En matemáticas , un álgebra de Boole completa es un álgebra de Boole en el que cada subconjunto tiene un extremo superior (menos límite superior ). Las álgebras booleanas completas se utilizan para construir modelos de teoría de conjuntos con valores booleanos en la teoría del forzamiento . Cada álgebra de Boole A tiene una terminación esencialmente único, que es un álgebra de Boole completo que contiene A tal que cada elemento es el supremo de algún subconjunto de A . Como conjunto parcialmente ordenado , esta terminación de A es la terminación de Dedekind-MacNeille.
De manera más general, si κ es un cardinal, entonces un álgebra de Boole se llama κ-completo si cada subconjunto de cardinalidad menor que κ tiene un supremo.
Ejemplos de
- Cada finita álgebra de Boole es completa.
- El álgebra de subconjuntos de un conjunto dado es un álgebra booleana completa.
- Los conjuntos abiertos regulares de cualquier espacio topológico forman un álgebra booleana completa. Este ejemplo es de particular importancia porque cada poset forzado puede considerarse como un espacio topológico (una base para la topología que consta de conjuntos que son el conjunto de todos los elementos menores o iguales a un elemento dado). El álgebra abierta regular correspondiente se puede usar para formar modelos con valores booleanos que luego son equivalentes a extensiones genéricas por el poset forzado dado.
- El álgebra de todos los subconjuntos medibles de un espacio de medida σ-finito, conjuntos de módulo nulo, es un álgebra booleana completa. Cuando el espacio de medida es el intervalo unitario con el σ-álgebra de los conjuntos mensurables de Lebesgue, el álgebra de Boole se llama álgebra aleatoria .
- El álgebra de todos los subconjuntos medibles de un espacio de medida es un álgebra booleana completa ℵ 1 , pero no suele ser completa.
- El álgebra de todos los subconjuntos de un conjunto infinito que son finitos o tienen complemento finito es un álgebra booleana pero no está completa.
- El álgebra booleana de todos los conjuntos de Baire es un módulo de conjuntos exiguos en un espacio topológico con una base contable; cuando el espacio topológico son los números reales, el álgebra a veces se llama álgebra de Cantor .
Otro ejemplo de un álgebra de Boole que no es completa es el álgebra booleana P (ω) de todos los conjuntos de números naturales , quotiented a cabo por el ideal Fin de subconjuntos finitos. El objeto resultante, denominado P (ω) / Fin, consta de todas las clases de equivalencia de conjuntos de naturales, donde la relación de equivalencia relevante es que dos conjuntos de naturales son equivalentes si su diferencia simétrica es finita. Las operaciones booleanas se definen de forma análoga, por ejemplo, si A y B son dos clases de equivalencia en P (ω) / Fin, definimos ser la clase de equivalencia de , donde a y b son algunos (cualesquiera) elementos de A y B respectivamente.
Ahora supongamos que a 0 , a 1 ,… sean conjuntos infinitos de naturales disjuntos por pares, y sean A 0 , A 1 ,… sus clases de equivalencia correspondientes en P (ω) / Fin. Entonces, dado cualquier límite superior X de A 0 , A 1 ,… en P (ω) / Fin, podemos encontrar un límite superior menor , quitando de un representante de X un elemento de cada a n . Por lo tanto, los A n no tienen supremo.
- Un álgebra de Boole está completa si y solo si su espacio de Stone de ideales primos está extremadamente desconectado .
Propiedades de las álgebras de Boole completas
- Estados extensión teorema de Sikorski que si A es un subálgebra de un álgebra de Boole B , entonces cualquier homomorfismo de A a una completa álgebra de Boole C se puede extender a un morfismo de B a C .
- Cada subconjunto de un álgebra booleana completa tiene un supremo, por definición; de ello se deduce que cada subconjunto también tiene un mínimo (límite inferior máximo).
- Para un álgebra booleana completa se cumplen ambas leyes distributivas infinitas.
- Para un álgebra booleana completa se cumplen las leyes de de-Morgan infinitas .
La finalización de un álgebra de Boole
La finalización de un álgebra de Boole se puede definir de varias formas equivalentes:
- La terminación de A es (hasta el isomorfismo) el único álgebra de Boole B completa que contiene A tal que A es densa en B ; Esto significa que para cada elemento no nulo de B no es un elemento distinto de cero más pequeña de A .
