En matemáticas , específicamente en análisis funcional , cada operador lineal acotado en un espacio de Hilbert complejo tiene un adjunto hermitiano correspondiente (o operador adjunto ). Los adjuntos de operadores generalizan transposiciones conjugadas de matrices cuadradas a (posiblemente) situaciones de dimensión infinita. Si uno piensa en los operadores en un espacio de Hilbert complejo como números complejos generalizados, entonces el adjunto de un operador juega el papel del conjugado complejo de un número complejo.
En un sentido similar, se puede definir un operador adjunto para operadores lineales (y posiblemente ilimitados) entre espacios de Banach .
El adjunto de un operador A también se puede llamar conjugado hermitiano, transposición hermitiana o hermitiana [1] (después de Charles Hermite ) de A y se denota por A ∗ o A † (este último especialmente cuando se usa junto con el bra-ket notación ). Confusamente, A * también puede ser usado para representar el conjugado de A .
Definición informal
Considere un operador lineal entre los espacios de Hilbert . Sin cuidar ningún detalle, el operador adjunto es el operador lineal (en la mayoría de los casos definido de forma única) satisfaciendo
dónde es el producto interno en el espacio de Hilbert, que es lineal en la primera coordenada y antilineal en la segunda coordenada. Note el caso especial donde ambos espacios de Hilbert son idénticos y es un operador en ese espacio de Hilbert.
Cuando se intercambia el emparejamiento dual por el producto interno, se puede definir el adjunto, también llamado transposición , de un operador, dónde son espacios de Banach con las normas correspondientes . Aquí (nuevamente sin considerar ningún tecnicismo), su operador adjunto se define como con
Es decir, por .
Tenga en cuenta que la definición anterior en la configuración del espacio de Hilbert es realmente solo una aplicación del caso del espacio de Banach cuando uno identifica un espacio de Hilbert con su dual. Entonces es natural que también podamos obtener el adjunto de un operador, dónde es un espacio de Hilbert y es un espacio de Banach. El dual se define entonces como con tal que
Definición de operadores ilimitados entre espacios normativos
Dejar ser espacios de Banach . Suponer y y supongamos que es un operador lineal (posiblemente ilimitado) que está densamente definido (es decir, es denso en ). Entonces su operador adjuntose define de la siguiente manera. El dominio es
- .
Ahora por arbitrario pero fijo establecimos con . Por elección de y definición de , f es (uniformemente) continua en como . Entonces, por el teorema de Hahn-Banach o alternativamente a través de la extensión por continuidad, esto produce una extensión de, llamada definido en todos . Tenga en cuenta que este tecnicismo es necesario para obtener más tarde como operador en vez de Observe también que esto no significa que se puede extender a todos pero la extensión solo funcionó para elementos específicos .
Ahora podemos definir el adjunto de como
La identidad definitoria fundamental es, por tanto,
- por
Definición de operadores acotados entre espacios de Hilbert
Suponga que H es un espacio de Hilbert complejo , con un producto interno . Considere un operador lineal continuo A : H → H (para operadores lineales, la continuidad es equivalente a ser un operador acotado ). Entonces el adjunto de A es el operador lineal continuo A ∗ : H → H que satisface
La existencia y unicidad de este operador se deriva del teorema de representación de Riesz . [2]
Esto puede verse como una generalización de la matriz adjunta de una matriz cuadrada que tiene una propiedad similar que involucra el producto interno complejo estándar.
Propiedades
Las siguientes propiedades del adjunto hermitiano de operadores acotados son inmediatas: [2]
- Involutividad : A ∗∗ = A
- Si A es invertible, entonces también lo es A ∗ , con
- Antilinealidad :
- ( A + B ) ∗ = A ∗ + B ∗
- ( ΛA ) * = λ A * , donde λ denota el complejo conjugado del número complejo λ
- " Antidistributividad ": ( AB ) ∗ = B ∗ A ∗
Si definimos la norma del operador de A por
luego
Es más,
Se dice que una norma que satisface esta condición se comporta como un "valor máximo", extrapolando del caso de los operadores autoadjuntos.
El conjunto de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert complejo H junto con la operación adjunta y la norma del operador forman el prototipo de un álgebra C * .
Adjunto de operadores ilimitados densamente definidos entre espacios de Hilbert
Un operador densamente definido A partir de un complejo espacio de Hilbert H a sí mismo es un operador lineal cuyo dominio D ( A ) es una densa subespacio lineal de H y cuyos valores se encuentran en H . [3] Por definición, el dominio D ( A ∗ ) de su adjunto A ∗ es el conjunto de todo y ∈ H para el que hay un z ∈ H que satisface
y A ∗ ( y ) se define como la z así encontrada. [4]
Propiedades 1. – 5. mantener con cláusulas apropiadas sobre dominios y codominios . [ aclaración necesaria ] Por ejemplo, la última propiedad ahora establece que ( AB ) ∗ es una extensión de B ∗ A ∗ si A , B y AB son operadores densamente definidos. [5]
La relación entre la imagen de A y el núcleo de su adjunto viene dada por:
Estas declaraciones son equivalentes. Ver complemento ortogonal para la prueba de esto y para la definición de.
Prueba de la primera ecuación: [6] [ aclaración necesaria ]
La segunda ecuación se deriva de la primera tomando el complemento ortogonal en ambos lados. Tenga en cuenta que, en general, la imagen no necesita estar cerrada, pero el núcleo de un operador continuo [7] siempre lo está. [ aclaración necesaria ]
Operadores hermitianos
Un operador acotado A : H → H se llama hermitiano o autoadjunto si
que es equivalente a
- [8]
En cierto sentido, estos operadores desempeñan el papel de los números reales (siendo iguales a su propio "conjugado complejo") y forman un espacio vectorial real . Sirven como modelo de observables de valor real en mecánica cuántica . Consulte el artículo sobre operadores autoadjuntos para obtener un tratamiento completo.
Adjuntos de operadores antilineales
Para un operador antilineal, la definición de adjunto debe ajustarse para compensar la conjugación compleja. Un operador adjunto del operador antilineal A en un espacio de Hilbert complejo H es un operador antilineal A ∗ : H → H con la propiedad:
Otros adjuntos
La ecuacion
es formalmente similar a las propiedades definitorias de los pares de functores adjuntos en la teoría de categorías , y aquí es donde los functores adjuntos obtienen su nombre.
Ver también
- Conceptos matemáticos
- Operador hermitiano
- Norma (matemáticas)
- Transposición de mapas lineales
- Aplicaciones fisicas
- Operador (física)
- †-álgebra
Referencias
- ^ Miller, David AB (2008). Mecánica cuántica para científicos e ingenieros . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 262, 280.
- ^ a b c d Reed y Simon , 2003 , págs. 186-187; Rudin 1991 , párrafo 12.9
- ^ Consulte el operador ilimitado para obtener más detalles.
- ^ Reed y Simon 2003 , p. 252; Rudin 1991 , párrafo 13.1
- ↑ Rudin 1991 , Thm 13.2
- ^ Ver Rudin 1991 , Thm 12.10 para el caso de operadores acotados
- ^ Lo mismo que un operador acotado.
- ^ Reed y Simon , 2003 , págs. 187; Rudin 1991 , párrafo 12.11
- Brezis, Haim (2011), Análisis funcional, Espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales (primera ed.), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
- Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Análisis funcional , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .