Functor de Zuckerman

Este artículo trata sobre el functor de inducción de Zuckerman, que no es lo mismo que el functor de traducción (Zuckerman) .

En matemáticas , se utiliza un funtor de Zuckerman para construir representaciones de grupos de Lie reductivos reales a partir de representaciones de subgrupos de Levi . Fueron presentados por Gregg Zuckerman (1978). El funtor de Bernstein está estrechamente relacionado.

Notación y terminología

• G es un conectado reductora verdadero afín grupo algebraico (por simplicidad; la teoría funciona para grupos más generales), y g es el álgebra de Lie de G . K es un subgrupo compacto maximal de G .
• L es un subgrupo Levi de G , el centralizador de un subgrupo abeliano conectado compacto, y * l es el álgebra de Lie de L .
• Una representación de K se llama K-finito si cada vector está contenida en una representación de dimensión finita de K . Denotamos por W _K el subespacio de K vectores -finite de una representación W de K .
• A (g, K) -module es un espacio vectorial con acciones compatibles de g y K , en la que la acción de K es K -finite.
• R ( g , K ) es el álgebra de Hecke de G de todas las distribuciones en G con soporte en K que son finitas K izquierda y derecha . Este es un anillo que no tiene una identidad pero tiene una identidad aproximada , y los módulos R ( g , K ) aproximadamente unitarios son los mismos que los módulos ( g , K ).

Definición

El functor de Zuckerman Γ está definido por

${\displaystyle \Gamma _{g,L\cap K}^{g,K}(W)=\hom _{R(g,L\cap K)}(R(g,K),W)_{K}}$

y el funtor de Bernstein Π está definido por

${\displaystyle \Pi _{g,L\cap K}^{g,K}(W)=R(g,K)\otimes _{R(g,L\cap K)}W.}$

Referencias

• David A. Vogan , Representaciones de grupos reductivos reales de mentiras , ISBN  3-7643-3037-6
• Anthony W. Knapp , David A. Vogan, Inducción cohomológica y representaciones unitarias , ISBN 0-691-03756-6 revisión del prefacio por Dan Barbasch MR 1330919 
• David A. Vogan, Representaciones unitarias de grupos reductivos de mentiras. (AM-118) (Anales de estudios matemáticos) ISBN 0-691-08482-3 
• Gregg J. Zuckerman , Construcción de representaciones a través de functores derivados , serie de conferencias inéditas en el Instituto de Estudios Avanzados , 1978.