción algebraica. En detalle, si A ( v , w ) indica la zona firmada del paralelogramo de los cuales el par de vectores de v y w forma dos lados adyacentes, entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades:

1. A ( r v , es w ) = rs A ( v , w ) para cualquier números reales r y s , desde cambiar la escala de cualquiera de los lados cambia la escala del área por la misma cantidad (y la inversión de la dirección de uno de los lados invierte la orientación del paralelogramo).
2. A ( v , v ) = 0 , ya que el área del paralelogramo degenerado determinada por v (es decir, un segmento de línea ) es cero.
3. A ( w , v ) = −A ( v , w ) , ya que intercambiar los roles de v y w invierte la orientación del paralelogramo.
4. A ( v + r w , w ) = A ( v , w ) para cualquier número real r , ya que la adición de un múltiplo de w a v no afecta ni la base ni la altura del paralelogramo y por consiguiente conserva su área.
5. A ( e ₁ , e ₂ ) = 1 , ya que el área del cuadrado unitario es uno.

El producto cruzado ( vector azul ) en relación con el producto exterior ( paralelogramo azul claro ). La longitud del producto cruzado es la longitud del vector unitario paralelo ( rojo ) como el tamaño del producto exterior es el tamaño del paralelogramo de referencia ( rojo claro ).

Con la excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el área de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (aquí, el que tiene lados e ₁ y e ₂ ). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación de área independiente de la base . ^[6]

Productos cruzados y triples

Para los vectores en un espacio vectorial orientado tridimensional con un producto escalar bilineal , el álgebra exterior está estrechamente relacionada con el producto cruzado y el producto triple . Usando una base estándar ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) , el producto exterior de un par de vectores

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

y

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$

es

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}),}$

donde ( e ₁ ∧ e ₂ , e ₂ ∧ e ₃ , e ₃ ∧ e ₁ ) es una base para el espacio tridimensional Λ ² ( R ³ ). Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definición habitual del producto cruzado de vectores en tres dimensiones con una orientación dada, las únicas diferencias son que el producto exterior no es un vector ordinario, sino que es un 2-vector , y que el producto exterior no depende de la elección de orientación.

Trayendo un tercer vector

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

el producto exterior de tres vectores es

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

donde e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ es el vector base para el espacio unidimensional Λ ³ ( R ³ ). El coeficiente escalar es el producto triple de los tres vectores.

El producto cruzado y el producto triple en un espacio vectorial euclidiano tridimensional admiten cada uno interpretaciones geométricas y algebraicas. El producto cruzado u × v se puede interpretar como un vector que es perpendicular tanto a u como a v y cuya magnitud es igual al área del paralelogramo determinada por los dos vectores. También se puede interpretar como el vector formado por los menores de la matriz con columnas u y v . El triple producto de u , v y  wes un escalar con signo que representa un volumen de orientación geométrica. Algebraicamente, es el determinante de la matriz con columnas u , v y  w . El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares: también se puede identificar con líneas orientadas, áreas, volúmenes, etc., que están atravesados ​​por uno, dos o más vectores. El producto exterior generaliza estas nociones geométricas a todos los espacios vectoriales y a cualquier número de dimensiones, incluso en ausencia de un producto escalar.

Definiciones formales y propiedades algebraicas

El álgebra exterior Λ ( V ) de un espacio vectorial V sobre un campo K se define como el álgebra del cociente del álgebra tensorial T ( V ) por el ideal de dos lados I generado por todos los elementos de la forma x ⊗ x para x ∈ V (es decir, todos los tensores que se pueden expresar como el producto tensorial de un vector en V por sí mismo). ^[7] El ideal I contiene el ideal J generado por elementos de la forma${\displaystyle x\otimes y+y\otimes x=(x+y)\otimes (x+y)-x\otimes x-y\otimes y}$y estos ideales coinciden si (y solo si) :${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$

${\displaystyle I\supseteq J{\text{ with equality iff }}\operatorname {char} (K)\neq 2}$.

Definimos

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I}$

El producto exterior ∧ de dos elementos de Λ ( V ) es el producto inducido por el producto tensorial ⊗ de T ( V ) . Es decir, si

${\displaystyle \pi :T(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I}$

es la surjection canónica , y una y b están en Λ ( V ) , entonces hay y en T ( V ) de tal manera que y y${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a=\pi (\alpha )}$${\displaystyle b=\pi (\beta ),}$

${\displaystyle a\wedge b=\pi (\alpha \otimes \beta ).}$

Resulta de la definición de un álgebra cociente que el valor de no depende de una elección particular de y .${\displaystyle a\wedge b}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Como T ⁰ = K , T ¹ = V , y , las inclusiones de K y V en T ( V ) inducen inyecciones de K y V en Λ ( V ) . Estas inyecciones se consideran comúnmente inclusiones y se denominan incrustaciones naturales , inyecciones naturales o inclusiones naturales . La palabra canónica también se usa comúnmente en lugar de natural .${\displaystyle \left(T^{0}(V)\oplus T^{1}(V)\right)\cap I=\{0\}}$

Producto alternativo

El producto exterior es por construcción alternando elementos de , lo que significa que para todos , por la construcción anterior. De ello se deduce que el producto también es anticomutativo en elementos de , por suponer que ,${\displaystyle V}$${\textstyle x\wedge x=0}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x,y\in V}$

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

por eso

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

De manera más general, si σ es una permutación de los números enteros [1, ..., k ] , y x ₁ , x ₂ , ..., x _k son elementos de V , se sigue que

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn} (\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

donde sgn ( σ ) es la firma de la permutación σ . ^[8]

En particular, si x _i = x _j para algún i ≠ j , entonces la siguiente generalización de la propiedad alterna también es válida:

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Energía exterior

La k- ésima potencia exterior de V , denotada Λ ^k ( V ), es el subespacio vectorial de Λ ( V ) generado por elementos de la forma

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k.}$

Si α ∈ Λ ^k ( V ) , entonces se dice que α es un k- vector . Si, además, α puede expresarse como un producto exterior de k elementos de V , entonces se dice que α es descomponible . Aunque los vectores k descomponibles abarcan Λ ^k ( V ), no todos los elementos de Λ ^k ( V ) son descomponibles. Por ejemplo, en R ⁴ , el siguiente 2-vector no es descomponible:

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

(Esta es una forma simpléctica , ya alpha ∧ alpha ≠ 0 . ^[9] )

Base y dimensión

Si la dimensión de V es n y { e ₁ , ..., e _n } es una base para V , entonces el conjunto

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2,\cdots n~~{\text{ and }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$

es una base para Λ ^k ( V ) . El motivo es el siguiente: dado cualquier producto exterior de la forma

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

cada vector v _j puede escribirse como una combinación lineal de los vectores base e _i ; utilizando la bilinealidad del producto exterior, esto se puede expandir a una combinación lineal de productos exteriores de esos vectores base. Cualquier producto exterior en el que aparezca el mismo vector base más de una vez es cero; cualquier producto exterior en el que los vectores base no aparezcan en el orden correcto se puede reordenar, cambiando el signo siempre que dos vectores base cambien de lugar. En general, los coeficientes resultantes de los vectores base k pueden calcularse como los menores de la matriz que describe los vectores v _j en términos de la basee _i .