- La finalización de A es (hasta isomorfismo) la única completa álgebra de Boole B que contiene A de tal manera que cada elemento de B es el supremo de algún subconjunto de A .
La finalización de un álgebra de Boole A se puede construir de varias formas:
- La finalización es el álgebra de Boole de conjuntos abiertos regulares en el espacio de piedra de ideales primos de A . Cada elemento x de A corresponde al conjunto abierto de ideales primos que no contienen x (que es abierto y cerrado, y por lo tanto regular).
- La finalización es el álgebra de Boole de cortes regulares de A . Aquí un corte es un subconjunto U de A + (los elementos distintos de cero de A ) tal que si q está en U y p ≤ q entonces p está en U , y se llama regular si siempre que p no está en U hay algo r ≤ p tal que U no tiene elementos ≤ r . Cada elemento p de A corresponde al corte de elementos ≤ p .
Si A es un espacio métrico y B de su finalización, entonces cualquier isometría de A a un espacio métrico completo C se puede extender a una isometría única de B a C . La declaración análoga para las álgebra de Boole completos no es verdad: un homomorfismo de un álgebra de Boole A a una completa álgebra booleana C no puede necesariamente extenderse a homomorfismo un (supremo preservar) del álgebra de Boole completos de la realización B de A a C . (Por el teorema de extensión de Sikorski puede extenderse a un homomorfismo de álgebras booleanas de B a C , pero esto no será en general un homomorfismo de álgebras booleanas completas; en otras palabras, no necesita preservar suprema).
Álgebras booleanas completas κ libres
A menos que el axioma de elección es relajado, [1] libres no existen las álgebra de Boole completas generadas por un conjunto (a menos que el conjunto es finito). Más precisamente, para cualquier κ cardinal, existe un álgebra booleana completa de cardinalidad 2 κ mayor que κ que se genera como un álgebra booleana completa por un subconjunto contable; por ejemplo, el álgebra booleana de conjuntos abiertos regulares en el espacio del producto κ ω , donde κ tiene la topología discreta. Un conjunto de generación de contable consta de todos los conjuntos de una m , n para m , n números enteros, que consta de los elementos de x varepsilon kappa omega tal que x ( m ) < x ( n ). (Este álgebra booleana se llama álgebra colapsante , porque forzar con ella colapsa el cardinal κ en ω).
En particular, el functor olvidadizo de álgebras booleanas completas a conjuntos no tiene adjunto izquierdo, aunque es continuo y la categoría de álgebras booleanas es pequeña-completa. Esto muestra que la "condición de conjunto de soluciones" en el teorema del functor adjunto de Freyd es necesaria.
Dado un conjunto X , se puede formar el álgebra de Boole libre A generado por este conjunto y luego tomar su terminación B . Sin embargo, B no es un álgebra booleana completa "libre" generada por X (a menos que X sea finito o se omita AC), porque una función de X a un álgebra booleana libre C no se puede extender en general a un morfismo de álgebra boleanas de B a C .
Por otro lado, para cualquier κ cardinal fijo, existe un álgebra booleana completa κ libre (o universal) generada por cualquier conjunto dado.
Ver también
Referencias
- ^ Stavi, Jonathan (1974), "Un modelo de ZF con un álgebra booleana completa libre infinita", Israel Journal of Mathematics , 20 (2): 149-163, doi : 10.1007 / BF02757883 , S2CID 119543439 .
- Johnstone, Peter T. (1982), espacios de piedra , Cambridge University Press, ISBN 0-521-33779-8
- Koppelberg, Sabine (1989), Monk, J. Donald; Bonnet, Robert (eds.), Manual de álgebras de Boole , 1 , Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., págs. Xx + 312, ISBN 0-444-70261-X, MR 0991565
- Monk, J. Donald; Bonnet, Robert, eds. (1989), Manual de álgebras de Boole , 2 , Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87152-7, MR 0991595
- Monk, J. Donald; Bonnet, Robert, eds. (1989), Manual de álgebras de Boole , 3 , Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87153-5, MR 0991607
- Vladimirov, DA (2001) [1994], "Álgebra de Boole" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press