En la teoría de Lie y la teoría de la representación , la descomposición de Levi , conjeturada por Wilhelm Killing [1] y Élie Cartan [2] y demostrada por Eugenio Elia Levi ( 1905 ), establece que cualquier álgebra de Lie g real de dimensión finita [ aclaración necesaria ] es el producto semidirecto de un ideal resoluble y una subálgebra semisimple . Uno es su radical , un ideal maximal resoluble, y el otro es una subálgebra semisimple, llamada subálgebra de Levi. . La descomposición de Levi implica que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita es un producto semidirecto de un álgebra de Lie soluble y un álgebra de Lie semisimple.
Cuando se ve como un álgebra de factores de g , esta álgebra de Lie semisimple también se llama el factor de Levi de g . Hasta cierto punto, la descomposición se puede utilizar para reducir problemas sobre álgebras de Lie de dimensión finita y grupos de Lie a problemas separados sobre álgebras de Lie en estas dos clases especiales, resolubles y semisimples.
Además, Malcev (1942) mostró que dos subálgebras de Levi son conjugadas por un automorfismo (interno) de la forma
Un resultado análogo es válido para álgebras asociativas y se llama el teorema principal de Wedderburn .
En la teoría de la representación, se necesita la descomposición de Levi de subgrupos parabólicos de un grupo reductivo para construir una gran familia de las llamadas representaciones inducidas parabólicamente . La descomposición de Langlands es un ligero refinamiento de la descomposición de Levi para subgrupos parabólicos utilizados en este contexto.
Declaraciones análogas son válidas para grupos de Lie simplemente conectados y, como lo muestra George Mostow , para álgebras de Lie algebraicas y grupos algebraicos simplemente conectados sobre un campo de característica cero.