Contando los elementos básicos, la dimensión de Λ ^k ( V ) es igual a un coeficiente binomial :

${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)={\binom {n}{k}}\,.}$

donde n es la dimensión de los vectores y k es el número de vectores en el producto. El coeficiente binomial produce el resultado correcto, incluso en casos excepcionales; en particular, Λ ^k ( V ) = {0} para k > n .

Cualquier elemento del álgebra exterior se puede escribir como una suma de k -vectores . Por tanto, como espacio vectorial, el álgebra exterior es una suma directa

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V)}$

(donde por convención Λ ⁰ ( V ) = K , el campo subyacente a V , y   Λ ¹ ( V ) = V ), y por lo tanto su dimensión es igual a la suma de los coeficientes binomiales, que es 2 ⁿ .

Rango de un k- vector

Si α ∈ Λ ^k ( V ) , entonces es posible expresar α como una combinación lineal de k -vectores descomponibles :

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

donde cada α ^{( i )} es descomponible, digamos

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$

El rango del k -vector α es el número mínimo de k -vectores descomponibles en tal expansión de α . Esto es similar a la noción de rango tensorial .

El rango es particularmente importante en el estudio de 2 vectores ( Sternberg 1964 , §III.6) ( Bryant et al. 1991 ). El rango de un α de 2 vectores se puede identificar con la mitad del rango de la matriz de coeficientes de α en una base. Por lo tanto, si e _i es una base para V , entonces α se puede expresar de forma única como

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

donde a _ij = - a _ji (la matriz de coeficientes es simétrica sesgada ). Por tanto, el rango de la matriz a _ij es par, y es el doble del rango de la forma α .

En la característica 0, el 2-vector α tiene rango p si y solo si

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ }$ y ${\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

Estructura graduada

El producto exterior de un k -vector con un p -vector es un ( k + p ) -vector, invocando una vez más la bilinealidad. Como consecuencia, la descomposición de la suma directa de la sección anterior

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

le da al álgebra exterior la estructura adicional de un álgebra graduada , es decir

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{k+p}(V).}$

Además, si K es el campo base, tenemos

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$ y ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.}$

El producto exterior se clasifica como anticomutativo, lo que significa que si α ∈ Λ ^k ( V ) y β ∈ Λ ^p ( V ) , entonces

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

Además de estudiar la estructura graduada en el álgebra exterior, Bourbaki (1989) estudia estructuras graduadas adicionales en álgebras exteriores, como las del álgebra exterior de un módulo graduado (un módulo que ya tiene su propia gradación).

Propiedad universal

Deje V un espacio vectorial sobre el campo K . De manera informal, multiplicación en Λ ( V ) se lleva a cabo mediante la manipulación de símbolos y la imposición de una ley distributiva , una ley asociativa , y el uso de la identidad para v ∈ V . Formalmente, Λ ( V ) es el álgebra "más general" en la que estas reglas son válidas para la multiplicación, en el sentido de que cualquier álgebra K asociativa unital que contenga V con multiplicación alterna en V debe contener una imagen homomórfica de Λ ( V )${\displaystyle v\wedge v=0}$. En otras palabras, el álgebra exterior tiene la siguiente propiedad universal : ^[10]

Dado cualquier K -álgebra A asociativa unital y cualquier mapa lineal K - j  : V → A tal que j ( v ) j ( v ) = 0 para cada v en V , entonces existe precisamente un homomorfismo de álgebra unital f  : Λ ( V ) → A tal que j ( v ) = f ( i ( v )) para todo v en V (aquí i es la inclusión natural de V en Λ ( V ) , ver arriba).

Para construir el álgebra más general que contiene V y cuya multiplicación se alterna en V , es natural comenzar con el álgebra asociativa más general que contiene V , el álgebra tensorial T ( V ) , y luego hacer cumplir la propiedad alterna tomando un valor adecuado. cociente . Así Tomamos el de dos caras ideales I en T ( V ) generado por todos los elementos de la forma v ⊗ v para v en V , y definimos Λ ( V ) como el cociente

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I\ }$

(y use ∧ como símbolo para la multiplicación en Λ ( V )) . Entonces es sencillo demostrar que Λ ( V ) contiene V y satisface la propiedad universal anterior.

Como consecuencia de esta construcción, la operación de asignar a un espacio vectorial V su álgebra exterior Λ ( V ) es un funtor de la categoría de espacios vectoriales a la categoría de álgebras.

En lugar de definir primero Λ ( V ) y luego identificar las potencias exteriores Λ ^k ( V ) como ciertos subespacios, se pueden definir alternativamente los espacios Λ ^k ( V ) primero y luego combinarlos para formar el álgebra Λ ( V ) . Este enfoque se utiliza a menudo en geometría diferencial y se describe en la siguiente sección.

Generalizaciones

Dado un anillo conmutativo R y un R - módulo M , podemos definir el álgebra exterior Λ ( M ) como se indicó anteriormente, como un cociente adecuado del álgebra tensorial T ( M ). Satisface la propiedad universal análoga. Muchas de las propiedades de Λ ( M ) también requieren que M sea ​​un módulo proyectivo . Cuando se usa la dimensionalidad finita, las propiedades requieren además que M se genere finitamente y sea proyectivo. Las generalizaciones a las situaciones más comunes se pueden encontrar en Bourbaki (1989) .

