En matemáticas , en el ámbito de la teoría de grupos , el término grupo complementado se utiliza de dos formas distintas pero similares.
En ( Hall 1937 ), un grupo complementado es aquel en el que cada subgrupo tiene un complemento teórico de grupo . Dichos grupos se denominan grupos completamente factorizables en la literatura rusa, a continuación ( Baeva 1953 ) y ( Černikov 1953 ).
Posteriormente, en ( Zacher 1953 ), se dice que un grupo se complementa si la celosía de subgrupos es una celosía complementada , es decir, si para cada subgrupo H existe un subgrupo K tal que H ∩ K = 1 y ⟨H , K ⟩ Es todo el grupo. La definición de Hall requería además que H y K se permutan, es decir, que HK = { hk : h en H , k en K } formen un subgrupo. Estos grupos también se denominan grupos Ken la literatura teórica italiana y de celosía , como ( Schmidt 1994 , págs. 114-121, capítulo 3.1). El subgrupo Frattini de un grupo K es trivial; si un grupo tiene un subgrupo máximo libre de núcleo que es un grupo K, entonces él mismo es un grupo K; por lo tanto, los subgrupos de grupos K no necesitan ser grupos K, pero los grupos cocientes y los productos directos de los grupos K son grupos K ( Schmidt 1994 , págs. 115-116). En ( Costantini & Zacher 2004 ) se muestra que todo grupo simple finito es un grupo complementado. Tenga en cuenta que en la clasificación de grupos simples finitos , K-grupo se usa más para significar un grupo cuyos subgrupos propios solo tienen factores de composición entre los grupos simples finitos conocidos.
Un ejemplo de un grupo que no se complementa (en ningún sentido) es el grupo cíclico de orden p 2 , donde p es un número primo . Este grupo tiene un solo no trivial subgrupo H , el grupo cíclico de orden p , por lo que no puede ser otro subgrupo L a ser el complemento de H .