En matemáticas , más específicamente en álgebra multilineal , un mapa multilineal alterno es un mapa multilineal con todos los argumentos pertenecientes al mismo espacio vectorial (por ejemplo, una forma bilineal o multilineal ) que es cero siempre que cualquier par de argumentos sea igual. De manera más general, el espacio vectorial puede ser un módulo sobre un anillo conmutativo .
La noción de alternación (o alternación ) se utiliza para derivar un mapa multilineal alterno de cualquier mapa multilineal con todos los argumentos pertenecientes al mismo espacio.
Definición
Un mapa multilineal de la forma se dice que es alterno si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- siempre que exista tal que luego . [1] [2]
- siempre que exista tal que luego . [1] [3]
- Si son linealmente dependientes entonces.
Ejemplo
- En un álgebra de Lie , el corchete de Lie es un mapa bilineal alterno.
- El determinante de una matriz es un mapa alterno multilineal de las filas o columnas de la matriz.
Propiedades
- Si cualquier componente x i de un mapa multilineal alterno se reemplaza por x i + cx j para cualquier j ≠ i y c en el anillo base R , entonces el valor de ese mapa no cambia. [3]
- Cada mapa multilineal alterno es antisimétrico. [4]
- Si n ! es una unidad en el anillo base R , entonces cada forma n -multilineal antisimétrica es alterna.
Alternancia
Dado un mapa multilineal de la forma , el mapa multilineal alterno definido por se dice que es la alternancia de.
- Propiedades
- La alternancia de un mapa alterno n -multilineal es n ! veces en sí.
- La alternancia de un mapa simétrico es cero.
- La alternancia de un mapa bilineal es bilineal. En particular, la alternancia de cualquier ciclo es bilineal. Este hecho juega un papel crucial en la identificación del segundo grupo de cohomología de una celosía con el grupo de formas bilineales alternas en una celosía.
Ver también
Notas
Referencias
- Bourbaki, N. (2007). Eléments de mathématique . Algèbre Chapitres 1 à 3 (reimpresión ed.). Saltador.
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley.
- Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . 211 (revisada 3a ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-95385-4. OCLC 48176673 .
- Rotman, Joseph J. (1995). Introducción a la teoría de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 148 (4ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-94285-8. OCLC 30028913 .