Las álgebras exteriores de paquetes vectoriales se consideran con frecuencia en geometría y topología. No existen diferencias esenciales entre las propiedades algebraicas del álgebra exterior de paquetes vectoriales de dimensión finita y las del álgebra exterior de módulos proyectivos generados finitamente, según el teorema de Serre-Swan . Se pueden definir álgebras exteriores más generales para haces de módulos.

Álgebra de tensores alternos

Si K es un campo de característica 0, ^[11] entonces el álgebra exterior de un espacio vectorial V sobre K puede identificarse canónicamente con el subespacio vectorial de T ( V ) que consiste en tensores antisimétricos . Recuerde que el álgebra exterior es el cociente de T ( V ) por el ideal I generado por elementos de la forma x ⊗ x .

Sea T ^r ( V ) el espacio de tensores homogéneos de grado r . Esto está atravesado por tensores descomponibles.

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.}$

La antisimetrización (oa veces la simetrización sesgada ) de un tensor descomponible se define por

${\displaystyle \operatorname {Alt} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}$

donde la suma se toma sobre el grupo simétrico de permutaciones en los símbolos {1, ..., r }. Esto se extiende por linealidad y homogeneidad a una operación, también denotada por Alt, en el álgebra tensorial completa T ( V ). La imagen Alt (T ( V )) es el álgebra tensorial alterna , denotada A ( V ). Este es un subespacio vectorial de T ( V ), y hereda la estructura de un espacio vectorial graduado del de T ( V ). Lleva un producto graduado asociativo definido por${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).}$

Aunque este producto difiere del producto tensorial, el núcleo de Alt es precisamente el ideal I (nuevamente, asumiendo que K tiene la característica 0), y hay un isomorfismo canónico

${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).}$

Notación de índice

Supongamos que V tiene dimensión finita n , y que una base ae ₁ , ..., e _n de V se da. entonces cualquier tensor alterno t ∈ A ^r ( V ) ⊂ T ^r ( V ) se puede escribir en notación de índice como

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

donde t ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _r} es completamente antisimétrico en sus índices.

El producto exterior de dos tensores alternos t y s de rangos r y p está dado por

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

Los componentes de este tensor son precisamente la parte sesgada de los componentes del producto tensorial s ⊗ t , denotado por corchetes en los índices:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

El producto interior también se puede describir en notación de índice como sigue. Sea un tensor antisimétrico de rango r . Entonces, para α ∈ V ^∗ , i _α t es un tensor alterno de rango r - 1 , dado por${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$

${\displaystyle (i_{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

donde n es la dimensión de V .

Dualidad

Operadores alternos

Dados dos espacios vectoriales V y X y un número natural k , un operador alterno de V ^k a X es un mapa multilineal

${\displaystyle f\colon V^{k}\to X}$

tal que siempre que v ₁ , ..., v _k sean vectores linealmente dependientes en V , entonces

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

El mapa

${\displaystyle w\colon V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

que se asocia a vectores de su producto exterior, es decir, su correspondiente -vector, también es alterno. De hecho, este mapa es el operador alterno "más general" definido en ; dado cualquier otro operador alterno , existe un mapa lineal único con . Esta propiedad universal caracteriza el espacio y puede servir como su definición.${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V^{k}}$${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \phi :\wedge ^{k}(V)\rightarrow X}$${\displaystyle f=\phi \circ w}$${\displaystyle \wedge ^{k}(V)}$

Formas multilineales alternas

Interpretación geométrica para el producto exterior de n 1-formas ( ε , η , ω ) para obtener una n- forma ("malla" de superficies coordinadas , aquí planos), ^[12] para n = 1, 2, 3 . Las "circulaciones" muestran orientación . ^{[13] [14]}

La discusión anterior se especializa en el caso en el que X = K , el campo base. En este caso una función multilineal alterna

${\displaystyle f:V^{k}\to K\ }$

se denomina forma multilineal alterna . El conjunto de todas las formas multilineales alternas es un espacio vectorial, ya que la suma de dos mapas de este tipo, o el producto de un mapa de este tipo con un escalar, se alterna de nuevo. Por la propiedad universal de la potencia exterior, el espacio de formas alternas de grado k en V es naturalmente isomorfo con el espacio vectorial dual (Λ ^k V ) ^∗ . Si V es de dimensión finita, entonces este último es naturalmente isomorfo a Λ ^k ( V ^∗ ). En particular, si V es n-dimensional, la dimensión del espacio de mapas alternos de V ^k a K es el coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$

Bajo esta identificación, el producto exterior toma una forma concreta: produce un nuevo mapa antisimétrico a partir de dos dados. Suponga que ω  : V ^k → K y η  : V ^m → K son dos mapas antisimétricos. Como en el caso de los productos tensoriales de mapas multilineales, el número de variables de su producto exterior es la suma de los números de sus variables. Se define como sigue: ^[15]

${\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

donde, si la característica del campo base K es 0, la alternancia Alt de un mapa multilineal se define como el promedio de los valores ajustados por signo sobre todas las permutaciones de sus variables:

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

Cuando el campo K tiene una característica finita , una versión equivalente de la expresión anterior sin factoriales ni constantes está bien definida:

${\displaystyle {\omega \wedge \eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

donde aquí Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} es el subconjunto de ( k , m ) baraja : permutaciones σ del conjunto {1, 2, ..., k + m } tales que σ (1) < σ (2 ) <... < σ ( k ) y σ ( k + 1) < σ ( k + 2) <... < σ ( k + m ) .

Producto interior

Ver también: Producto interior

Suponga que V es de dimensión finita. Si V ^∗ denota el espacio dual al espacio vectorial V , entonces para cada α ∈ V ^∗ , es posible definir una antiderivación en el álgebra Λ ( V ),

${\displaystyle i_{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{k}V\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k-1}V.}$

Esta derivación se denomina producto interior con α , o algunas veces operador de inserción , o contracción con α .

Supongamos que w ∈ Λ ^k V . Entonces w es un mapeo multilineal de V ^∗ a K , por lo que se define por sus valores en el producto cartesiano de k- veces V ^∗ × V ^∗ × ... × V ^∗ . Si u ₁ , u ₂ , ..., u _{k −1} son k - 1 elementos de V ^∗ , entonces defina

${\displaystyle (i_{\alpha }{\mathbf {w} })(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})={\mathbf {w} }(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$

Además, sea i _α f = 0 siempre que f sea ​​un escalar puro (es decir, que pertenezca a Λ ⁰ V ).

Caracterización y propiedades axiomáticas

El producto interior satisface las siguientes propiedades:

1. Para cada ky cada α ∈ V ^∗ ,

   ${\displaystyle i_{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{k}V\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k-1}V.}$

   (Por convención, Λ ⁻¹ V = {0}. )

2. Si v es un elemento de V (= Λ ¹ V ), entonces i _α v = α ( v ) es el emparejamiento dual entre los elementos de V y los elementos de V ^∗ .
3. Para cada α ∈ V ^∗ , i _α es una derivación gradual de grado −1:

   ${\displaystyle i_{\alpha }(a\wedge b)=(i_{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (i_{\alpha }b).}$

Estas tres propiedades son suficientes para caracterizar el producto interior así como definirlo en el caso general de dimensión infinita.

Otras propiedades del producto interior incluyen:

• ${\displaystyle i_{\alpha }\circ i_{\alpha }=0.}$
• ${\displaystyle i_{\alpha }\circ i_{\beta }=-i_{\beta }\circ i_{\alpha }.}$

Dualidad de Hodge

Artículo principal: operador estrella Hodge

Suponga que V tiene una dimensión finita n . Entonces el producto interior induce un isomorfismo canónico de espacios vectoriales

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V)}$

por la definición recursiva

${\displaystyle i_{\alpha \wedge \beta }=i_{\beta }\circ i_{\alpha }.}$

En la configuración geométrica, un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior Λ ⁿ ( V ) (que es un espacio vectorial unidimensional) a veces se denomina forma de volumen (o forma de orientación , aunque este término a veces puede conducir a la ambigüedad) . La forma de orientación del nombre proviene del hecho de que la elección del elemento superior preferido determina una orientación de todo el álgebra exterior, ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial. En relación con la forma de volumen preferida σ , el isomorfismo viene dado explícitamente por

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V):\alpha \mapsto i_{\alpha }\sigma .}$

Si, además de una forma de volumen, el espacio vectorial V está equipado con un producto interno que identifica a V con V ^∗ , entonces el isomorfismo resultante se denomina operador de estrella de Hodge , que asigna un elemento a su dual de Hodge :

${\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V).}$

La composición de consigo mismo mapea Λ ^k ( V ) → Λ ^k ( V ) y siempre es un múltiplo escalar del mapa de identidad. En la mayoría de aplicaciones, la forma de volumen es compatible con el producto interior en el sentido de que es un producto exterior de una base ortonormal de V . En este caso,${\displaystyle \star }$

${\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

donde id es el mapeo de identidad y el producto interno tiene una firma métrica ( p , q ) - p más y q menos.

Producto interior

Para V un espacio de dimensión finita, un producto interno (o un pseudo-euclidiana producto interior) en V define un isomorfismo de V con V ^* , y así también un isomorfismo de Λ ^k V con (Λ ^k V ) ^* . El maridaje entre estos dos espacios también toma la forma de un producto interior. En k -vectores descomponibles ,

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det(\langle v_{i},w_{j}\rangle ),}$

el determinante de la matriz de productos internos. En el caso especial v _i = w _i , el producto interior es la norma cuadrada de la k -vector, dado por el determinante de la Matriz de Gram (⟨ v _i , v _j ⟩) . A continuación, esta se extiende bilinealmente (o sesquilinearly en el caso complejo) a un producto interior no degenerada en Λ ^k V . Si e _i , i = 1, 2, ..., n , forman una base ortonormal de V , entonces los vectores de la forma

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

constituyen una base ortonormal para Λ ^k ( V ).

Con respecto al producto interior, la multiplicación exterior y el producto interior son mutuamente contiguos. Específicamente, para v ∈ Λ ^{k −1} ( V ) , w ∈ Λ ^k ( V ) y x ∈ V ,

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,i_{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

donde x ^♭ ∈ V ^∗ es el isomorfismo musical , el funcional lineal definido por

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

para todos y ∈ V . Esta propiedad caracteriza completamente el producto interno en el álgebra exterior.

De hecho, más generalmente, para v ∈ Λ ^{k - l} ( V ) , w ∈ Λ ^k ( V ) , y x ∈ Λ ^l ( V ) , la iteración de las propiedades adjuntos anterior muestra

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,i_{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

donde ahora x ^♭ ∈ Λ ^l ( V ^∗ ) ≃ (Λ ^l ( V )) ^∗ es el vector l dual definido por

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$

para todo y ∈ Λ ^l ( V ) .

Estructura de bialgebra

Existe una correspondencia entre la graduada dual de la graduada álgebra Λ ( V ) y alternando forma multilineal en V . El álgebra exterior (así como el álgebra simétrica ) hereda una estructura de bialgebra y, de hecho, una estructura de álgebra de Hopf , del álgebra tensorial . Consulte el artículo sobre álgebras tensoriales para obtener un tratamiento detallado del tema.

El producto exterior de las formas multilineales definidas anteriormente es dual a un coproducto definido en Λ ( V ), dando la estructura de una coalgebra . El coproducto es una función lineal Δ: Λ ( V ) → Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ) que viene dada por

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

en elementos v ∈ V . El símbolo 1 representa el elemento de unidad del campo K . Recuerde que K ⊂ Λ ( V ), por lo que lo anterior realmente se encuentra en Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ). Esta definición del coproducto se eleva al espacio completo Λ ( V ) por homomorfismo (lineal). La forma correcta de este homomorfismo no es la que se podría escribir ingenuamente, sino que tiene que ser la que se define cuidadosamente en el artículo de coalgebra . En este caso, se obtiene

${\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.}$

Ampliando esto en detalle, se obtiene la siguiente expresión sobre elementos descomponibles:

${\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p+1,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (0)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).}$

donde la segunda suma se toma sobre todos ( p +1, k - p ) -barajas . Lo anterior está escrito con un truco de notación, para realizar un seguimiento del elemento de campo 1: el truco es escribir , y esto se baraja en varias ubicaciones durante la expansión de la suma sobre barajas. La mezcla se sigue directamente del primer axioma de una co-álgebra: el orden relativo de los elementos se conserva en la mezcla de riffle: la mezcla de riffle simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda y otra a la derecha. .${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{k}}$

Observe que el coproducto conserva la calificación del álgebra. Extendiéndose al espacio completo Λ ( V ), uno tiene

