En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , un complemento de un subgrupo H en un grupo G es un subgrupo K de G tal que
De manera equivalente, cada elemento de G tiene una expresión única como un producto hk donde h ∈ H y k ∈ K . Esta relación es simétrica: si K es un complemento de H , entonces H es un complemento de K . Ni H ni K tienen por qué ser un subgrupo normal de G .
Propiedades
- No es necesario que existan complementos y, si es así, no es necesario que sean únicos. Es decir, H podría tener dos complementos distintos K 1 y K 2 en G .
- Si hay varios complementos de un subgrupo normal, entonces son necesariamente isomorfos entre sí y con el grupo cociente .
- Si K es un complemento de H en G entonces K formas tanto a la izquierda y derecha transversales de H . Esto es, los elementos de K forman un conjunto completo de representantes de ambas izquierda y derecha clases laterales de H .
- El teorema de Schur-Zassenhaus garantiza la existencia de complementos de subgrupos de Hall normales de grupos finitos .
Relación con otros productos
Los complementos generalizan tanto el producto directo (donde los subgrupos H y K son normales en G ) como el producto semidirecto (donde uno de H o K es normal en G ). El producto correspondiente a un complemento general se denomina producto interno Zappa – Szép . Cuando H y K no son triviales, los subgrupos del complemento factorizan un grupo en partes más pequeñas.
Existencia
Como se mencionó anteriormente, no es necesario que existan complementos.
Un p -complemento es un complemento de un p -subgrupo de Sylow . Los teoremas de Frobenius y Thompson describen cuándo un grupo tiene un p -complemento normal . Philip Hall caracterizó los grupos solubles finitos entre los grupos finitos como aquellos con p -complementos para cada primo p ; estos p -complementos se utilizan para formar lo que se llama un sistema Sylow .
Un complemento Frobenius es un tipo especial de complemento en un grupo Frobenius .
Un grupo complementado es aquel en el que cada subgrupo tiene un complemento.
Ver también
Referencias
- David S. Dummit y Richard M. Foote (2003). Álgebra abstracta . Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
- I. Martín Isaacs (2008). Teoría de grupos finitos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4344-4.