En matemáticas , un subconjunto de un conjunto preordenado se dice que es cofinal o frecuente [1] en si para cada es posible encontrar un elemento en que es "mayor que " (explícitamente, "más grandes que " medios ).
Los subconjuntos cofinales son muy importantes en la teoría de redes y conjuntos dirigidos , donde " subred cofinal " es la generalización apropiada de " subsecuencia ". También son importantes en la teoría del orden , incluida la teoría de los números cardinales , donde la cardinalidad mínima posible de un subconjunto cofinal de se denomina cofinalidad de
Definiciones
Sea una relación binaria homogénea en un conjunto Se dice que un subconjunto es cofinal o frecuente [1] con respecto a si satisface la siguiente condición:
- Por cada hay algunos que
Un subconjunto que no es frecuente se denomina infrecuente . [1] Esta definición se aplica más comúnmente cuando es un conjunto dirigido , que es un conjunto preordenado con propiedades adicionales.
- Funciones finales
Se dice que un mapa entre dos conjuntos dirigidos es final [2] si la imagen de es un subconjunto cofinal de
- Subconjuntos de monedas
Se dice que un subconjunto es coinicial (o denso en el sentido de forzar ) si cumple la siguiente condición:
- Por cada existe alguno tal que
Este es el dual de la teoría del orden a la noción de subconjunto cofinal. Los subconjuntos cofinal y coinicial son densos en el sentido de la topología de orden apropiada (derecha o izquierda) .
Propiedades
La relación cofinal sobre conjuntos parcialmente ordenados (" posets ") es reflexiva : cada poset es cofinal en sí mismo. También es transitivo : si es un subconjunto cofinal de un poset y es un subconjunto cofinal de (con el orden parcial de aplicado a ), entonces también es un subconjunto cofinal de
Para un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos , cada subconjunto cofinal debe contener todos los elementos máximos ; de lo contrario, un elemento máximo que no esté en el subconjunto no sería menor o igual que cualquier elemento del subconjunto, violando la definición de cofinal. Para un conjunto parcialmente ordenado con un elemento mayor , un subconjunto es cofinal si y solo si contiene ese elemento mayor (esto se sigue, ya que un elemento mayor es necesariamente un elemento máximo). Los conjuntos parcialmente ordenados sin elemento mayor o elementos máximos admiten subconjuntos cofinales disjuntos. Por ejemplo, los números naturales pares e impares forman subconjuntos cofinales disjuntos del conjunto de todos los números naturales.
Si un conjunto parcialmente ordenado admite un subconjunto cofinal totalmente ordenado , entonces podemos encontrar un subconjunto que esté bien ordenado y cofinal en
If es un conjunto dirigido y if es un subconjunto cofinal de then también es un conjunto dirigido. [1]
Ejemplos y condiciones suficientes
Cualquier superconjunto de un subconjunto cofinal es en sí mismo cofinal. [1]
Si es un conjunto preordenado y si alguna unión de (uno o más) un número finito de subconjuntos es cofinal, entonces al menos uno de los conjuntos es cofinal. [1]
- Relaciones de subconjuntos y bases de vecindad
Sea un espacio topológico y denote el filtro de vecindad en un punto. La relación de superconjunto es un orden parcial en : explícitamente, para cualquier conjunto y declara que si y solo si (es decir, en esencia, es igual a ). Un subconjunto se llama una base de vecindad en si (y solo si) es un subconjunto cofinal de eso es, si y solo si para cada existe algo tal que (es decir, tal que ).
- Subconjuntos cofinales de los números reales
Para cualquier intervalo es un subconjunto cofinal de pero es no un subconjunto cofinal de El conjunto de números naturales (que consiste de los enteros positivos) es un subconjunto cofinal de pero esto es no verdadero del conjunto de enteros negativos
Del mismo modo, para cualquier intervalo es un subconjunto cofinal de pero es no un subconjunto cofinal de El conjunto de los números enteros negativos es un subconjunto cofinal de pero esto es no verdadera de los números naturales El conjunto de todos los números enteros es un subconjunto cofinal de y también un subconjunto cofinal de ; lo mismo ocurre con el conjunto
Conjunto final de subconjuntos
Se da un caso particular pero importante si es un subconjunto del conjunto de potencias de algún conjunto ordenado por inclusión inversa Dado que este orden de un subconjunto es cofinal en si para cada hay un tal que
Por ejemplo, sea un grupo y sea el conjunto de subgrupos normales de índice finito . La finalización profinito de se define como el límite inverso del sistema inverso de los cocientes finitos de (que son parametrizados por el conjunto ). En esta situación, cada subconjunto cofinal de es suficiente para construir y describir la finalización profinita de
Ver también
- Cofinita
- Cofinalidad : tamaño de los subconjuntos en la teoría del orden
- Conjunto superior : subconjunto de un espacio ordenado previamente que contiene cualquier elemento que sea más grande que cualquier elemento del subconjunto
- un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que contiene todos los elementos para los que hay una con
Referencias
- ↑ a b c d e f Schechter , 1996 , págs. 158-165.
- ^ Bredon, Glen (1993). Topología y geometría . Saltador. pag. dieciséis.
- Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Teoría del orden