${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)}$

El símbolo tensor ⊗ usa en esta sección debe entenderse con cierta precaución: es no el mismo símbolo tensor como el que está siendo utilizado en la definición del producto alterna. Intuitivamente, quizás sea más fácil pensarlo como otro producto tensorial, pero diferente: sigue siendo (bi-) lineal, como deberían ser los productos tensoriales, pero es el producto apropiado para la definición de bialgebra, que es, para crear el objeto Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ). Cualquier duda persistente se puede sacudir al considerar las igualdades (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) y ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗w ) = v ⊗ w , que se derivan de la definición de coalgebra, a diferencia de las manipulaciones ingenuas que involucran los símbolos de tensor y cuña. Esta distinción se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre álgebras tensoriales.. Aquí, el problema es mucho menor, ya que el producto alterno Λ corresponde claramente a la multiplicación en la bialgebra, dejando el símbolo ⊗ libre para su uso en la definición de la bialgebra. En la práctica, esto no presenta ningún problema en particular, siempre que se evite la trampa fatal de reemplazar sumas alternas de ⊗ por el símbolo de la cuña, con una excepción. Se puede construir un producto alterno a partir de ⊗, entendiendo que funciona en un espacio diferente. Inmediatamente a continuación, se da un ejemplo: el producto alterno para el espacio dual se puede dar en términos del coproducto. La construcción de la bialgebra aquí es paralela a la construcción en el artículo de álgebra tensorial casi exactamente, excepto por la necesidad de seguir correctamente los signos alternos para el álgebra exterior.

En términos del coproducto, el producto exterior en el espacio dual es solo el dual graduado del coproducto:

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)}$

donde el producto tensorial en el lado derecho es de mapas lineales multilineales (extendidos por cero en elementos de grado homogéneo incompatible: más precisamente, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ , donde ε es el recuento, como definido actualmente).

El contador es el homomorfismo ε  : Λ ( V ) → K que devuelve el componente de grado 0 de su argumento. El coproducto y el recuento, junto con el producto exterior, definen la estructura de una bialgebra en el álgebra exterior.

Con una antípoda definida en elementos homogéneos por , el álgebra exterior es además un álgebra de Hopf . ^[dieciséis]${\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x}$

Functorialidad

Suponga que V y W son un par de espacios vectoriales y f  : V → W es un mapa lineal . Entonces, por la propiedad universal, existe un homomorfismo único de álgebras graduadas

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)}$

tal que

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{1}(W).}$

En particular, Λ ( f ) conserva el grado homogéneo. Los componentes de grado k de Λ ( f ) se dan en elementos descomponibles por

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).}$

Dejar

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k}(W).}$

Los componentes de la transformación Λ ^k ( f ) relativa a una base de V y W es la matriz de k × k menores de f . En particular, si V = W y V es de dimensión finita n , entonces Λ ⁿ ( f ) es un mapeo de un espacio vectorial unidimensional Λ ⁿ V a sí mismo, y por lo tanto está dado por un escalar: el determinante de f .

Exactitud

Si es una breve secuencia exacta de espacios vectoriales, entonces${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0}$

es una secuencia exacta de espacios vectoriales graduados, ^[17] como es

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).}$^[18]

Sumas directas

En particular, el álgebra exterior de una suma directa es isomorfa al producto tensorial de las álgebras exteriores:

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).}$

Este es un isomorfismo graduado; es decir,

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{q}(W).}$

En mayor generalidad, para una breve secuencia exacta de espacios vectoriales , hay una filtración natural${\displaystyle 0\to U\xrightarrow {f} V\xrightarrow {g} W\to 0}$

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{k}(V)}$

donde for está dividido en elementos de la forma for y . Los cocientes correspondientes admiten un isomorfismo natural${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots v_{p-1}}$${\displaystyle u_{i}\in U}$${\displaystyle v_{i}\in V}$

${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}\cong {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{p}(W)}$ dada por ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{p-1}\mapsto u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-1-p}\otimes g(v_{1})\wedge \ldots \wedge g(v_{p-1}).}$

En particular, si U es unidimensional, entonces

${\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(W)\to 0}$

es exacta, y si W es unidimensional, entonces

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k-1}(U)\otimes W\to 0}$

es exacto. ^[19]

Aplicaciones

Álgebra lineal

En aplicaciones al álgebra lineal , el producto exterior proporciona una forma algebraica abstracta para describir el determinante y los menores de una matriz . Por ejemplo, es bien sabido que el determinante de una matriz cuadrada es igual al volumen del paraleloótopo cuyos lados son las columnas de la matriz (con un signo para rastrear la orientación). Esto sugiere que el determinante se puede definir en términos del producto exterior de los vectores columna. Asimismo, los k × k menores de una matriz se pueden definir observando los productos exteriores de los vectores columna elegidos ka la vez. Estas ideas pueden extenderse no solo a matrices sino también a transformaciones lineales : el determinante de una transformación lineal es el factor por el cual escala el volumen orientado de cualquier paralelootopo de referencia dado. Entonces, el determinante de una transformación lineal se puede definir en términos de lo que la transformación le hace a la potencia exterior superior. La acción de una transformación sobre los poderes exteriores menores da una base -independientemente para hablar de los menores de la transformación.

Detalles técnicos: Definiciones

Sea ^[20] un espacio vectorial n- dimensional sobre campo con base . ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

• Para , defina en tensores simples por${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k})=Av_{1}\wedge \cdots \wedge Av_{k}}$

y expanda la definición linealmente a todos los tensores. De manera más general, podemos definir tensores simples por${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{p}V),(p\geq k)}$

${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}\right)(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{p})=\sum _{0\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq p}v_{1}\wedge \cdots \wedge Av_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge Av_{i_{k}}\wedge \cdots \wedge v_{p}}$

es decir, elija k componentes sobre los que A actuaría, luego sume todos los resultados obtenidos de diferentes elecciones. Si , defina . Dado que es unidimensional con base , podemos identificarnos con el número único que satisface${\displaystyle p<k}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}=0}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}V}$${\displaystyle e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$${\displaystyle \kappa \in K}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})=\kappa (e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}).}$

• Para , defina la transposición exterior como el operador único que satisface${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{p}V)}$ ${\displaystyle \varphi ^{\mathrm {T} }\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{n-p}V)}$

