En matemáticas , un comódulo o presentación central es un concepto dual a un módulo . La definición de un comódulo sobre una coalgebra se forma dualizando la definición de un módulo sobre un álgebra asociativa .
Definicion formal
Deje que K sea un campo , y C sea un coalgebra sobre K . Un comódulo (derecha) sobre C es un K - espacio vectorial M junto con un mapa lineal
tal que
- ,
donde Δ es la multiplicación de C , y ε es el recuento.
Tenga en cuenta que en la segunda regla hemos identificado con .
Ejemplos de
- Una coalgebra es un módulo sobre sí mismo.
- Si M es un módulo de dimensión finita sobre un K- álgebra A de dimensión finita , entonces el conjunto de funciones lineales de A a K forma una coalgebra, y el conjunto de funciones lineales de M a K forma un comódulo sobre esa coalgebra.
- Un espacio vectorial graduado V se puede convertir en un comódulo. Deje que yo sea el índice establecido para el espacio vectorial calificado, y deje ser el espacio vectorial con base por . Giramosen una coalgebra y V en una-comodulo, como sigue:
- Deja que la comultiplicación continúe ser dado por .
- Deja que la cuenta ser dado por .
- Deja el mapa en V será dado por, dónde es la i -ésima pieza homogénea de.
En topología algebraica
Un resultado importante en la topología algebraica es el hecho de que la homología sobre el álgebra de Steenrod dual forma un comodule. [1] Esto se debe al hecho de que el álgebra de Steenrod tiene una acción canónica sobre la cohomología
Cuando dualizamos al álgebra de Steenrod dual, esto da una estructura de módulo
Este resultado se extiende también a otras teorías de cohomología, como el cobordismo complejo y es fundamental para calcular su anillo de cohomología.. [2] La razón principal para considerar la estructura del módulo sobre homología en lugar de la estructura del módulo sobre homología radica en el hecho de que el álgebra de Steenrod dual es un anillo conmutativo, y la configuración del álgebra conmutativa proporciona más herramientas para estudiar su estructura.
Comodule racional
Si M es un comódulo (derecha) durante el coalgebra C , entonces M es un módulo (a la izquierda) sobre la doble álgebra C * , pero lo contrario no es cierto en general: un módulo sobre C * no es necesariamente una comódulo sobre C . Un comódulo racional es un módulo sobre C ∗ que se convierte en un comódulo sobre C de forma natural.
Ver también
Referencias
- ^ Liulevicius, Arunas (1968). "Módulos de homología" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 134 (2): 375–382. doi : 10.2307 / 1994750 . ISSN 0002-9947 .
- ^ Mueller, Michael. "Cálculo de anillos de Cobordismo" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2 de enero de 2021.
- Gómez-Torrecillas, José (1998), "Coalgebras y comódulos sobre un anillo conmutativo", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
- Montgomery, Susan (1993). Álgebras de Hopf y sus acciones sobre anillos . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 82 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0738-2. Zbl 0793.16029 .
- Sweedler, Moss (1969), Hopf Algebras , Nueva York: WABenjamin