${\displaystyle \forall \omega _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{p}V,\omega _{n-p}\in {\textstyle \bigwedge }^{n-p}V,(\varphi ^{\mathrm {T} }\omega _{n-p})\wedge \omega _{p}=\omega _{n-p}\wedge (\varphi \omega _{p})}$

• Para , definir . Estas definiciones son equivalentes a las otras versiones.${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle \det A={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n},\operatorname {Tr} (A)={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{1},\operatorname {adj} A=({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-1})^{\mathrm {T} }}$

Propiedades básicas

Todos los resultados obtenidos de otras definiciones de determinante, traza y adjunto pueden obtenerse de esta definición (ya que estas definiciones son equivalentes). A continuación, se muestran algunas propiedades básicas relacionadas con estas nuevas definiciones:

• ${\displaystyle (\cdot )^{\mathrm {T} }}$es lineal.${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.}$

• Tenemos un isomorfismo canónico

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :\operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)\cong \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{n-k}V)\\A\mapsto A^{\mathrm {T} }\end{cases}}}$

Sin embargo, no hay isomorfismo canónico entre y${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-k}V.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}A\right)={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}.}$Las entradas de la matriz transpuesta de son menores de .${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \forall k\leqslant n-1,p\leqslant k,A\in \operatorname {End} (V),}$

${\displaystyle \sum _{q=0}^{p}\left({\textstyle \bigwedge }^{n-k}A^{p-q}\right)^{\mathrm {T} }\left({\textstyle \bigwedge }^{k}A^{q}\right)=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}\right)\operatorname {Id} \in \operatorname {End} (V).}$

En particular,

${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p-1}\right)^{\mathrm {T} }A+\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}\right)\operatorname {Id} }$

y por lo tanto

${\displaystyle (\operatorname {adj} A)A=\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-1}\right)^{\mathrm {T} }A=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n}\right)\operatorname {Id} =(\det A)\operatorname {Id} .}$

• ${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }=\sum _{q=0}^{p}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p-q}\right)(-A)^{q}=\sum _{q=0}^{p}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{p-q}A\right)(-A)^{q}.}$

En particular,

${\displaystyle \operatorname {adj} A=\sum _{q=0}^{n-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-q-1}\right)(-A)^{q}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}\operatorname {adj} A\right)={\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}=(\det A)^{k-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\right)=(\det A)^{k-1}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{n-k}A\right).}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{k}\right)^{\mathrm {T} }\right)=(n-k){\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}=(n-k)\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{p}A\right).}$

• El polinomio característico de puede estar dado por${\displaystyle \operatorname {ch} _{A}(t)}$${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}A\right)(-t)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}\right)(-t)^{n-k}.}$

Similar,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\operatorname {adj} A}(t)=\sum _{k=0}^{n}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}\right)(-t)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(\det A)^{k-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\right)(-t)^{n-k}}$

Algoritmo de Leverrier

Ver también: algoritmo de Faddeev – LeVerrier

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$son los coeficientes de los términos del polinomio característico. También aparecen en las expresiones de y . El algoritmo de Leverrier ^[21] es una forma económica de calcular y :${\displaystyle (-t)^{n-k}}$${\textstyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{k}}$

Establecer ;${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{0}=1}$

Para ,${\displaystyle k=n-1,n-2,\ldots ,1,0}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}={\frac {1}{n-k}}\operatorname {Tr} (A\circ {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k-1});}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k}={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\cdot \operatorname {Id} -A\circ {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k-1}.}$

Física

Artículo principal: tensor electromagnético

En física, muchas cantidades se representan naturalmente mediante operadores alternos. Por ejemplo, si el movimiento de una partícula cargada se describe mediante vectores de velocidad y aceleración en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, entonces la normalización del vector de velocidad requiere que la fuerza electromagnética sea un operador alterno de la velocidad. Sus seis grados de libertad se identifican con los campos eléctrico y magnético.

Geometría lineal

Los k -vectores descomponibles tienen interpretaciones geométricas: el bivector u ∧ v representa el plano generado por los vectores, "ponderado" con un número, dado por el área del paralelogramo orientado con lados u y v . De manera análoga, el vector tridimensional u ∧ v ∧ w representa el espacio tridimensional ensanchado ponderado por el volumen del paralelepípedo orientado con aristas u , v y w .

Geometría proyectiva

Descomponible k -vectors en Λ ^k V corresponden a ponderados k -dimensional lineal subespacios de V . En particular, el Grassmanniano de k -subespacios dimensionales de V , denotado Gr _k ( V ), se puede identificar naturalmente con una subvariedad algebraica del espacio proyectivo P (Λ ^k V ). Esto se llama incrustación de Plücker .

Geometría diferencial

El álgebra exterior tiene aplicaciones notables en geometría diferencial , donde se utiliza para definir formas diferenciales . ^[22] Las formas diferenciales son objetos matemáticos que evalúan la longitud de vectores, áreas de paralelogramos y volúmenes de cuerpos de dimensiones superiores , por lo que pueden integrarse sobre curvas, superficies y variedades de dimensiones superiores de una manera que generaliza las integrales de línea y la superficie. integrales de cálculo. Una forma diferencial en un punto de una variedad diferenciable es una forma multilineal alterna en el espacio tangenteen el punto. De manera equivalente, una forma diferencial de grado k es un funcional lineal en la k -ésima potencia exterior del espacio tangente. Como consecuencia, el producto exterior de formas multilineales define un producto exterior natural para formas diferenciales. Las formas diferenciales juegan un papel importante en diversas áreas de la geometría diferencial.

En particular, la derivada exterior le da al álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad la estructura de un álgebra graduada diferencial . La derivada exterior conmuta con retroceso a lo largo de asignaciones suaves entre colectores y, por lo tanto, es un operador diferencial natural . El álgebra exterior de formas diferenciales, equipada con la derivada exterior, es un complejo cocadena cuya cohomología se denomina cohomología de De Rham de la variedad subyacente y juega un papel vital en la topología algebraica de variedades diferenciables.

Teoría de la representación

En la teoría de la representación , el álgebra exterior es uno de los dos functores de Schur fundamentales en la categoría de espacios vectoriales, siendo el otro el álgebra simétrica . Juntas, estas construcciones se utilizan para generar las representaciones irreductibles del grupo lineal general ; ver representación fundamental .

Superspace

El álgebra exterior sobre los números complejos es el ejemplo arquetípico de una superalgebra , que juega un papel fundamental en las teorías físicas relativas a los fermiones y la supersimetría . Un solo elemento del álgebra exterior se llama supernúmero ^[23] o número de Grassmann . El álgebra exterior en sí es entonces solo un superespacio unidimensional : es solo el conjunto de todos los puntos en el álgebra exterior. La topología en este espacio es esencialmente la topología débil , siendo los conjuntos abiertos los conjuntos de cilindros . Un superespacio n- dimensional es solo el n-producto de pliegues de álgebras exteriores.

Homología del álgebra de mentira

Deje que L sea un álgebra de Lie sobre un campo K , entonces es posible definir la estructura de un complejo de la cadena en el álgebra exterior de L . Este es un mapeo lineal K

${\displaystyle \partial :{\textstyle \bigwedge }^{p+1}L\to {\textstyle \bigwedge }^{p}L}$

definido en elementos descomponibles por

${\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.}$

La identidad de Jacobi se cumple si y solo si ∂∂ = 0 , por lo que esta es una condición necesaria y suficiente para que un álgebra L anticomutativa no asociativa sea ​​un álgebra de Lie. Además, en ese caso Λ L es un complejo de cadena con operador de límite ∂. La homología asociada a este complejo es la homología del álgebra de Lie .

Álgebra homológica

El álgebra exterior es el ingrediente principal en la construcción del complejo de Koszul , un objeto fundamental en el álgebra homológica .

Historia

El álgebra exterior fue introducido por primera vez por Hermann Grassmann en 1844 bajo el término general de Ausdehnungslehre , o Teoría de la Extensión . ^[24] Esto se refería de manera más general a una teoría algebraica (o axiomática) de cantidades extendidas y fue uno de los primeros precursores de la noción moderna de espacio vectorial . Saint-Venant también publicó ideas similares de cálculo exterior por las que reclamó prioridad sobre Grassmann. ^[25]

El álgebra en sí se construyó a partir de un conjunto de reglas, o axiomas, que capturan los aspectos formales de la teoría de los multivectores de Cayley y Sylvester. Por lo tanto, era un cálculo , muy parecido al cálculo proposicional , excepto que se enfocaba exclusivamente en la tarea del razonamiento formal en términos geométricos. ^[26] En particular, este nuevo desarrollo permitió una caracterización axiomática de la dimensión, una propiedad que antes sólo se había examinado desde el punto de vista de las coordenadas.

La importancia de esta nueva teoría de vectores y multivectores se perdió para los matemáticos de mediados del siglo XIX, ^[27] hasta que Giuseppe Peano la examinó a fondo en 1888. El trabajo de Peano también permaneció algo oscuro hasta el cambio de siglo, cuando el tema fue unificado por miembros de la escuela de geometría francesa (especialmente Henri Poincaré , Élie Cartan y Gaston Darboux ) que aplicaron las ideas de Grassmann al cálculo de formas diferenciales .

Poco tiempo después, Alfred North Whitehead , tomando prestadas las ideas de Peano y Grassmann, presentó su álgebra universal . Esto luego allanó el camino para los desarrollos del álgebra abstracta del siglo XX al colocar la noción axiomática de un sistema algebraico sobre una base lógica firme.

Ver también

• Identidades de cálculo exterior
• Álgebra alterna
• Álgebra simétrica , el análogo simétrico
• Álgebra de Clifford , una generalización del álgebra exterior usando una forma cuadrática distinta de cero
• Álgebra de Weyl , una deformación cuántica del álgebra simétrica por una forma simpléctica
• Álgebra multilineal
• Álgebra tensorial
• Álgebra geométrica
• Complejo de Koszul
• Suma de cuña

Notas

1. R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
2. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 83. ISBN 0-7167-0344-0.
3. Estrictamente hablando, la magnitud depende de alguna estructura adicional, a saber, que los vectores estén en un espacio euclidiano . Generalmente no asumimos que esta estructura esté disponible, excepto cuando sea útil para desarrollar la intuición sobre el tema.
4. Grassmann (1844) los introdujo comoálgebras extendidas (cf. Clifford 1878 ). Usó la palabra äußere (traducida literalmente como exterior o exterior ) solo para indicar el producto que definió, que hoy en día se llama convencionalmente producto exterior , probablemente para distinguirlo del producto exterior tal como se define en el álgebra lineal moderna.
5. El término k-vector no es equivalente y no debe confundirse con términos similares como 4-vector , que en un contexto diferente podría significar un elemento de un espacio vectorial de 4 dimensiones. Una minoría de autores utiliza el término k -multivector en lugar de k -vector, lo que evita esta confusión.
6. Esta axiomatización de áreas se debe a Leopold Kronecker y Karl Weierstrass ; véase Bourbaki (1989b , Historical Note). Para un tratamiento moderno, véase Mac Lane y Birkhoff (1999 , Teorema IX.2.2). Para un tratamiento elemental, ver Strang (1993 , Capítulo 5).
7. Mac Lane y Birkhoff (1999)
8. Una prueba de esto se puede encontrar en más generalidad en Bourbaki (1989) .
9. Véase Sternberg (1964 , §III.6).
10. Ver Bourbaki (1989 , §III.7.1) y Mac Lane y Birkhoff (1999 , Teorema XVI.6.8). Se pueden encontrar más detalles sobre las propiedades universales en general en Mac Lane y Birkhoff (1999 , Capítulo VI), y en todas las obras de Bourbaki.
11. Ver Bourbaki (1989 , §III.7.5) para generalizaciones.
12. R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
13. Nota : Las orientaciones que se muestran aquí no son correctas; el diagrama simplemente da la sensación de que se define una orientación para cadaforma k .
14. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 58–60, 83, 100–109, 115–119. ISBN 0-7167-0344-0.
15. Algunas convenciones, particularmente en física, definen el producto exterior como

    ${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ).}$

    Esta convención no se adopta aquí, pero se analiza en relación con los tensores alternos .
16. De hecho, el álgebra exterior de V es el álgebra envolvente de la abeliano Lie superálgebra estructura en V .
17. Esta parte del enunciado también se aplica con mayor generalidad si V y W son módulos sobre un anillo conmutativo: Eso ep convierte los epimorfismos en epimorfismos. Véase Bourbaki (1989 , Proposición 3, §III.7.2).
18. Esta declaración se generaliza solo para el caso en el que V y W son módulos proyectivos sobre un anillo conmutativo. De lo contrario, generalmente no es el caso de que Λ convierta monomorfismos en monomorfismos. Véase Bourbaki (1989 , Corolario de la Proposición 12, §III.7.9).
19. Tal filtración también es válida para paquetes de vectores y módulos proyectivos sobre un anillo conmutativo. Esto es, por tanto, más general que el resultado citado anteriormente para sumas directas, ya que no todas las secuencias breves y exactas se dividen en otras categorías abelianas .
20. S.Winitzki, Álgebra lineal a través de productos exteriores , https://sites.google.com/site/winitzki/linalg
21. W.Kahan (2009), forma normal de Jordan . https://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/jordan.pdf
22. James, AT (1983). "En el producto Wedge" . En Karlin, Samuel; Amemiya, Takeshi; Goodman, Leo A. (eds.). Estudios en Econometría, Series Temporales y Estadística Multivariante . Prensa académica. págs. 455–464. ISBN 0-12-398750-4.
23. Bryce DeWitt , Supermanifolds , (1984) Cambridge University Press ISBN 0-521-42377-5 . (Consulte el Capítulo 1, página 1.) 
24. Kannenberg (2000) publicó una traducción del trabajo de Grassmann en inglés; tradujo Ausdehnungslehre como Teoría de la extensión .
25. J Itard, Biography in Dictionary of Scientific Biography (Nueva York 1970-1990).
26. En el pasado, los autores se han referido a este cálculo de diversas formas como cálculo de extensión ( Whitehead 1898 ; Forder 1941 ), o álgebra extensa ( Clifford 1878 ), y recientemente como álgebra vectorial extendida ( Browne 2007 ).
27. Bourbaki , 1989 , p. 661.

Referencias

Referencias matemáticas

• Bishop, R .; Goldberg, SI (1980), Análisis tensorial de variedades , Dover, ISBN 0-486-64039-6

Incluye un tratamiento de tensores alternos y formas alternas, así como una discusión detallada de la dualidad de Hodge desde la perspectiva adoptada en este artículo.

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de las matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

Esta es la principal referencia matemática del artículo. Introduce el álgebra exterior de un módulo sobre un anillo conmutativo (aunque este artículo se especializa principalmente en el caso en el que el anillo es un campo), incluida una discusión de la propiedad universal, la funcionalidad, la dualidad y la estructura bialgebraica. Consulte §III.7 y §III.11.

• Bryant, RL ; Chern, SS ; Gardner, RB; Goldschmidt, HL; Griffiths, PA (1991), Sistemas diferenciales exteriores , Springer-Verlag

Este libro contiene aplicaciones de álgebras exteriores a problemas en ecuaciones diferenciales parciales . El rango y los conceptos relacionados se desarrollan en los primeros capítulos.

• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999), Álgebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2

Las secciones 6 a 10 del capítulo XVI dan una explicación más elemental del álgebra exterior, incluida la dualidad, los determinantes y menores, y las formas alternas.

• Sternberg, Shlomo (1964), Conferencias sobre geometría diferencial , Prentice Hall

Contiene un tratamiento clásico del álgebra exterior como tensores alternos y aplicaciones a la geometría diferencial.

Referencias históricas

• Bourbaki (1989 , Nota histórica sobre los capítulos II y III)
• Clifford, W. (1878), "Aplicaciones del álgebra extensiva de Grassmann", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 1 (4): 350–358, doi : 10.2307 / 2369379 , JSTOR  2369379
• Forder, HG (1941), El cálculo de la extensión , Cambridge University Press
• Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (en alemán)(La teoría de la extensión lineal: una nueva rama de las matemáticas) referencia alternativa
• Kannenberg, Lloyd (2000), Extension Theory (traducción de Ausdehnungslehre de Grassmann ) , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2031-1
• Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann precedeuto dalle Operazioni della Logica Deduttiva; Kannenberg, Lloyd (1999), Cálculo geométrico: según el Ausdehnungslehre de H. Grassmann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4126-9.
• Whitehead, Alfred North (1898), Tratado de álgebra universal, con aplicaciones , Cambridge

Otras referencias y lecturas

• Browne, JM (2007), álgebra de Grassmann: exploración de aplicaciones del álgebra vectorial extendida con Mathematica

Una introducción al álgebra exterior y álgebra geométrica , con un enfoque en aplicaciones. También incluye una sección de historia y bibliografía.

• Spivak, Michael (1965), Cálculo de variedades , Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-9021-6

Incluye aplicaciones del álgebra exterior a formas diferenciales, específicamente enfocadas en la integración y el teorema de Stokes . La notación Λ ^k V en este texto se usa para significar el espacio de k- formas alternas en V ; es decir, para Spivak Λ ^k V es lo que este artículo llamaría Λ ^k V ^∗ . Spivak analiza esto en el Anexo 4.

• Strang, G. (1993), Introducción al álgebra lineal , Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-5-5

Incluye un tratamiento elemental de la axiomatización de determinantes como áreas con signos, volúmenes y volúmenes de dimensiones superiores.

• Onishchik, AL (2001) [1994], "Álgebra exterior" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Wendell H. Fleming (1965) Funciones de varias variables , Addison-Wesley .

Capítulo 6: Álgebra exterior y cálculo diferencial, páginas 205–38. Este libro de texto de cálculo multivariado introduce hábilmente el álgebra exterior de formas diferenciales en la secuencia de cálculo para universidades.

• Winitzki, S. (2010), Álgebra lineal a través de productos exteriores

Una introducción al enfoque sin coordenadas en álgebra lineal básica de dimensión finita, utilizando productos exteriores.

• Shafarevich, IR ; Remizov, AO (2012). Álgebra lineal y geometría . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Capítulo 10: El producto exterior y las álgebras exteriores

• "El método Grassmann en geometría proyectiva" Una compilación de traducciones al inglés de tres notas de Cesare Burali-Forti sobre la aplicación del álgebra exterior a la geometría proyectiva
• C. Burali-Forti, "Introducción a la geometría diferencial, siguiendo el método de H. Grassmann" Una traducción al inglés de un libro antiguo sobre las aplicaciones geométricas de las álgebras exteriores
• "Mecánica, según los principios de la teoría de la extensión" Una traducción al inglés de los artículos de Grassmann sobre las aplicaciones del álgebra exterior